等边三角形解答题文档格式.docx
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(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?
如果不变,求出线段ED的长;
如果变化请说明理由.
5.(2012•抚顺)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠ABC=30°
.点D是直线BC上的一个动点,连接AD,并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE.
(1)如图①,当点E恰好在线段BC上时,请判断线段DE和BE的数量关系,并结合图①证明你的结论;
(2)当点E不在直线BC上时,连接BE,其它条件不变,
(1)中结论是否成立?
若成立,请结合图②给予证明;
若不成立,请直接写出新的结论;
(3)若AC=3,点D在直线BC上移动的过程中,是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形?
如果存在,直接写出线段CD的长度;
如果不存在,请说明理由.
6.(2012•保定一模)如图1,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的运动速度相同,连接AQ、CP交于点M.
(1)求证:
△ABQ≌△CAP;
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,∠QMC变化吗?
若变化,请说明理由;
若不变,求出它的度数.
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠QMC变化吗?
若不变,则求出它的度数.
7.(2012•麻城市校级模拟)如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°
的等腰三角形,M是AB延长线上一点,N是CA延长线上一点,且∠MDN=60°
.试探究BM、MN、CN之间的数量关系,并给出证明.
8.(2012•西青区二模)Rt△AOB中,∠AOB=90°
,∠ABO=30°
,BO=4,分别以OA,OB边所在的直线建立平面直角坐标系,D点为x轴正半轴上的一点,以OD为一边在第一象限内做等边△ODE.
(1)如图
(1),当E点恰好落在线段AB上,求E点坐标;
(2)在
(1)问的条件下,将△ODE在线段OB上向右平移如图,图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段?
如果存在,请指出这条线段,并加以证明;
如果不存在,请说明理由;
(3)若点D从原点出发沿x轴正方向移动,设点D到原点的距离为x,△ODE与△AOB重叠部分的面积为y,请直接写出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
9.(2012•仪陇县模拟)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°
,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
10.(2012•惠山区校级模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(﹣4,0),点B在第二象限,点P是y轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)连接DP,猜想△APD的形状,并加以说明;
(2)当点P运动到点
时,求此时DP的长;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于
?
若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
11.(2012•牡丹江模拟)已知:
等边△ABC中,当点D在BC边上,点E在AC边上,且BD=CE,连接AD、BE,交于点F,如图
(1)易证:
∠AFE=∠ABD.当点D在BC的延长线上,点E在CA的延长线上;
当点D在CB的延长线上,点E在AC的延长线上.而其它条件不变时,∠AFE与∠ABD又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并选出一种情况加以证明?
12.(2012•淮安模拟)如图1,在Rt△AOB中,∠AOB=90°
,OB=4,以O点为原点,OB边所在直线为x轴,建立直角坐标系.在x轴上取一点D(2,0),作一个边长为2的等边△PDE,此时P点与O点重合,E点在线段AB上(如图).将△PDE沿x轴向右平移,直线AB与直线ED交于点F,回答下列问题:
(1)找出一条与OP始终相等的线段,并说明理由;
(2)设点P与原点的距离为x,此时等边△PDE与Rt△AOB重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(图2,图3为备用图)
13.(2012•河东区一模)如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发,沿射线AB,BC运动,且它们的速度都为1cm/s.
(Ⅰ)当△PQB是直角三角形时,求AP的长;
(Ⅱ)连接AQ,CP交于点M,则在点P,Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
14.(2012•绍兴三模)已知∠ABC=90°
,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连接QE并延长交BP于点F.
(1)如图1,若AB=
,点A、E、P恰好在一条直线上时,求此时EF的长(直接写出结果);
(2)如图2,当点P为射线BC上任意一点时,猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段),并加以证明;
(3)若AB=
,设BP=4,求QF的长.
15.(2012•哈尔滨模拟)已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,D为边BC上任意一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且E,F分别在边AB,AC上.
(1)如图a,当△ABC是等边三角形时,证明:
AE+AF=
BC.
(2)如图b,若△ABC中,∠BAC=120°
,探究线段AE,AF,AB之间的数量关系,并对你的猜想加以证明.
(3)如图c,若△ABC中,AB=10,BC=16,EF=6,利用你对
(1),
(2)两题的解题思路计算出线段CD(BD>CD)的长.
16.(2012秋•宝应县校级期中)如图,∠MON=90°
,边长为2的等边三角形ABC在∠MON内部,但两顶点A、B分别在边OM、ON上滑动,点D是AB边中点
(1)求CD的长度;
(2)探究:
△ABC在滑动的过程中,点C与点O之间的最大距离是多少.
17.(2012秋•洪山区期中)如图,等边△ABC和等边△DEC,CE和AC重合,CE=
.
AD=BE;
(2)若CE绕点C顺时针旋转30°
,连BD交AC于点G,取AB的中点F边FG.求证:
BE=2FG.
