欧拉的著作.docx

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欧拉的著作

19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说：

"研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．"

1．数论

欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。

欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关。

欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。

2．代数

欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。

3．无穷级数

欧拉的《微分学原理》（Introductiocalculidifferentialis，1755）是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子。

欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。

1777年，为了把一个给定函数展成在（0，“180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式。

欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。

他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。

他还提出了两种求和法。

这些丰富的思想，对19世纪末，20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。

4．函数概念

18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作。

它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。

这三部书是分析学发展的里程碑四式的著作。

5．初等函数

《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论。

其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫佛（deMoivre）公式的一个推导。

欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式（这里i表示趋向无穷大的数；1777年后，欧拉用i表示），但仅考虑了正自变量的对数函数。

1751年，欧拉发表了完备的复数理论。

6．单复变函数

通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。

他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展。

7．微积分学

欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。

8．微分方程

《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。

他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。

在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名词。

1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低。

欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究。

他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方程的。

9．变分法

1734年，他推广了最速降线问题。

然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。

1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。

这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。

10．几何学

坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程。

微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。

1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。

这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑。

欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平。

1735年，欧拉用简化（或理想化）的表示法解决了著名的歌尼斯堡七桥游戏问题得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理。

重要数学著作列表

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这些是数学上的重要著作，按领域组织。

为什么一个特定的著作被认为是重要的一些原因:

∙课题开创者–创立了新方向的出版物。

∙突破–使得科学知识发生重大改变的出版物

∙综述–对于一个课题的好的介绍或者综述

∙影响–对世界有着重大影响的出版物。

∙最现代且最优秀–一个课题中最前沿的结果

[隐藏]

∙1几何

o1.1几何原本

o1.2LaGéométrie（几何学）

∙2逻辑

o2.1概念文字（Begriffsschrift）

o2.2数学公式汇编（Formulariomathematico）

o2.3数学原理（PrincipiaMathematica）

o2.4哥德尔不完备定理

∙3信息论

∙4数论

o4.1算术研究（DisquisitionesArithmeticae,或译整数论研考）

o4.2关于小于给定值的质数（OntheNumberofPrimesLessThanaGivenMagnitude）

o4.3数论讲义（VorlesungenüberZahlentheorie）

o4.4数论，从汉默拉比到勒让德的历史的方法（NumberTheory,AnapproachthroughhistoryfromHammurapitoLegendre）

o4.5数论导引（AnIntroductiontotheTheoryofNumbers）

∙5微积分

o5.1自然哲学的数学原理（PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica）

o5.2普通读者的牛顿原理（Newton'sPrincipiafortheCommonReader）

∙6数值分析

o6.1流数法（MethodofFluxions）

∙7博弈论

o7.1博弈的演变和理论（EvolutionandtheTheoryofGames）

o7.2博弈和经济行为的理论（TheoryofGamesandEconomicBehavior）

o7.3论数字和博弈（OnNumbersandGames）

o7.4数学玩家的制胜之道（WinningWaysforyourMathematicalPlays）

∙8分形

o8.1英国的海岸线有多长？

统计自相似和分数维度

∙9早期手稿

o9.1兰德数学纸草书（RhindMathematicalPapyrus）

o9.2算数书

o9.3九章算术

o9.4阿基米德重写本（ArchimedesPalimpsest）

o9.5沙计算手册（TheSandReckoner）

∙10教科书

o10.1纯数学教程（CourseofPureMathematics）

o10.2问题求解艺术（ArtofProblemSolving）

o10.3原逻辑:

标准一阶逻辑的元理论入门

∙11流行读物

o11.1《哥德尔、埃舍尔、巴赫》

o11.2数学世界

∙12算术

o12.1算术:

或者说，艺术的基础（Arithmetick:

