最新高等数学上册期末考试试题含答案AFX文档格式.docx

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且当t=t0时，

.

2．把宽为τ，高为h，周期为T的矩形波（如图所示）展开成傅里叶级数的复数形式.

根据图形写出函数关系式

故该矩形波的傅里叶级数的复数形式为

（-∞<

t<

+∞，且

，…）

3．将函数

展开成x的幂级数．

由于

所以

（|x|≤1）

4．若

存在，证明：

级数

收敛．

证：

∵

存在，∴∃M>

0，使|n2Un|≤M，

即n2|Un|≤M，|Un|≤

而

收敛，故

绝对收敛．

5．用根值判别法判别下列级数的敛散性：

（1）

；

（2）

（3）

（4）

，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．

（1）

故原级数发散．

（2）

故原级数收敛．

（3）

当b<

a时，

<

1，原级数收敛；

当b>

>

1，原级数发散；

当b=a时，

=1，无法判定其敛散性．

6．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？

设每年以均匀流方式存入x万元，则

5=

即5=20x（e0.51）

≈0.385386万元=3853.86元．

习题六

7．半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？

如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为

（x－R）2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。

取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；

在水上的行程为2R－x。

因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为

（21）

所求的功为

8．

求下列旋转体的体积：

（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；

求两曲线交点得（0，0），（1，1）

．（14）

（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；

见图14，

．

（2）星形线绕x轴旋转；

见图15，该曲线的参数方程是：

由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为

（15）

9．设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。

如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：

E（a，h），D（A，0），于是得到ED所在的直线方程为：

（16）

对于任意的y∈[0，h]，过点（0，y）且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为：

，同理可得该椭圆的另一半轴为：

．