18.(2012秋•洪山区期中)
(1)如图,在等边△ABC中,N为ABC中,N为BC边上任意一点(不含B、C两点),CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线.若∠ANM=60°
,求证:
AN=NM.
(2)如图,在等边△ABC中,N为BC延长线上任意一点,CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°
,请问AN=NM是否仍然成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,请说明理由.
19.(2011•房山区一模)已知:
等边三角形ABC
(1)如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°
.试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°
.求证:
PA+PD+PC>BD.
20.(2011•锦州一模)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=30°
,P为BC边上任意一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE,连接EF.
(1)试探索EF与AB位置关系,并证明;
(2)如图2,当点P为BC延长线上任意一点时,
(1)结论是否成立?
(3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=m°
,P为BC延长线上一点,点Q为AC边动点,分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE,使得PC=PF,PQ=PE,连接EF.要使
(1)的结论依然成立,则需要添加怎样的条件?
为什么?
21.(2011•洪湖市校级模拟)如图,已知∠ABC=90°
,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°
得到线段AQ,连接QE并延长交射线BC于点F.
(1)如图,当BP=BA时,∠EBF= °
,猜想∠QFC= °
;
(2)如图,当点P为射线BC上任意一点时,猜想∠QFC的度数,并加以证明.
22.(2011•永安市质检)
(1)请阅读材料并填空:
问题:
如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=
,PC=1.求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是:
将△BPC绕点B顺时针旋转60°
,画出旋转后的图形(如图2).连接PP′.
根据李明同学的思路,进一步思考后可求得∠BPC= °
,等边△ABC的边长为 .
(2)请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:
如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=
,BP=
,PC=1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长.
23.(2011•阳江模拟)
(1)如图1,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,CF平分∠ACG,E是CF上一点,若∠ADE=60°
求证:
DA=DE
(2)如图2,四边形ABCD是正方形,M为AB上的一点,BF平分∠CBG,E是BF上一点,若DM⊥ME,与
(1)中类似的结论是什么?
(不必证明)
(3)在
(2)若将DM⊥ME换为MD=ME,能不能证明DM⊥ME?
说明理由.
24.(2011•黑龙江模拟)等边△ABC,点D是直线BC上一点,以AD为边在AD的右侧作等边△ADE,连接CE.
(1)如图1,若点D在线段BC上,求证:
CE+CD=AB;
(2)如图2,若点D在CB的延长线上,线段CE,CD,AB的数量有怎样的数量关系?
请加以证明.
25.(2011秋•庐江县期末)如图,点O是等边三角形△ABC内一点,∠AOB=110°
,∠BOC=a,以OC为一边作等边△OCD,连接AD.
(1)当a=150°
,证明:
△AOD是直角三角形;
当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
26.(2010秋•泰兴市校级期中)△ABC是边长为4的等边三角形,在射线AB和BC上分别有动点P、Q,且AP=CQ,连接PQ交直线AC于点D,作PE⊥AC,垂足为E.
(1)如图,当点P在边AB(与点A、B不重合)上,问:
①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系?
试证明你的结论.
②随着点P、Q的移动,线段DE的长能否确定?
若能,求出DE的长;
若不能,简要说明理由;
(2)当点P在射线AB上,若设AP=x,CD=y,求:
①y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x为何值时,△PCQ的面积与△ABC的面积相等.
27.(2010秋•枝江市校级期中)如图,直角坐标系中,点A的坐标为(a,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC>a>0),连接BC,以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.
OC=AD.
(2)随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化?
若没有变化,求出点E的坐标;
若有变化,请说明理由.
(3)当C点运动到使OA:
AC=1:
3时,求出此时D点的坐标.
28.(2010•丹东)如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).
(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?
点F是否在直线NE上?
都请直接写出结论,不必证明或说明理由;
(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,
(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立,请利用图2证明;
若不成立,请说明理由;
(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断
(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.
29.(2010秋•武昌区期末)如图△ABC为等边三角形,直线a∥AB,D为直线BC上一点,∠ADE交直线a于点E,且∠ADE=60°
(1)若D在BC上(如图1)求证CD+CE=CA;
(2)若D在CB延长线上,CD、CE、CA存在怎样数量关系,给出你的结论并证明.
30.(2010春•北京校级期末)如图1,点A在y轴的正半轴上,以OA为边作等边三角形AOC.
(1)点B是x轴正半轴上的一个动点,如图1当点B移动到点D的位置时,连接AD,请你在第一象限内确定点E,使△ADE是等边三角形(保留作图痕迹,不写作法和证明).
(2)在
(1)的条件下,在点B的运动过程中,∠ACE的大小是否发生变化?
若不变,求出其度数;
若变化,请说明理由.
(3)如图2,把你在
(1)中所作的正△ADE绕点A逆时针旋转,使点E落在y轴的正半轴上E′的位置,得到正△AE′D′,连接CE′、OD′交于点F.现在给出两个结论:
①AF平分∠CAD′;
②FA平分∠OFE′,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪个结论是正确的,并进行证明.