or,TheGroundeofArts）

o12.2校长的助手，实用和理论算术的综述

∙13抽象代数

o13.1现代代数（ModerneAlgebra）

∙14线性代数

∙15代数几何

o15.1海岛算经

o15.2数书九章

o15.3代数凝聚层（FaisceauxAlgébriquesCohérents）

o15.4代数几何和解析几何（GéométrieAlgébriqueetGéométrieAnalytique）

o15.5代数几何基础（Élémentsdegéométriealgébrique）

o15.6代数几何研讨会（Séminairedegéométriealgébrique）

o15.7代数几何

∙16泛代数

∙17群论

∙18单群

∙19拓扑

o19.1拓扑学

∙20图论

∙21范畴论

o21.1数学工作者的范畴（CategoriesfortheWorkingMathematician）

o21.2计算科学的范畴论（CategoryTheoryforComputingScience）

∙22序理论

∙23三角学

∙24微分几何

∙25微分拓扑

o25.1微分观点看拓扑（TopologyfromtheDifferentiableViewpoint）

∙26代数拓扑

o26.1代数拓扑

∙27分形几何

∙28离散数学

∙29组合论

∙30集合论

o30.1简单集合论（NaiveSetTheory）

o30.2基数和序数（CardinalandOrdinalNumbers）

o30.3连续统假设的一致性（TheConsistencyoftheContinuumHypothesis）

o30.4集合论和连续统假设（SetTheoryandtheContinuumHypothesis）

∙31优化原理

o31.1新变分法（TheNewVariationalMethod）

o31.2线性规划分解原理（DecompositionPrincipleforLinearPrograms）

o31.3网络流和一般匹配（NetworkFlowsandGeneralMatchings）

o31.4路径，树和花（Paths,treesandFlowers）

o31.5定理证明过程的复杂度（Thecomplexityoftheoremprovingprocedures）

o31.6组合问题中的可归约性（Reducibilityamongcombinatorialproblems）

o31.7单纯形算法有多好?

（Howgoodisthesimplexalgorithm?

）

o31.8线性规划和多项式时间算法（LinearProgrammingandPolynomialtimealgorithms）

o31.9线性规划的新多项式时间算法（Newpolynomial-timealgorithmforlinearprogramming）

o31.10凸规划的内点多项式算法（InteriorPointPolynomialAlgorithmsinConvexProgramming）

[编辑]几何

[编辑]几何原本

∙欧几里得

出版时期:

约公元前300年

网上版本:

交互式Java版

简述:

这可能不仅是几何最重要的著作而且也是数学最重要的著作。

它包含很多几何，数论的重要结果和第一个算法。

原本现在依然是有价值的资源和对算法的一个好的导引。

比这本书中任何特定的结果更为重要的是，似乎该书最大的成就是把逻辑和数学证明作为一种解决问题的方法推广开来。

重要性:

课题创立，突破，影响，综述，最现代且最优秀（虽然它是第一个，但是有些结果仍然是最现代的）

[编辑]LaGéométrie（几何学）

∙笛卡尔

简述:

LaGéométrie出版于1637年，笛卡尔著。

该书对于直角坐标系的发展有重大影响，特别是对通过实数来表示平面上的点进行了讨论;此外还有关于通过方程来表示曲线的论述。

重要性:

课题开创者,突破,影响力

[编辑]逻辑

[编辑]概念文字（Begriffsschrift）

∙哥特洛布·弗雷格（GottlobFrege）

简介:

出版于1879年,标题Begriffsschrift通常译为概念写作或概念记号;概述的完整标题把它等同为"一个纯粹思想的公式语言,建模于算术语言".弗雷格发展他的形式逻辑系统的动机和莱布尼兹想要找一个计算推论器（calculusratiocinator）是相似的.弗雷格定义了一个逻辑计算法来支持他在数学基础方面的研究.Begriffsschrift既是书名又是里面定义的计算法的名字.

重要性:

可以称的上逻辑方面自亚里士多德以来最重要的著作.

[编辑]数学公式汇编（Formulariomathematico）

∙皮亚诺（GiuseppePeano）

简介:

初版于1895年,Formulariomathematico是第一部完整的使用形式化语言书写的数学书.它包含的数理逻辑的表述和很多数学其它分支的很多重要定理.很多该书引入的概念在今天成为日常使用的概念.

重要性:

影响力

[编辑]数学原理（PrincipiaMathematica）

∙罗素（BertrandRussell）和怀特海得（AlfredNorthWhitehead）

简介:

数学原理是关于数学基础的三部头著作，作者罗素和怀特海德，出版于1910年-1913年。

它是使用符号逻辑中的定义严谨的公理集和推理规则来导出所有数学真理的一个尝试。

是否可以从原理的公理集导出矛盾，以及是否存在不能在该系统中被证明或证否的数学命题的问题依然存在。

这些问题以一种令人有些失望的方式于1931年为歌德尔不完备定理所解决。

重要性:

影响力

[编辑]哥德尔不完备定理

（ÜberformalunentscheidbareSätzederPrincipiaMathematicaundverwandterSysteme,MonatsheftefürMathematikundPhysik,vol.38（1931）.）

