苏教版七年级上数学期末压轴题选讲及解析.docx
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苏教版七年级上数学期末压轴题选讲及解析
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压轴题选讲
一选择题
1．某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值用代数式表示为（）
A．（1﹣10%+15%）x万元B．（1+10%﹣15%）x万元
C．（x﹣10%）（x+15%）万元D．（1﹣10%）（1+15%）x万元
2．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|a+b|的结果为（ ）
A．﹣2aB．2aC．2bD．﹣2b
3．如图，已知点A是射线BE上一点，过A作CA⊥BE交射线BF于点C，AD⊥BF交射线BF于点D，给出下列结论：
①∠1是∠B的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠ACF；④与∠ADB互补的角共有3个．则上述结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图是由一副三角尺拼成的图案，它们有公共顶点O，且有一部分重叠，已知∠BOD=40°，则∠AOC的度数是（）A．40°B．120°C．140°D．150°
二填空题
1．如图，线段AB=8，C是AB的中点，点D在直线CB上，DB=1.5，则线段CD的长等于 ．
2．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动2个单位长度到达点A1，第二次将点A1，向右移动4个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动6个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离等于19，那么n的值是 ．
3．如图所示，甲乙两人沿着边长为60cm的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点以60m/min的速度，乙从B点以69m/min的速度行走，两人同时出发，当乙第一次追上甲时，用了____________．
4．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=______________．
5．如图，长方形ABCD中，AB=6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5个单位，得到长方形AnBnCnDn（n＞2），若ABn的长度为56，则n= ．
三、解答题
1．如图，M是定长线段AB上一定点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，点C、点D分别从点M、点B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示．
（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值；
（2）若点C、D运动时，总有MD=2AC，直接填空：
AM=
AB；
（3）在
（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求
的值．
2．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．
（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
（2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？
若此时甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？
若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．
3．甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？
4．
（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC．求∠EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．求∠EOF的度数；
（3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，则∠EOC= ．（用含α与β的代数式表示）
5．如图，已知∠AOB=90°，以O为顶点、OB为一边画∠BOC，然后再分别画出∠AOC与∠BOC的平分线OM、ON．
（1）在图1中，射线OC在∠AOB的内部．
①若锐角∠BOC=30°，则∠MON=45°；
②若锐角∠BOC=n°，则∠MON=45°．
（2）在图2中，射线OC在∠AOB的外部，且∠BOC为任意锐角，求∠MON的度数．
（3）在
（2）中，“∠BOC为任意锐角”改为“∠BOC为任意钝角”，其余条件不变，（图3），求∠MON的度数．
6．如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；
（3）试探索：
在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？
若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
7．如图，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s．P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．
（1）当点P在MO上运动时，PO= cm（用含t的代数式表示）；
（2）当点P在MO上运动时，t为何值，能使OP=OQ？
（3）若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？
如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由．
8．如图，两个形状．大小完全相同的含有30゜、60゜的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：
∠DPC=90゜；
（2）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（3）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3゜/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2゜/秒，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，则∠BPN=__________，∠CPD=________（用含有t的代数式表示，并化简）；以下两个结论：
①
为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，正确的是___________（填写你认为正确结论的对应序号）．
压轴题选讲解析
一选择题
1．某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值用代数式表示为（）
A．（1﹣10%+15%）x万元B．（1+10%﹣15%）x万元
C．（x﹣10%）（x+15%）万元D．（1﹣10%）（1+15%）x万元
【考点】列代数式．
【分析】根据3月份、1月份与2月份的产值的百分比的关系列式计算即可得解．
【解答】解：
3月份的产值为：
（1﹣10%）（1+15%）x万元．
故选D．
【点评】本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键．
2．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|a+b|的结果为（ ）
A．﹣2aB．2aC．2bD．﹣2b
【考点】整式的加减；数轴；绝对值．
【专题】计算题；整式．
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
