简单的空间向量求角度.docx
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简单的空间向量求角度
1如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点E是棱AB上的动点.
（I）求证：
DA丄ED;
AE1
（n）若直线DA与平面CED成角为45°,求的值；一
AB2
（川）写出点E到直线DC距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）
2、在棱长为2的正方体ABC—AiBiCD中，E,F分别为AD和CC的中点.
（I）求证：
EF〃平面ACD;
（n）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值;
（川）在棱BB上是否存在一点
P,使得二面角
P-AC—B的大小为30°?
若存在，求出
BP的长；若不存在，请说明理由.
BP
3、在长方体
ABCD-AiBiCiDi中，AAi=AD=2，点E在棱CD上，且CE=gcD.
（I）求证：
ADi平面ABD；
（n）在棱AA“上是否存在点p，使
DP//平面B1AE?
若存在，求出线段AP的长;
4
若不存在，请说明理由；
3
4、如图,在长方体ABCDABiCiDi中，AAiAD1,E为CD的中点，F为AAi的中占
八、、-
（I）求证：
ADi平面AiBiE；
（II）求证:
DF//平面ABiE;
（III）
i
若二面角ABiEAi的大小为45,求AB的长.
5、已知直四棱柱ABCDABCD，四边形ABCD为正方形，AA2AB2,E为棱
CC的中点.
（I）求证：
AE平面BDE；
（n）设F为AD中点，G为棱BB'上一点，
且BG1BB，求证：
FG//平面BDE；
4
5』
（川）在（n）的条件下求二面角GDEB的余弦值——
9
6、在正四棱柱ABCDABC1D1中,AAi2AB2,
E为AD中点，F为CC1中点.
（I）求证：
ADD1F；
（n）求证:
CE//平面AD1F；
（川）求平面ADiF与底面ABCD所成二面角的余弦值
7、已知正四棱柱ABCD
AiB1C1Di中，AB2,AAi
4.
（I）求证：
BDA,C;
（n）求二面角AACDi的余弦值;
.10
5
（川）在线段cCi上是否存在点P，使得平面ACDi
CP
存在，求出-CS的值；若不存在，请说明理由
PCi
8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA
AE=PA=4,BE=2.
（I）求证：
CE//平面PAD；
平面ABCD,
（n）求pd与平面PCE所成角的正弦值;
（川）在棱AB上是否存在一点F，使得
AF
平面DEF平面PCE?
如果存在，求——的值;
AB
如果不存在，说明理由.
AF3
AB5
平面PBD，若
PA〃BE,
9、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，其中
AF//BE,ABBE,平面ABCDI平面ABEFAB,ABBE2,AF1.
（I）求证：
AC//平面DEF；
（H）若二面角DABE为直二面角•
（i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；一
6
（ii）棱DE上是否存在点P,使得BP平面DEF?
若存在，求出-Dp的值;若不存在,
DE
2
请说明理由•-
10、如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA底面ABCD,BAD90°,AD//BC,
且A.AABAD2BC2，点E在棱AB上，平面AEC与棱CQ相交于点F.
（I）证明：
AF//平面BCE；
n）若E是棱AB的中点，求二面角A1ECD的余弦值;
11、如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形，点
M,N分别为线段PB,PC上的点,MNPB.
（I）求证：
BC平面PAB;
（n）求证:
当点M不与点P,B重合时，M,N,D,A四个点在同一个平面内；
（川）当PAAB2,二面角CAND的大小为—时，求PN的长.PN门
3
12、如图，在四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，底面ABCD为梯形，ADPBC,
ADAB,且PBABAD3,BC1.
1
（I）若点F为PD上一点且PFPD,
3
证明：
CFP平面PAB;
（n）求二面角BPDA的大小；一
3
（川）在线段PD上是否存在一点M，使得CMPA?
若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由
PM
-PD
13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD135，侧面
PAB底面ABCD,BAP90,ABACPA2,E、F分别为BC、AD的
中点，点M在线段PD上.
（I）求证：
EF平面PAC;
（II）若M为PD的中点，求证：
ME//平面PAB；
（III）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的;
求理的值
PD
3.3
2
14、如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，BADAD2，ABBC1.
（I）求证：
平面PAD平面ABCD;
（H）若E为PD的中点，求证：
CE//平面PAB;
（川）若DC与平面PAB所成的角为30，求四棱锥
1
P-ABCD的体积.PO1,V-
2
90,PAPD,ABPA,
15、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD,BC1,
AB
2,PCPD.2,E为PA中点.
求证：
PC//平面BED;
求二面角APCD的余弦值；丄6
3
明理由罟
（川）在线段PB上是否存在点N使得平面CNM平面PAB?
若存在，求出空的
PB
值，若不存在，说明理由。
17、如图，正方形ABCD勺边长为4,E,F,分别为BC,DA的中点，将正方形ABCD沿着线段
EF折起，使得DFA=60，设G为AF的中点
（1）求证：
DGLEF
（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值
19
（3）设P,Q分别为线段DG,CF上一点，且PQ//平面ABEF求线段PQ长度的最小值。
餐卫
17
19、如图，PA平面ABC,ABBC,AB
（I）求证：
AM平面PBC；
（n）求二面角APCB的余弦值；一10
10
（川）证明：
在线段PC上存在点D,使得
PD4
BDAC,并求的值.一
PA2BC2,M为PB的中点.
BB1G=60o，平面AA^B1B平面BBGC.
PC5
21、如图，AB是圆0的直径，点C是圆O上不同于AB的一点，/BAC=45,点V是圆0所在平面外一点，且VA=VB=V,CE是AC的中点.
（I）求证：
0E/平面VBC
（U）求证：
V0面ABC
（川）已知是平面VBC与平面VOE所形成的二面角的
平面角，且0°90°,若OA=OV=1求cos的
值.cos于
22、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P从平面ABCDE为PD的中点.
（I）证明：
PB//平面AEC
8
（H）设二面角D-AE-C为60°，AP=1,AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.
23、如图三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BBiGC为菱形，ABB1C.
（I）证明：
ACAB1；
（U）若ACAB1,CBB160°,AB=BC
求二面角AAiBi
Ci的余弦值.
24、如图，在四棱锥P-ABCD中，PAA底面ABCD，ADAAB，AB//DC，
AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.
（I）证明BEAdc；
（n）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
（川）若F为棱PC上一点，满足BFaAC,
求二面角F-AB-P的余弦值.
3・10
10
25、如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC,ACBC,H为PC的中点，M
为AH的中点，PAAC2,BC1.
（I）求证：
AH平面PBC;
2届sin
（n）求PM与平面AHB成角的正弦值；（15）
3
（川）设点N在线段PB上，且更，MN〃平面ABC，求实数的值•（4）
PB
面ABCDDFL平面ABCDBE=2DF,AELEC
28、如图,AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点
（I）求证：
平面PAC平面PBC；
J6
（II）若AB2，AC1，PA1,求证：
二面角CPBA勺余弦值.一6
4
29、在如图所示的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,
BCCD2,AC4,ACBACD,F为PC的中点，AFPB.3
3^7
⑴求PA的长；⑵求二面角BAFD的正弦值•3•—
8
30、如图5,在圆锥PO中，已知PO=.2，oO的直径AB2,C是Ab的中点，D为AC
的中点.
（I）证明：
平面POD平面PAC；
（n）求二面角BPAC的余弦值。
.10
5
A
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