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刚体转动惯量毕业论文
刚体的转动惯量的讨论方法
邵亮（安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆246011）
指导教师：
陈力
摘要：
冈U体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量，应用于刚体各种运动的动力学计算中。
一般研究均匀刚体和不规则刚体的转动惯量。
本文将从刚体的转动惯量定义、常见均匀刚体和复杂不规则刚体的计算方法以及对刚体的转动惯量错误计算的分析。
从而使人们在学习刚体的转动惯量时能开阔思维，学会寻求创新途径去巧解各类刚体的转动惯量。
关键词：
刚体的转动惯量，均匀刚体，不规则刚体，错误计算的分析
引言
转动惯量是刚体定轴转动中的一个重要概念，在表征刚体转动的定理、定中都离不开此概念。
体是
指大小和形状保持不变的物体，而转动惯量则是刚体转动时惯量大小的一个量度，是表征刚体特性的一个物理量。
刚体转动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量分布及转轴位置有关系。
测量刚体的转动惯量对许多研究、设计工作都具有重要意义。
一•刚体的转动惯量定义
刚体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量。
其数值为J=Emi*riA2，式中mi表示刚体的某个质
点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。
求和号（或积分号）遍及整个刚体。
转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。
规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。
不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。
转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：
刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。
由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
二.转动惯量概念的导出及其物理意义
我们首先看看刚体绕一固定轴转动的特点，如果把刚体看成是质点的集合体，当刚体以角速度w匀
速转动时，则刚体上的每一个质点在做绕定轴为中心的、不同半径的园周运动，各质点具有相同的角速度
w。
因此我们可以用诸质点的园周运动来代替刚体的转动，这个特点为我们研究刚体的转动提供了方便
条件。
一个质点（或物体）的平动动能为Ek=?
mv2，如果有一刚体以角速度w绕定轴转动时，欲求刚体的转动动能，该如何计算？
根据刚体转动的特点，可先在刚体上取任意一个质点，如图
（一）所示,其质量m，该
Sr
质点到转轴的距离为ri，转动时相应的线速度vi=wri，它的转动动能为:
整个刚滋的转动动能用戰和汁算得知均*
Ei™SAEn■S
丨■II—Ii
令⑴厶仲冲：
该式叫转动惯量定义式，它表明转动惯量I等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离的平方的乘积之总和，而与质点的速度无关，把I代入式（I）中就得到刚体的转动动能的数学表达式为：
瓦=丄!
****n
（2）
£
转动惯量的单位是：
千克•米,符号为kg•m2,量纲为ML。
转动惯量的物理意义，可从转动动能与平动动能的数学表达式相比较中看出，转动惯
量I相当于质量m,诸如此类的对应关系还有，如：
动量mv对应于动量矩lw,动量守恒定律刀mv=恒量,对应于动量矩守恒定律万刀Iw=|恒量,从对应关系的比较看，在数学表达式中的位置,表明I与m具有相同的物理意义，所以我们说转动惯量是表征物体转动中惯性大小的量度。
两者的物理意义虽有相同之处，但也有不同的地方，质量m是不变的恒量，但转动惯量I除与质量有关外，还要由转轴的位置，物体形状及质量分布情况而确定。
三•常用均匀刚体
（一）常用均匀刚体的转动惯量的求法讨论
1.利用如图1所示空心圆柱体对z轴的转动惯量的表达式进行计算
已知空心圆柱体（如图1）的转动惯量为I=m（Ri2+R22）/2，则有：
*Jt—
Iti2耳呻汕闊
fflJ实归k卄I*
3）因为上述空心圆柱体、薄壁圆筒和实心圆柱体对z轴的转动惯量和厚度L无关，所
以对应有：
1环形圆盘（见图4）的转动惯量匸m（Ri2+R22）/2，
2圆环（见图5）的转动惯量I=mR2.
阳』坏形卿啓
：
'-5岡耳
③圆盘（见图6）的转动惯量I=mR2/2.
利用上述实心圆柱体的I=mR72.又可得到实心球（见图7）的转动惯量.将实心球在与转动轴（z轴）垂直的方向上切成薄片,薄片半径为r,厚度为dl,质量为dm.根据几何关系即：
r2=R2-（R-1）2=2Rl-l2，
MW
H2Li/]
rHpnPlTW2mJ?
7j
利用上面实心球的l=2mR/5,还可得到空心球（见图8）的转动惯量。
设空心球内径为R,外径为同密度的实心球，若以R为半径，则质量为m;若以R为半径，则质量为m。
由
m|=ml
得mi="J?
|）>m|=J¥|i
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扌42卿|网丁5=
2m（R：
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*
甘：
1/时ftj+Abi^i+«；►（3|
当式（3）中Ri=R2时，得到球壳（见图9）的转动惯量
l=2mR/3
R1=0时，可以反过来得到实心球的I=2mR2/5.
医s先心M?