∙哥德尔

在线版本:

在线版本

简述:

在数理逻辑中，哥德尔不完备定理（Gödel'sincompletenesstheorems）是哥德尔于1930年证明的两个著名定理。

第一个不完备定理表明:

对于满足下列条件的任何形式系统

（1）它是ω-一致的（ω-一致）,

（2）它有递归可定义的公理集和推导规则，（3）每个自然数的递归关系在其上可定义，存在该系统的一个公式，按照系统所设想的解释，它表达关于自然数的一个事实，但它不是该系统的一个定理。

重要性:

突破,影响力

[编辑]信息论

请参看信息论著作列表

[编辑]数论

[编辑]算术研究（DisquisitionesArithmeticae,或译整数论研考）

∙高斯（CarlFriedrichGauss）

简介:

算术研究是德国数学家卡尔·弗雷德里希·高斯所著的数论教科书，初版于1801年，高斯24岁。

在该书中，高斯把诸如费马，欧拉，拉格朗日和勒让德等数学家的数论结果收到一起并加上了他自己的重要新成果。

重要性:

突破,影响力

[编辑]关于小于给定值的质数（OntheNumberofPrimesLessThanaGivenMagnitude）

∙黎曼（BernhardRiemann）

简介:

关于小于给定值的质数（ÜberdieAnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGrösse）是一篇有开创性的论文，作者黎曼，发表于1859年11月版的柏林科学院每月汇报。

虽然这是他唯一发表过的数论论文，它包含了影响了19世纪后期开始直到今天的几十位研究者的思想。

该论文主要由定义、启发式论证、证明概略和强力的解析方法的应用；所有这些成了现代解析数论的基本概念和工具。

重要性:

突破,影响力

[编辑]数论讲义（VorlesungenüberZahlentheorie）

∙狄利克雷（JohannPeterGustavLejeuneDirichlet）和戴德金（RichardDedekind）

简介:

数论讲义是德国数学家狄利克雷和戴德金所著的数论教科书，发表于1863年。

讲义可以看作是费马、雅各比和高斯的经典数论和戴德金、黎曼和希尔伯特的现代数论之间的分水岭。

狄利克雷没有显式的识别出现代代数的中心概念群，但是很多他的证明表明他有对群论的隐含的理解。

重要性:

突破,影响力

[编辑]数论，从汉默拉比到勒让德的历史的方法（NumberTheory,AnapproachthroughhistoryfromHammurapitoLegendre）

∙AndreWeil

简介:

由该领域的20世纪最伟大的研究者之一所著的数论历史研究。

该书涉及了36个世纪的算术著作，但是大部分主要用于费马、欧拉、拉格朗日和勒让德的工作的仔细研究和解说。

作者希望把读者带到他所述的人物的工作场所去分享他们的成功和失败。

这是一个少有的通过一个主题的最伟大的实践者之一的思想来观看它的历史发展的机会。

重要性:

[编辑]数论导引（AnIntroductiontotheTheoryofNumbers）

∙高德菲·哈罗德·哈代

简介:

经典数论教材。

重要性:

[编辑]微积分

[编辑]自然哲学的数学原理（PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica）

∙牛顿

简述:

PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica（拉丁文:

"自然哲学的数学原理",常略为原理或数学原理）是牛顿发表于1687年7月5日的三卷著作。

可能是所有曾出版的科学著作中最有影响力的，它不仅包含了构成经典力学根基的牛顿运动定律也包含了他的万有引力定律。

他推导出行星的运动的开普勒定律，之前这些定律是经验公式。

在表述他的物理理论时，牛顿也发展出一个称为微积分的数学领域。

在这本书出版之前，数学仅仅用于描述自然。

这是第一个数学用于解释自然的例子。

这里诞生了一种实践方式，现在已经是如此标准的做法以至于我们把它和科学视为同一个东西，这种方式就是通过假定数学公理并表明他们的结论是可观测的现象来解释自然。

换句话说,原理一书的伟大之处不仅在于发展了一些物理和数学的基本理论，而且是第一个也是最彻底的（从这个标题充分显示）联系了科学和数学。

该书的影响如此深刻，使得今天我们觉得这个联系如此之明显，令人无法想象科学可能有任何别的途径。

重要性:

课题创立,突破,影响力

[编辑]普通读者的牛顿原理（Newton'sPrincipiafortheCommonReader）

∙S.Chandrasekhar

简介:

