冀教版数学八年级上册《第13章 全等三角形》Word下载.docx

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7．如图∠AOP=∠BOP=15°

，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（　　）

A．10B．

C．5D．2.5

8．如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（　　）

A．AB=ACB．∠BAE=∠CADC．BE=DCD．AD=DE

9．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（　　）

A．∠1=∠2B．∠2=∠4C．∠3=∠4D．∠1+∠4=180°

10．如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（　　）个．

A．2B．4C．6D．8

二、填空题

11．如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是　　．

12．如图，AB=AC，如果根据“SAS”使△ABE≌△ACD，那么需添加条件　　．

13．请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题　　．

14．下图是由全等的图形组成的，其中AB=3cm，CD=2AB，则AF=　　．

15．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°

，∠2=30°

，则∠3=　　．

16．如图有一张简易的活动小餐桌，现测得OA=OB=30cm，OC=OD=50cm，桌面离地面的高度为40cm，则两条桌腿的张角∠COD的度数为　　度．

17．如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，则图中全等三角形有　　对．

18．如图所示，AB∥CD，∠ABE=66°

，∠D=54°

，则∠E的度数为　　度．

三、解答题（共66分）

19．如图，四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE．给出下列五个关系式：

①AD∥BC；

②DE=CE；

③∠1=∠2；

④∠3=∠4；

⑤AD+BC=AB．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题．

（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：

如果×

×

，那么×

）．并给出证明；

（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）．

20．如图，如果AB=AC，BD=CD，那么∠B和∠C相等吗？

为什么？

21．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，AD⊥AC交BC于点D，

求证：

BC=3AD．

22．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．

（1）PE=PF；

（2）点P在∠BAC的角平分线上．

23．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：

CA是∠DCF的平分线．

24．如图，阅读下列材料

图乙：

把△ABC沿直线BC平行移动，可以变到△ECD的位置；

图丙：

以BC为轴把△ABC翻折180°

，可以变到△DBC的位置；

图丁：

以点A为中心把△ABC旋转180°

，可以变到△AED的位置．

象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．

回答下列问题：

（1）在图甲中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法使△ABE变到△ADF的位置？

（2）指出图甲中，线段BE与DF之间的关系．并说明理由．

25．已知：

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°

，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：

AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

参考答案与试题解析

【考点】命题与定理．

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：

A、a•b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；

B、a•b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；

C、a•b=0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；

D、若a•b=0，则a=0，或b=0，或二者同时为0，是真命题．

故选D．

【点评】本题主要考查乘法法则，只有深刻理解乘法法则才能求出正确答案，需要考生具备一定的思维能力．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．

∵

，

∴△AEB≌△AFC；

（AAS）

∴∠FAM=∠EAN，

∴∠EAN﹣∠MAN=∠FAM﹣∠MAN，即∠EAM=∠FAN；

（故③正确）

又∵∠E=∠F=90°

，AE=AF，

∴△EAM≌△FAN；

（ASA）

∴EM=FN；

（故①正确）

由△AEB≌△AFC知：

∠B=∠C，AC=AB；

又∵∠CAB=∠BAC，

∴△ACN≌△ABM；

（故④正确）

由于条件不足，无法证得②CD=DN；

故正确的结论有：

①③④；

故选C．

【点评】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，做题时要从最容易，最简单的开始，由易到难．

【专题】推理填空题．

【分析】公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：

是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念可找到正确答案．

根据公理和定理的定义，可知道A，C，D是正确的，B是错误的．

故选B．

【点评】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案．

【考点】全等三角形的判定与性质；

等边三角形的性质．

【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠BAD与∠CBE的关系，根据三角形的外交的性质，可得∠APE=∠ABP+∠BAP，根据等量代换，可得答案．