陪9埠壺
2.利用如图10空心圆柱体对z轴的转动惯量的表达式进行计算
已知如图10所示的空心圆柱体对z轴的转动惯量为
亠性如_空亠必…
则有：
1）当R1=R2时，得到薄壁圆筒（见图11）的转动惯量
22
I=（mR/2）+（ml/12）（5）
IX10紀心糊村作禺LI簿吨阿鬧
2）当R1=0时，得到实心圆柱体（见图12）的转动惯量
22
I=（mR/4）+（ml/12）（6）
3）当1=0时,由式⑷、（5）、（6）可以对应地得到：
1环形圆盘（见图13）的转动惯量I=m（Ri2+R2）/4.
2圆环（见图14）的转动惯量I=mR72.
3圆盘（见图15）的转动惯量I=mR74.
圏M圆坤
1«15HI'it
4）当R=0时，由式⑹
可以得到棒A（见图16）的转动惯量
I=ml
2/12.
W16H\
5）禾I」用棒A的转动惯量I=ml712.可以得到棒B（见图17）的转动惯量.
爲17HK
对于棒B,设质量为m,长度为1,转动惯量为I,则将两根棒B直线连接后的棒
A有
2
丨1=2I=（2m）•（21）/12
故I=m12/3
除此以外，还可以由实心圆柱体的转动惯量表达式推得空心圆柱体和薄壁圆筒的转
动惯量，或者由薄壁圆筒的转动惯量表达式积得实心圆柱体和空心圆柱体的转动惯量；
亦可以由空心圆柱体和薄壁圆筒的转动惯量表达式分别积得空心球和球壳的转动惯量；
等等.在此不一一列举.
由此可见，因形状上的联系，这些常用规则形状均匀刚体的转动惯量之间也存在联系，它们可以相互推导•在使用中，只需要记住很少的几个公式，就可由此推出其它刚体的转动惯量.
（二）巧算一类均质刚体的转动惯量
1.证明及通式的推导
设物体的质量为m,通过物体质心C的轴的方向用j表示.该物体对j轴的转动惯量表示为
匸kml2
（1）
其中k是常数，由物体的形状和j的方向决定,l是物体的特征尺寸.
现把物体分成n个小块，其形状和取向都和原物体一样.每个小块对质心的转动惯量都可以用式
（1）表示，且常数k相同，但m、I的值却不同.则物体的转动惯量可以表示为
1-⑺
EI
其中Ii是第i个小块对通过质心C的轴的转动惯量.
由平行轴定理知
2
/it）'+itj{3）
其中mi是第i个小块的质量，ri是从C点到第i个小块的质心的位置矢量，ai是第i个小块对通过自身质心并与j平行的轴的转动惯量.如果每个小块的尺寸是原物体
的一半，那么可以表示为
把式
（1）代入式（4）得
式
（2）变为
又因为有n个相等的小块，故mi=m/n,化简得
其中n=2d,d是物体的维数.
2.举例
例1：
如图1所示，质量为m的均质薄矩形物体，边长为a、b,C为矩形的质心,转轴通过矩形质心，且与矩形b边平行.求物体对转轴的转动惯量.
戈1
-尸-晶ZFBE
例2:
如图2
体质心为坐标原点
x轴的转动惯量，因为长方体是三维的，所以n=23=8,即可把长方体分为:
8£个尺寸是原物体尺寸的一半的相似长方体小块，每个小长方体小块的'八八U,则长方体对
+h2乙~[6~二12
同理，长方体对y、z轴的转动惯量分别为
I干」1-
先求长方体对
16
x轴的转动惯量为
/nla~+A}
因为矩形是二维的,所以n=22=4,即可把原矩形分4个尺寸是原物体尺寸的一半的相似矩形小块，所以
3x4L
/=如
所示，质量为m的均质长方体，长、宽、高分别为a、b、h,取长方,坐标轴x、y、z分别平行三条棱边.求其对三个坐标轴的转动惯量.
如果a=b=h=l,则长方体变为立方体，此时立方体对x、y、z轴的转动惯量都
是I=ml2/6。
例3:
如图3所示,质量为m的均质薄三角形物体,边长分别为a、b、c,底边上的高AH长为ha,三边的中线AD、BEGF相交于一点C,C就是三角形的
质心，转轴MN通过质心且与a边平行.求物体对转轴MN的转动惯量.
因为薄三角形是二维的，所以可以把原三角形分为4个尺寸是原物体尺寸的一半的
相似三角形小块，但位于中间的三角形小块的质心与原物体的质心重合，即ri=0,所以有
—呂亠畀
方程⑴的解为：
的0.368倍,即t=I/R
时,w=0.368wo,当然也可取:
I
d
IT
四•复杂不规则刚体测试原理和方法
先使系统处于匀速转动状态，然后突然切断电源，并使电机电枢短路，这时系统就会由匀速转动状态，逐步过渡到静止状态，过渡时间与转动惯量有关，为求得其关系,可列出运动方程
式中w——系统的角速度
方程的初始条件为：
t=0时,w（r）=M/R式中M——电机转矩
R――系统的阻尼系数
系统的角速度将由初始速度wo=M/R下降到初始速度
阻尼小时取式（3）,阻尼大时取式
（2）。
由此测得w由wo减速到0.368wo所需的时间,以及系统的阻尼系数R,既可求得系统转动惯量—门。
同样,为避免求R,可附加一惯量,并测得对应的时间常数，则系统转动惯量可推导得出：
I-KT
T
I-晒?