采用现代术语和语言对牛顿上述的杰作的大部分进行的重新展示。

数学和物理的语言和术语从牛顿时代以来有了很多变更，这使得现代的读者即使是在原来的拉丁文的翻译本中依然难以理解牛顿的原稿。

Chandrasekhar的热心工作使得熟悉代数、几何、微积分的现代方式的现代读者得以通过牛顿原来所构想的那样来阅读他的著作而欣赏到他的天才。

重要性:

为数学和科学的经典之作的现代读者所作的翻译

[编辑]数值分析

[编辑]流数法（MethodofFluxions）

∙牛顿（IsaacNewton）

简介:

流数法是牛顿所著的一本书。

该书完成于1671年，发表于1736年。

在这本书中，牛顿描述了一种求函数实零点的方法（牛顿-拉富生法（Newton-Raphsonmethod））。

重要性:

课题创立,突破,影响力

[编辑]博弈论

[编辑]博弈的演变和理论（EvolutionandtheTheoryofGames）

JohnMaynardSmith

[编辑]博弈和经济行为的理论（TheoryofGamesandEconomicBehavior）

（博弈和经济行为的理论,第三版,普林斯顿大学出版社1953年）

∙摩根斯坦（OskarMorgenstern）,冯·诺伊曼（JohnvonNeumann）

简介:

这么书导致了对现代博弈论作为重要数学分支的研究。

者本身克的著作包含了寻找二人零和博弈的最优解的方法。

重要性:

影响力,课题创立,突破

[编辑]论数字和博弈（OnNumbersandGames）

∙JohnConway

简介:

该书分为两部,{0,1|},两部分。

第零部分关于数字，第一部分关于博弈-包括博弈的价值和一些真正可玩的博弈，例如Nim,Hackenbush,Col和Snort和其他很多。

重要性:

[编辑]数学玩家的制胜之道（WinningWaysforyourMathematicalPlays）

∙ElwynBerlekamp,JohnConway和RichardK.Guy

简介:

数学博弈的信息的综述。

它初版于1982年，分为两部，一部主要集中于组合博弈和超实数，另一部主要关于一些特定的博弈。

重要性:

[编辑]分形

[编辑]英国的海岸线有多长？

统计自相似和分数维度

∙班瓦·孟德伯

简介:

关于分数维度在1和2之间的自相似曲线的讨论。

这些曲线是分形的例子，虽然孟德伯在该论文中没有使用这个术语，因为他直到1975年还没有创造这个词。

它显示了孟德伯对于分形的早期思考，并且是把数学对象和自然形式连接起来的例子，这是他后来很多工作的一个主题。

重要性:

[编辑]早期手稿

这些是不一定和现在的数学家相关的出版物，但是对于数学史很重要的著作。

[编辑]兰德数学纸草书（RhindMathematicalPapyrus）

∙Ahmes（拷贝者）

简介:

这是最老的数学文本之一，属于古埃及第二中间期。

它是由抄写员Ahmes（properlyAhmose）从更老的中王国纸草所做的复件。

除了描述了如何得到π的近似方法，精度达到1%，它也描述了最早对化圆为方问题的尝试之一，并在这个过程中显示了有说服力的证据，表明埃及人刻意造金字塔来用其中的比例来神化π值的理论是不对的。

虽然说纸草代表了即使是对解析几何的原始尝试也是过于夸张，但Ahmes的确是用了类似余切的概念。

重要性:

[编辑]算数书

∙作者未知

[编辑]九章算术

∙作者未知

简介:

中国数学书，可能成书于公元1世纪，也可能是公元前200年。

它的内容包括：

采用西方后来称为试位法（falsepositionrule）的原则来进行的线性问题求解。

多未知数问题求解（涉及由南宋数学家秦九韶受周易启发发明的“大衍求一术”和“孙子剩余定理”），采用和高斯消去法类似的原则。

涉及到西方称为毕达哥拉斯定理（在中国又称之为“勾股定理”）的原则的问题。

重要性:

[编辑]阿基米德重写本（ArchimedesPalimpsest）

∙阿基米德（ArchimedesofSyracuse）

简介:

虽然作者仅有的数学工具是今天看来的中学几何，他用罕见的智慧使用的这些方法，显式的采用了无穷小来解决现在用积分学处理的问题。

这些问题包括求实心半球的重心，求圆形抛物面台的重心，以及抛物线和它的一条割线所围成的区域的面积。

和某些20世纪微积分教科书中对历史无知的说法相反，他没有用任何象黎曼和这样的东西，包括在这个重写