在等边△ABC中，∠ABC=∠C=60°

，AB=BC．

在△ABD和△BCE中，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD=∠CBE．

∵∠APE是△ABP的外角，

∴∠APE=∠ABP+∠BAP，

∴∠APE=∠ABP+∠PBD=∠ABC=60°

．

故选：

C．

【点评】本题考查了全等三角形，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．

【考点】平行线的判定．

【专题】操作型．

【分析】由题意，利用平行线的判定定理来推理判断即可．

由图可知，∠ABD=∠BAC，故使用的原理为内错角相等两直线平行．故选C．

【点评】本题解答的关键是理解题意，搞清所描述的是利用内错角相等来画平行线．

【考点】直角三角形斜边上的中线．

【分析】在直角△ABC中，由AE=BE=EC，AD=DB可以推出∠BAD=20°

，∠ADC=40°

然后利用三角形的外角和内角的关系即可求出∠DFE=60°

∵∠C=90°

，AE=BE=EC，AD=DB，

∴∠BAD=20°

，∠DAC=∠ECA=50°

∴∠ECD=20°

，∠FDC=40°

∴∠DFE=60°

【点评】此题主要考查了直角三角形的中线等于斜边的一半和三角形的内角和与外角和的运用．

【考点】含30度角的直角三角形；

平行线的性质；

三角形的外角性质．

【专题】计算题．

【分析】根据平行线的性质可得∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°

，过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，可得PE=PC=10，在Rt△PED中，求出∠PEA的度数，根据勾股定理解答．

∵PC∥OA，

∴∠CPO=∠POA，

∵∠AOP=∠BOP=15°

∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°

过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，

∴PE=PC=10，

∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°

∴PD=10×

=5．

【点评】本题利用了：

1、两直线平行，内错角相等；

2、三角形的外角与内角的关系；

3、全等三角形的判定和性质．

【考点】全等三角形的性质．

【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．

∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，

∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，

故A、B、C正确；

AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键．

【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．

A、∠1=∠2，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；

B、∠2=∠4，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；

C、∠3=∠4，因为它们不是a、b被截得的同位角或内错角，不符合题意；

D、∠1+∠4=180°

，∠1的对顶角与∠4是a、b被截得的同旁内角，符合题意．

【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．

【考点】作图—复杂作图．

【专题】压轴题．

【分析】可以做4个，分别是以D为圆心，AB为半径，作圆，以E为圆心，AC为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．

然后以D为圆心，AC为半径，作圆，以E为圆心，AB为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．

如图：

这样的三角形最多可以画出4个．

B．

【点评】本题考查了学生利用基本作图作三角形的能力．

【专题】开放型．

【分析】要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可．

∵AC=BD，BC=BC，

∴可添加∠ACB=∠DBC或AB=CD分别利用SAS，SSS判定△ABC≌△DCB．

故答案为：

∠ACB=∠DBC（或AB=CD）．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；

判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．

【分析】现有一边AB=AC和一公共角∠A=∠A，再找到夹这角的另一边即可．

∵AB=AC，∠A=∠A，

∴若以“SAS”得出△ABE≌△ACD，

则AD=AE．

AD=AE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握证明全等三角形的方法：

SSS，SAS，ASA，AAS．

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．

正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．

逆命题是假命题的命题：

对顶角相等（答案不唯一）．

【点评】本题是一道开放性题目，答案不唯一，只要符合条件即可．

考查的是同学们对命题的真假及互逆命题的概念的掌握情况．

【考点】全等图形．

【分析】根据已知图形得出CD=2AB=6cm，进而求出即可．

因为AB=3cm，所以CD=2AB=6cm，

所以AF=3AB+3CD=3×

3+3×

6=27（cm）．

27cm．

【点评】此题主要考查了全等图形的性质，得出CD的长是解题关键．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】求出∠BAD=∠EAC，证△BAD≌△EAC，推出∠2=∠ABD=30°