【解答】解：
根据数轴上点的位置得：
a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a﹣b＜0，a+b＜0，
则原式=b﹣a﹣a﹣b=﹣2a．
故选A．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．如图，已知点A是射线BE上一点，过A作CA⊥BE交射线BF于点C，AD⊥BF交射线BF于点D，给出下列结论：
①∠1是∠B的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠ACF；④与∠ADB互补的角共有3个．则上述结论正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】余角和补角．
【分析】根据已知推出∠CAB=∠CAE=∠ADC=∠ADB=90°，再根据三角形内角和定理和三角形外角性质，互余、互补的定义逐个分析，即可得出答案．
【解答】解：
∵CA⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∴∠1+∠B=90°，即∠1是∠B的余角，∴①正确；
图中互余的角有∠1和∠B，∠1和∠DAC，∠DAC和∠BAD，共3对，∴②正确；
∵CA⊥AB，AD⊥BC，
∴∠CAB=∠ADC=90°，
∵∠B+∠1=90°，∠1+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∵∠CAE=∠CAB=90°，
∴∠B+∠CAB=∠DAC+∠CAE，
∴∠ACF=∠DAE，
∴∠1的补角有∠ACF和∠DAE两个，∴③错误；
∵∠CAB=∠CAE=∠ADC=∠ADB=90°，
∴与∠ADB互补的角共有3个，∴④正确；
故选C．
【点评】本题考查了互余、互补，三角形内角和定理，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，题目比较好，但是比较容易出错．
4．如图是由一副三角尺拼成的图案，它们有公共顶点O，且有一部分重叠，已知∠BOD=40°，则∠AOC的度数是（）
A．40°B．120°C．140°D．150°
【考点】角的计算．
【分析】根据同角的余角相等即可求解．
【解答】解：
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD+∠BOD=∠BOC+∠BOD=90°，
∴∠AOD=∠BOC=90°﹣∠BOD=50°，
∴∠AOC=∠AOD+∠BOD+∠BOC=140°，
故选C．
【点评】此题主要考查了角的计算，余角的性质，熟记余角的性质是解题的关键
二填空题
1．如图，线段AB=8，C是AB的中点，点D在直线CB上，DB=1.5，则线段CD的长等于 2.5或5.5 ．
【考点】两点间的距离．
【分析】根据题意求出线段CB的长，分点D在线段CB的延长线上和点D在线段CB上两种情况、结合图形计算即可．
【解答】解：
∵线段AB=8，C是AB的中点，
∴CB=
AB=4，
如图1，当点D在线段CB的延长线上时，
CD=CB+BD=5.5，
如图2，当点D在线段CB上时，
CD=CB﹣BD=2.5．
故答案为：
2.5或5.5．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键．
2．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动2个单位长度到达点A1，第二次将点A1，向右移动4个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动6个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离等于19，那么n的值是 18或19 ．
【考点】数轴．
【专题】推理填空题．
【分析】根据题意可以分别写出点A移动的规律，当点A奇数次移动后对应数的都是负数，偶数次移动对应的数都是正数，从而可知An与原点的距离等于19分两种情况，从而可以解答本题．
【解答】解：
由题意可得，
第奇数次移动的点表示的数是：
1+（﹣2）×
，
第偶数次移动的点表示的数是：
1+2×
，
∵点An与原点的距离等于19，
∴当点n为奇数时，则﹣19=1+（﹣2）×
，
解得，n=19；
当点n为偶数，则19=1+2×
解得n=18．
故答案为：
18或19．
【点评】本题考查数轴，解题的关键是明确题意，可以分别写出点A奇数次和偶数次移动的关系式．
3．如图所示，甲乙两人沿着边长为60cm的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点以60m/min的速度，乙从B点以69m/min的速度行走，两人同时出发，当乙第一次追上甲时，用了20min．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】几何动点问题．
【分析】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上90×3，根据其相等关系列方程得69x=60x+60×3，解方程即可得出答案．
【解答】解：
设乙第一次追上甲用了x分钟，
由题意得：
69x=60x+60×3，
解得：
x=20．
答：
用了20min．
故答案为：
20
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
4．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=16．
【考点】规律型：
图形的变化类．
【分析】由图可知：
第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．
【解答】解：
第一个图形有：
5个○，
第二个图形有：
2×1+5=7个○，
第三个图形有：
3×2+5=11个○，
第四个图形有：
4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：
[n（n﹣1）+5]个○，
则可得方程：
[n（n﹣1）+5]=245
解得：
n1=16，n2=﹣15（舍去）．
故答案为：
16．
【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
5．如图，长方形ABCD中，AB=6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5个单位，得到长方形AnBnCnDn（n＞2），若ABn的长度为56，则n= 10 ．
【考点】平移的性质．
【专题】规律型．
【分析】根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+1求出n即可．
【解答】解：
∵AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，
第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11，
∴AB2的长为：
5+5+6=16；
∵AB1=2×5+1=11，AB2=3×5+1=16，
∴ABn=（n+1）×5+1=56，
解得：
n=10．
故答案为：
10．
【点评】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5是解题关键．
三、解答题
1．如图，M是定长线段AB上一定点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，点C、点D分别从点M、点B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示．
（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值；
（2）若点C、D运动时，总有MD=2AC，直接填空：
AM=
AB；
（3）在
（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求
的值．
【考点】一元一次方程的应用；两点间的距离．
【专题】几何动点问题．
【分析】
（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；
（2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=
AB；