=>/=A/（4/
11wI
A/=i-I
我们通过加规则体可以准确的算出,那么如何准确的测出时间：
是问题的关键。
目
前多数情况下是采用人工秒表计时，然后平均的方法得到，误差比较大，本文利用PS-2129的3倍16位定时/计数器,计数过程完全不需人的介入,因而也就避免了计时过程中人为因素产生的误差。
五•对刚体的转动惯量错误计算的分析
转动惯量是物理学中的重要概念，它是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量[1,2]由定义式J=E（Amiri）可看出，转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴的
距离平方的乘积之和。
如果刚体的质点是连续分布的，则其转动惯量可用积分进行计算，即J=/r2dm。
公式看上去很简单，，但是在运用积分求解转动惯量时，往往由于积分方法的错误而导致错误的结果，现以匀质等腰三角形薄板为例，具体分析一下出现计算错误的原因。
两种不同
例：
一匀质等腰三角形薄板ABC,高为h，底边长为a，
（即X轴）的转动■惯量，设薄板质量为m，面密度为旷。
解法一：
在坐标为、-y-i的地方作一宽度为dy的平行于：
x
的转动惯量为：
"11丁
dJ=y2dmEb山」d>
I的积分方法
h
所示，求其对底边
1
黄条，则其对x轴
轴的细横
s1鲜誌一乔竄昭
n
解法二：
如图2所示，在坐标为x的地方作一宽度dx
则其对x轴的转动惯量为dJ=1/3y2dm
的平行于y轴的细竖条,
血dm-&\由
a
我们知道一定的刚体对于确定的转轴，其转动惯量为常数，以上是从转动惯量的定义式出发，运用两种不同的积分方法得出两个不同的结果，显然有一个是错误的。
2.对错误的积分方法的分析
从图2中可看出，△ABC是关于y轴对称的，若我们求出△AOC对于x轴的转动惯量，根据叠加原理，则对于x轴的转动惯量即为其两倍。
因为
（AA（X\shJU-）dx
“Ja
mh
6
可见第二种解法得出的Jxx=3/4mh是错误的。
而解法二的思路是正确的，被积函数式也是对的，那么究竟错在什么地方呢？
由高数知识可知，积分值不但与被积函数式有关，而且也与积分区间有关，从图上看，x的积分区间从-a/2到a/2是没有错误的，这时我们要同时考虑他的被积函数式、积分区间及其物理意义。
当F（x）为偶函数时
F（xJdx=21*txJdx
J-61/（]-
而不是偶函数，所以
a■
2“[6h⑴X
但是根据其物理意义及叠加原理得出的匀质等腰三角形薄板对x
轴的转动惯量的积分表达式，它是正确的，所以解法二的结果必定有误。
其次我们由图2可见，函数y（x）在区间[-a/2,a/2]内
它是一个不连续函数，而不连续函数的积分要分段进行才能得出正确结果，即:
6
由以上分析可知道，直接从定义式出发运用积分方法求解刚体的转动惯量时，积分表
达式和积分区间要同时考虑，还要注意不连续函数的分段积分，这是我们用积分求解转动惯量时应注意的一个问题，但更重要的是要考虑它的物理意义，这对于学生掌握转动惯量的求解及教师的教学都是一个很好的帮助。
结论
本文从刚体的转动惯量定义、常见均匀刚体和复杂不规则刚体的计算方法以及对刚体的转动惯量
错误计算的分析这几个方面来阐述个人观点。
转动惯量的计算在教学中虽不是重点，但做为各科知识间
的联系和运用，应该使学生掌握定积分在物理学中的应用，尤其是积分变量的变换及统一积分变量和运
用已有的积分结果，变重积分和三重积分为线积分的计算方法到电磁学中还要运用。
虽然在本文中力求
全面、客观与准确，但仍存在许多不足之处，如阅读有限、教学实践经验有限，没有大量例举相关事例，在今后的学习中会不断加深理解！
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人民教育出版社，1979.62-63.
Discusstherotaryinertiaofarigidbody
LiangShao
（SchoolofPhysicsandElectricalEngineeringofAnqingNormalCollege,Anqing246011）
Abstract:
Momentofinertiaofrigidbodyisrotatinginertiaofrigidbodyaroundtheaxisofmeasurement,calculationofdynamicsappliedtotherigidbodymotionofthe.Momentofinertiaofrigidbodygenerallyuniformandirregularrigidbody.Analysisofthispaperfromthemomentofinertiaofrigidbodyisdefined,thecommonuniformrigidandcomplicatedandirregularrigidcalculationmethodofrigidbodyinertiaerrorcalculation.Sothatpeoplecanbroadenthethinkinginthemomentofinertiaofrigidbodyinertiawhenlearining,learntoseekinnovativewaystosolveallkindsofrigidbody.
Keywords:
Themomentofinertiaofrigidbody,rigidanduniform,irregularrigid,analysisoferrorcalculation
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