，根据三角形的外角性质求出即可．

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

∴∠1=∠EAC，

在△BAD和△EAC中，

∴△BAD≌△EAC（SAS），

∴∠2=∠ABD=30°

∵∠1=25°

∴∠3=∠1+∠ABD=25°

+30°

=55°

55°

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△EAC．

【考点】直角三角形的性质；

三角形内角和定理．

【分析】如图，作BE⊥CD于E，根据题意，得在Rt△BCE中，BC=30+50=80，BE=40，由此可以推出∠BCE=30°

，接着可以求出∠ODC=∠BCE=30°

，再根据三角形的内角和即可求出∠COD．

如图，作BE⊥CD于E，

根据题意得在Rt△BCE中，

∴BC=30+50=80，BE=40，

∴∠BCE=30°

∴∠ODC=∠BCE=30°

∴∠COD=180°

﹣30°

2=120°

故填：

120．

【点评】此题综合运用了直角三角形和等腰三角形的性质．

【分析】根据AB∥CD，BC∥AD可得四边形ABCD是平行四边形，那么AB=CD，AD=BC，利用SSS得出△ABD≌△CDB；

再根据SAS证明△ABE≌△CDF，于是AE=CF，再利用SSS得出△ADE≌△CBF．

图中全等三角形有3对，分别为△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF．

故答案为3．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：

SSS、SAS、AAS、ASA、HL．

【考点】三角形的外角性质；

平行线的性质．

【分析】利用三角形的外角与内角的关系及平行线的性质可直接解答．

∵AB∥CD，

∴∠BFC=∠ABE=66°

在△EFD中利用三角形外角等于不相邻的两个内角的和，得到∠E=∠BFC﹣∠D=12°

【点评】本题考查了三角形外角与内角的关系及平行线的性质，比较简单．

命题与定理．

【分析】

（1）如果①②③，那么④⑤；

先根据∠1=∠F，∠D=∠ECF，利用AAS证出△AED≌△FEC，得出AD+BC=CF+BC=BF，再根据∠1=∠2，得出AB=BF，即可证出AD+BC=AB；

（2）根据命题的结构和有关性质、判定以及真命题的定义，写出命题即可．

理由如下：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠F，∠D=∠ECF，

在△AED和△FEC中，

∴△AED≌△FEC（AAS），

∴AD=CF，

∴AD+BC=CF+BC=BF，

∵∠1=∠2，

∴∠2=∠F，

∴AB=BF，

∴AD+BC=AB；

（2）如果①③④，那么②⑤，

如果①②④，那么③⑤；

如果①③⑤，那么②④．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、命题与定理，关键是综合应用有关性质与定理对命题的真假进行判断．

【专题】探究型．

【分析】∠B和∠C相等，理由为：

连接AD，由AB=AC，BD=CD，以及AD为公共边，利用SSS可得出三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应角相等可得证．

∠B=∠C，理由为：

连接AD，如图所示：

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠B=∠C．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

等腰三角形的性质．

【专题】证明题．

【分析】已知∠BAC=120°

，AB=AC，∠B=∠C=30°

，可得AD⊥AC，有CD=2AD，AD=BD．即可得证．

【解答】证明：

在△ABC中，

∵AB=AC，∠BAC=120°

∴∠B=∠C=30°

又∵AD⊥AC，

∴∠DAC=90°

∵∠C=30°

∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°

∴AD=DB，

∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD．

【点评】本题考查了直角三角形的有关知识和等腰三角形的性质定理．

【考点】角平分线的性质；

直角三角形全等的判定．

（1）连接AP，根据HL证明△APF≌△APE，可得到PE=PF；

（2）利用

（1）中的全等，可得出∠FAP=∠EAP，那么点P在∠BAC的平分线上．

（1）如图，连接AP并延长，

∵PE⊥AB，PF⊥AC

∴∠AEP=∠AFP=90°

又AE=AF，AP=AP，

∵在Rt△AFP和Rt△AEP中

∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），

∴PE=PF．

（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，

∴∠EAP=∠FAP，

∴AP是∠BAC的角平分线，

故点P在∠BAC的角平分线上．

【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及角平分线的有关知识，作射线AP是解答本题的关键．

【分析】先证△ABF≌△CBF，得出AF=FC，利用等腰三角形的性质可知∠3=∠4，再利用平行线的性质可证出∠4=∠5，等量代换，可得：

∠3=∠5．那么AC就是∠DCF的平分线．

∵BF是∠ABC的平分线，

∴∠1=∠2，

又AB=BC，BF=BF，

∴△ABF≌△CBF（SAS），

∴FA=FC，

∴∠3=∠4，

又AF∥DC，

∴∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

∴CA是∠DCF的平分线．

【点评】本题考查了角平分线的性质、判定，全等三角形的判定和性质；

找着并利用△ABF≌△CBF是正确解答题目