工程力学算例.docx
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工程力学算例
《工程力学》综合复习资料
、悬臂梁AB,长L,抗弯刚度EI,受力Po
求：
（1）写出该梁的挠曲线近似微分方程；
（2）写出该梁的边界位移条件。
解答提示:
在图示坐标系中，由于在0MxML范围内五荷载突变，故梁全场的弯矩方程为:
M（x）=Px,有因为是等截面梁，所以由书中9.6式子得到确定梁挠度的微分方程及其积
分为:
EIz
。
=一M（x）=Px,dx2
12
EIZ.x）Pxc
2
13
EIzy（x）=—Px3+cx+D,利用支承条件，可确定上述方程中的积分常数C、Do对
6
于固定端处截面，其转角和y方向的位移均为零，即:
y（L）=0,e（L）=0,分别将此边界条件代入微分及积分方程，可以得至ij：
1213
C=—pl2,d=--pl3,于是该梁的转角方程以及挠度方程分别为:
23
1_2_2
u（x）=（Px2-PL2）
2EIz
11_31—21—3
y（x）=（—Px-一PLx--PL）,挠曲线形状如图所不，ymax及Hmax均发生在自
EIz623
由锻处，即x=0代入转角方程以及挠度方程:
ymax
ymax=y（0）=-
PL3
3EIz
二、求梁的约束反力。
%ax=1（0）=
2
m=M=4qa
解答提示：
以外伸梁ABC为研究对象，其中A为固定较链支座，故Ra的方向未定，将其分解
为XA、Ya；B为可动较链支座，RB的方向垂直于支撑面，列出平衡方程：
..__,.（aa）_2_
mmA（F）=0q（aa）Rba4qa=0
2
“X=0Xa=0
，Y=0YaRb_2qa=0
最后角错:
：
Ra=4qa（向下），Rb=6qa（向上）
解答提示：
确定支座反力，得到剪力图和弯矩图并判断危险截面：
、Ma（F）=0,2NB3P=0=NB=-1.5P=-75KNm
FF（Y）=0,有Na=25KN，由梁的受力特点知其最大弯矩在B点处，
Mmax=50KN.m,而由弯矩方向和中性轴的位置画出危险横截面的正应力分布图如图所
示，且最大拉应力发生在B端截面的下边缘，其值为:
_'MmaxymaxMBy2
。
==
maxII
IZIZ
最大压应力发生在B端截面的上边缘，其值为:
五、已知：
结构如图所示,
A处受P力作用。
AB杆为圆截面，直径d=40mm,弹性模量E
2
临界应力的经验
=200GPa，压杆临界应力的欧拉公式为®r=%E/
公式为优尸a-b入，常数a=304MPa,b=1.12MPa。
适用欧拉公式的柔度下限值p=90,稳定安全系数n=2。
求：
试根据AB杆的稳定性条件，确定结构的许可载荷［P］。
提示：
先求AB杆轴力N2与P的静力关系；再求AB杆的实际柔度、临界
压力和许可压力；最后求［P］。
解答提示:
以A点为研究对象进行受力分析，假设1、2杆的轴力分别为N1、N2（均假设为拉力）列力的平衡方程为:
▼F（X）=0,
■.■.0-
N2Nicos30=0
F（Y）=0,P-N1sin300=0
联立求得：
Ni=2P,N2=—J3P（负号表示为压力）
山I二d44d
由于，=」，i=又因为两端为球较约束,
iA.64二d24
所以有：
儿=一=100AKp=90,由此可知应该使用临界应力的欧拉公式a产，E/2
dp
进行计算：
2一2
二E二dri，…八一、八一，~，，,.
Pcr=bcr-A=^——=248KN，题中给出稳定安全系数n=2,所以由书中公式4
P
得到：
PW*=124KN,N2=J3[P]WP=[P]W71.59KNn
六、已知：
圆截面杆AB承受轴向压力P,两端球较约束，长L=1.2m,直径d=4cm,弹性系数E=200GPa,比例极限g100MPa,压杆临界应力的欧拉公式为ccr=uE/2，临界应力的经验公式为ocr=a-b\常数a=304MPa,b=1.12MPa。
试求临界力Pcr=?
