泰勒公式.doc

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泰勒公式

泰勒公式

一带有佩亚诺型余项的泰勒公式

由微分概念知：

在点可导，则有．

即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为（）的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数．为此，我们考察任一次多项式

（1）

逐次求它在点处的各阶导数，得到

，，，

即

由此可见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定．

对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数．由这些导数构造一个次多项式

（2）

称为函数在点处的泰勒（Taylor）多项式，的各项系数1，2，…，）称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即（3）下面将要证明，即以

（2）式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为关于的高阶无穷小量．

定理6．8若函数在点存在直至阶导数，则有

（4）

证设（

现在只要证

由关系式（3）可知，

并易知

因为存在，所以在点的某邻域U（）内存在—1阶导函数．于是，当且时，允许接连使用洛必达法则，—1次，得到

定理所证的（4）式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺（Peano）型余项．所以（4）式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式．

注1若在点附近满足，（5）

其中为

（1）式所示的阶多项式，这时并不意味着必定就是的泰勒多项式．例如其中D为狄利克雷函数．不难知道，在处除了外不再存在其他任何阶导数（为什么?

）．因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式，但因即，所以若取

时，（5）式对任何恒成立．

注2满足（5）式要求（即带有佩亚诺型误差）的n次逼近多项式是唯一的．

综合定理6．8和上述注2，若函数满足定理6．8的条件时，满足（5）式要求的逼近多项式只可能是的泰勒多项式．

以后用得较多的是泰勒公式（4）在时的特殊形式：

它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式．

例1验证下列函数的麦克劳林公式：

（2）

（4）；

（6）．

证这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明．

（2）设，由于，因此

代人公式（6），便得到的麦克劳林公式．由于这里有，因此公式中的余项可以写作，也可以写作）．关于公式3）中的余项可作同样说明．

设因此代人公式（6），便得的麦克劳林公式

利用上述麦克劳林公式，可间接求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式，还可用来求某种类型的极限．

例2写出的麦克劳林公式，并求与．

解用替换公式1）中的，便得

根据定理6．8注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式．

由泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为

由此得到

例3求在处的泰勒公式．

解由于因此

根据与例1的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式．

例4求极限.

解本题可用洛必达法则求解（较繁琐），在这里可应用泰勒公式求解．考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取，并利用例2）：

因而求得

二带有拉格朗日型余项的泰勒公式

上面我们从微分近似出发，推广得到用次多项式逼近函数的泰勒公式（4）。

它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：

当时，逼近误差是较高阶的无穷小量。

现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。

定理6.9（泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得

（7）

证作辅助函数

所要证明的（7）式即为或.不妨设,则与在上连续,在内可导,且

又因，所以由柯西中值定理证得

其中.

（7）式同样称为泰勒公式，它的余项为

称为拉格朗日型余项．所以（7）式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。

时，即为拉格朗日中值公式所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广．

当时，得到泰勒公式

（8）

（8）式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式．

例5把例1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式

解

（1），由，得到

（2）由

得到

（3）类似于，可得

（4）得到

。

（5），由，

得到

（6）由得到

三在近似计算上的应用

这里只讨论泰勒公式在近似计算上的应用．在§4，§5两节里还要借助泰勒公式这一工具去研究函数的极值与凸性．

例6

（1）计算e的值，使其误差不超过；

（2）证明数e为无理数．

解

（1）由例5公式

（1），当时有

（9）

故，当时，便有

.

从而略去而求得e的近似值为

（2）由（9）式得

（10）

倘若（为正整数），则当时,n!

e为正整数，从而（10）式左边为口

整数．因为，所以时右边为非整数,矛盾．从而e只能是无理数．

例7用泰勒多项式逼近正弦函数（例5中的

（2）式），要求误差不超过．试以和两种情形分别讨论：

的取值范围．

（i）时，，使其误差满足

．

只须（弧度），即大约在原点左右范围内以近似sinx，其误差不超过．

（ii）时，，使其误差满足：

只需，（弧度），即大约在原点左右范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过.

如果进一步用更高次的多项式来逼近，能在更大范围内满足同一误差．

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