<1,原级数收敛;当b>a时,
>1,原级数发散;当b=a时,
=1,无法判定其敛散性.
6.某父母打算连续存钱为孩子攒学费,设建行连续复利为5%(每年),若打算10年后攒够5万元,问每年应以均匀流方式存入多少钱?
解:
设每年以均匀流方式存入x万元,则
5=
即5=20x(e0.51)
≈0.385386万元=3853.86元.
习题六
7.半径为R的球沉入水中,球的顶部与水面相切,球的密度与水相同,现将球从水中取离水面,问做功多少?
解:
如图21,以切点为原点建立坐标系,则圆的方程为
(x-R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0,2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。
取深度x为积分变量,典型小薄片厚度为dx,将它由A上升到B时,在水中的行程为x;在水上的行程为2R-x。
因为球的比重与水相同,所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零,因而该片在水中由A上升到水面时,提升力为零,并不作功,由水面再上提到B时,需作的功即功元素为
(21)
所求的功为
8.
求下列旋转体的体积:
(1)由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转;
解:
求两曲线交点得(0,0),(1,1)
.(14)
(2)由y=x3,x=2,y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转;
解:
见图14,
.
(2)星形线绕x轴旋转;
解:
见图15,该曲线的参数方程是:
,
由曲线关于x轴及y轴的对称性,所求体积可表示为
(15)
9.设有一截锥体,其高为h,上、下底均为椭圆,椭圆的轴长分别为2a,2b和2A,2B,求这截锥体的体积。
解:
如图16建立直角坐标系,则图中点E,D的坐标分别为:
E(a,h),D(A,0),于是得到ED所在的直线方程为:
(16)
对于任意的y∈[0,h],过点(0,y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆,且该椭圆的半轴为:
,同理可得该椭圆的另一半轴为:
.