（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．
【解答】解：
（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=4cm，
∵AB=10cm，CM=2cm，BD=4cm，∴AC+MD=AB﹣CM﹣BD=10﹣2﹣4=4cm；
（2）根据C、D的运动速度知：
BD=2MC，
∵MD=2AC，∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，
∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴AM=
AB．故答案为
；
（3）当点N在线段AB上时，如图．
∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣AM=MN，∴BN=AM=
AB，∴MN=
AB，即
=
；
当点N在线段AB的延长线上时，如图．
∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣BN=AB，∴MN=AB，即
=1．综上所述，
=
或1．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
2．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．
（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
（2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？
若此时甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？
若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
【分析】
（1）可设x秒后甲与乙相遇，根据甲与乙的路程差为34，可列出方程求解即可；
（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，分甲应为于AB或BC之间两种情况讨论即可求解．
【解答】解：
（1）设x秒后甲与乙相遇，则4x+6x=34，解得x=3.4，4×3.4=13.6，﹣24+13.6=﹣10.4．
故甲、乙在数轴上的﹣10.4相遇；
（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，
B点距A，C两点的距离为14+20=34＜40，A点距B、C两点的距离为14+34=48＞40，C点距A、B的距离为34+20=54＞40，故甲应为于AB或BC之间．
①AB之间时：
4y+（14﹣4y）+（14﹣4y+20）=40解得y=2；
②BC之间时：
4y+（4y﹣14）+（34﹣4y）=40，解得y=5．
①甲从A向右运动2秒时返回，设y秒后与乙相遇．此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同．
甲表示的数为：
﹣24+4×2﹣4y；乙表示的数为：
10﹣6×2﹣6y，
依据题意得：
﹣24+4×2﹣4y=10﹣6×2﹣6y，解得：
y=7，
相遇点表示的数为：
﹣24+4×2﹣4y=﹣44（或：
10﹣6×2﹣6y=﹣44），
②甲从A向右运动5秒时返回，设y秒后与乙相遇．
甲表示的数为：
﹣24+4×5﹣4y；乙表示的数为：
10﹣6×5﹣6y，
依据题意得：
﹣24+4×5﹣4y=10﹣6×5﹣6y，
解得：
y=﹣8（不合题意舍去），
即甲从A向右运动2秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为﹣44．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题在解答第二问注意分类思想的运用．
3．甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，第一次是从甲地驶往乙地时，快车追上慢车，根据追上时快车行驶的路程=慢车行驶的路程列方程求解；第二次是快车到达乙地后返回甲地时与慢车相遇，根据相遇时快车行驶的路程+慢车行驶的路程=甲、乙两地之间的路程×2列方程求解．
【解答】解：
设从甲地驶往乙地时，快车行驶x小时追上慢车，由题意得
120x=80（x+1），
解得x=2，
则慢车行驶了3小时．
设在整个程中，慢车行驶了y小时，则快车行驶了（y﹣1﹣
）小时，由题意得
120（y﹣1﹣
）+80y=720×2，
解得y=8，
8﹣3=5（小时）．
答：
在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是5小时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
4．
（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC．求∠EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOC=∠BOD=80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．求∠EOF的度数；
（3）若∠AOC=∠BOD=α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC．若α+β≤180°，α＞β，则∠EOC=
．（用含α与β的代数式表示）
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠AOC=∠BOC=90°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠EOD=
∠AOD=
×（80+β）=40+
β，∠COF=
∠BOC=
×（80+β）=40+
β，根据角的和差即可得到结论；
（3）如图2由已知条件得到∠AOD=α+β，根据角平分线的定义得到∠DOE=
（α+β），即可得到结论．
【解答】解：
（1）∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=
∠AOC=
×90°=45°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=
∠BOC=
×90°=45°，
∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+45°=90°；
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD=
∠AOD=
×（80+β）=40+
β，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=
∠BOC=
×（80+β）=40+
β，
∠COE=∠EOD﹣∠COD=40+
β﹣β=40﹣
β；
∠EOF=∠COE+∠COF=40﹣
β+40+
β=80°；
（3）如图2，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，
∴∠AOD=α+β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=
（α+β），
∴∠COE=∠DOE﹣∠COD=
=
，
如图3，∵∠AOC=∠BOD=α，∠COD=β，
∴∠AOD=α+β，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=
（α﹣β），
∴∠COE=∠DOE+∠COD=
．
综上所述：
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，解题的关键是找出题中的等量关系列方程求解．
5．如图，已知∠AOB=90°，以O为顶点、OB为一边画∠BOC，然后再分别画出∠AOC与∠BOC的平分线OM、ON．
（1）在图1中，射线OC在∠AOB的内部．
①若锐角∠BOC=30°，则∠MON=45°；
②若锐角∠BOC=n°，则∠MON=45°．
（2）在图2中，射线OC在∠AOB的外部，且∠BOC为任意锐角，求∠MON的度数．
（3）在
（2）中，“∠BOC为任意锐角”改为“
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