（提示：
先求压杆实际柔度入，细长杆与中长杆的分界柔度加，再决定选用哪个
临界力公式）
解答提示：
以圆截面杆为研究对象进行受力分析:
£F（X）=0,P+N=0求得：
N=—P
用临界应力的欧拉公式％=兀2E/2进行计算:
二2E二d2
Pcr=；:
.crA=--——=172.3KN24
七、画出下图所示梁的剪力图和弯矩图。
3qa2Lq
2qa
__q______N
]"JirVT1LJA
B~~~~~~~~
试用第三强度理论校核AB段的强度。
解
（1）首先将P力向B点平移，其中作用在轴上的扭转外力矩为Me=MB,判断AB段为
弯扭组合变形，而：
me=mB=a父P=PaKN・m
（2）简化后传动轴的受力简图如图所示，由此得到A处的支座反力为：
RA=PKN
其中的受力分析可知A截面处的弯矩最大，其上扭矩为PaKN.m,故该截面为危险截面
Mmax二RbL=2PaKN，m
（3）按照第三强度理论校核该轴强度:
故满足强度要求。
解答提示:
以压杆为研究对象进行受力分析:
FF（Y）=0,P+N=0求得：
N=P=—100KN（负号表示为压力）
由于九=出，i=JJ-=严4=d又因为一端为可动钱链约束，一端为固端
iA.64二d24
约束R=0.7。
40.71
所以有：
九==105M%=100,由此可知应该使用临界应力的欧拉公式
dp
电=兀1/2进行计算：
二2E二d2目匚»，人I生…、人b,上»q
Pcr=Jr,A=^——=224.6KN，题中给出稳定安全系数n=3,所以由书中公式4
P
得到：
PE上=74.87KN,N=100标P=74.87,所以此压杆不满足稳定性要求。
n
卜一、已知：
简支梁承受集中载荷如图（a）所示，横截面形状及尺寸如图（b）所示，Iz
=188M06mm4。
求：
（1）画出梁危险截面的正应力分布图,
（2）求该梁的最大拉应力o+max
图（a）
解答提示：
确定支座反力，得到剪力图和弯矩图并判断危险截面：
、Ma（F）=0,2Nb100=0=Nb=50KN
FF（Y）=0,有Na=50KN，由梁的受力特点知其最大弯矩在C点处，
Mmax=50KN.m,而由弯矩方向和中性轴的位置画出危险横截面的正应力分布图如图所
示，且最大拉应力发生在C端截面的下边缘，其值为:
MmaxyMCy1
maxmaxci
rr==
maxiI
IZIZ
最大压应力发生在C端截面的上边缘，其值为:
_-MmaxymaxMCy2
、-max二二
IZIZ
十二、下图所示直径为d=20mm的圆截面折杆ABC,已知材料许用应力k】=170MPa。
试用第三强度理论确定折杆AB段长度L的许可值。
解
（1）首先将P力向B点平移，其中作用在轴上的扭转外力矩为Me=MB,判断AB段为
弯扭组合变形，而：
me=mB=aP=PaKN*m
（2）简化后传动轴的受力简图如图所示，由此得到A处的支座反力为：
Ra=PKN
其中的受力分析可知A截面处的弯矩最大，其上扭矩为PaKN.m,故该截面为危险截面：
Mmax=RbL=2PaKN*m
（3）按照第三强度理论校核该轴强度:
=Mmax：
—MA：
"a—（Pa）2R=a二⑼廿*二9°2）3=149mm=
二（d）3/32二（d）3/3232,5P3250.2
十三、已知：
桥梁桁架如图所示，节点载荷为P=1200kN、Q=400kN。
尺寸a=4m,b=3
解答:
以整体为研究对象，画受力图，如下图所示。
其中A为固定较链支座，故Ra的方向未定，将其分解为Xa、Ya；B为可动较链支座，Rb的方向垂直于支撑面，Q、P为主动力，列出平衡方程：
'、mA（F）=0P2aQ匕-Rb3a=0
，X=0XaQ=0
▼Y=0YaRb-P=0
Ya=（Pa-Qb）/3a=300kN（向上）
解得：
XA=-Q=-400kN（负号说明Xa方向向左）
RB=（2Pa+Qb）/3a=900kN（向上）
然后利用截面法进行解题，作I-I截面如图所示，分别有①、②、③杆的轴力为Ni、
N2、N3,假设方向均为拉力，列平衡方程为，首先以左半部分为研究对象，对E点取矩有:
mmE（F）=0Yaa+XAb—Nib=0=N1=XAh+YAa=800KN（拉力）
b
对D取矩有：
Ya2a
mmD（F）=0Ya2a+N3，b=0=N3=--A——=—800KN（负号代表压力）
b
对A取矩有：
b
mmA（F）=0N3b-N2ADsina=0;since=一=N2=500KN（拉力）
b2a2
T1,
二120
十四、已知：
传动轴如图所示，C轮外力矩Mc=1.2kNm,E轮上的紧边皮带拉力为
松边拉力为丁2,已知Ti=2T2,E轮直径D=40cm，轴的直径d=8cm,许用应力［日
Mpa。
求：
试用第三强度理论校核该轴的强度。
解题提示:
判断
首先将皮带拉力向截面形心简化，其中作用在轴上的扭转外力矩为Mc=1.2kNm,
CB轴为弯扭组合变形，而:
m=D（T1-T2）=T2=6KN,Ti=12KN,1+T2=18KN
2
简化后传动轴的受力简图如图所示，由此得到A、B处的支座反力分别为：
Ra=Rb=9KN。
由其中的受力分析可知E截面处的弯矩最大，其上扭矩为1.2KN.m,故
该截面为危险截面，Mmax=Ra.0.5=0.5父9=4.5KN,按照第三强度理论校核该轴强度:
r3
4.521.22
3
二（0.08）/32
=92.65MPaY[o]=120MPa,所以满足要求。
Rb
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