平行线的性质与判定典型例题.docx

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平行线的性质与判定典型例题

1．如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：

AB∥CE．

证明：

∵CD平分∠ECF，

∴∠ECD＝∠DCF，

∵∠ACB＝∠DCF，

∴∠ECD＝∠ACB，

又∵∠B＝∠ACB，

∴∠B＝∠ECD，

∴AB∥CE．

2．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝15°，∠2＝15°，AE与BF平行吗为什么

解：

AE∥BF．

理由如下：

因为AC⊥AE，BD⊥BF（已知），

所以∠EAC＝∠FBD＝90°（垂直的定义）．

因为∠1＝∠2（已知），

所以∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性质），

即∠EAB＝∠FBG，

所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．

3．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝∠F，求证：

EC∥DF．

证明：

∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，

∴∠DBC＝∠ECB．

∵∠DBC＝∠F，

∴∠ECB＝∠F，

∴EC∥DF．

4．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：

DC∥AB．

证明：

∵DE、BF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，

∴∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠3＝∠2，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴DC∥AB．

5．如图所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．

解：

AB∥ED，

理由：

如图，过C作CF∥AB，

∵∠B＝25°，

∴∠BCF＝∠B＝25°，

∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝42°，

又∵∠D＝42°，

∴∠DCF＝∠D，

∴CF∥ED，

∴AB∥ED．

6．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．

解：

BC∥AD．理由如下：

∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，

∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，

∴AD∥BC．

7．已知：

如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：

EF∥CD．

证明：

∵DG⊥BC，AC⊥BC，

∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义），

∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），

∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等），

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠DCA，

∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．

8．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：

∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．

（1）①若∠DCB＝45°，则∠ACB的度数为　135°．

②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为　40°　．

（2）由

（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．

（3）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．

解：

（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°

∴∠ACE＝45°

∵∠BCE＝90°

∴∠ACB＝90°+45°＝135°

故答案为：

135°；

②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°

∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°

∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°

故答案为：

40°；

（2）猜想：

∠ACB+∠DCE＝180°

理由如下：

∵∠ACE＝90°﹣∠DCE

又∵∠ACB＝∠ACE+90°

∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE

即∠ACB+∠DCE＝180°；

（3）30°、45°．

理由：

当CB∥AD时，∠ACE＝30°；

当EB∥AC时，∠ACE＝45°．

9．已知：

DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，证明：

CF∥DO．

证明：

∵DE⊥AO，BO⊥AO，

∴∠AED＝∠AOB＝90°，

∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），

∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等），

∵∠EDO＝∠CFB，

∴∠BOD＝∠CFB，

∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．

10．如图，已知∠A＝∠C，∠E＝∠F，试说明：

AD∥BC．

证明：

∵∠E＝∠F，

∴AE∥CF，

∴∠A＝∠ADF，

∵∠A＝∠C，

∴∠ADF＝∠C，

∴AD∥BC．

11．已知：

如图，EG∥FH，∠1＝∠2．求证：

∠BEF+∠DFE＝180°．

解：

∵EG∥HF

∴∠OEG＝∠OFH，

∵∠1＝∠2

∴∠AEF＝∠DFE

∴AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE＝180°．

12．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．

解：

AB∥EF，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）

∵∠B＝70°，

∴∠BCD＝70°，（等量代换）

∵∠BCE＝20°，

∴∠ECD＝50°，

∵CEF＝130°，

∴∠E+∠DCE＝180°，

∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）

∴AB∥EF．（平行于同一直线的两条直线互相平行）

13．如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：

EF∥AD．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠DAC+∠ACB＝180°，

∵∠DAC＝120°，

∴∠ACB＝60°，

又∵∠ACF＝20°，

∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，

又∵∠EFC＝140°，

∴∠BCF+∠EFC＝180°，

∴EF∥BC，

∵AD∥BC，

∴EF∥AD．

14．完成下列推理过程：

已知：

如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B

求证：

∠EDG+∠DGC＝180°

证明：

∵∠1+∠2＝180°（已知）

∠1+∠DFE＝180°（　邻补角定义　）

∴∠2＝　∠DFE　（　同角的补角相等　）

∴EF∥AB（　内错角相等，两直线平行　）

∴∠3＝　∠ADE　（　两直线平行，内错角相等　）

又∵∠3＝∠B（已知）

∴∠B＝∠ADE（　等量代换　）

∴DE∥BC（　同位角相等，两直线平行　）

∴∠EDG+∠DGC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）

15．已知：

如图，BE∥GF，∠1＝∠3，∠DBC＝70°，求∠EDB的大小．

阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）

解：

∵BE∥GF（已知）

∴∠2＝∠3（　两直线平行同位角相等　）

∵∠1＝∠3（　已知　）

∴∠1＝（　∠2　）（　等量代换　）

∴DE∥（　BC　）（　内错角相等两直线平行　）

∴∠EDB+∠DBC＝180°（　两直线平行同旁内角互补　）

∴∠EDB＝180°﹣∠DBC（等式性质）

∵∠DBC＝（　70°　）（已知）

∴∠EDB＝180°﹣70°＝110°

16．如图，已知：

E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H，AB∥CD，∠A＝∠D，试说明：

（1）AF∥ED；

（2）∠BED＝∠A；

（3）∠1＝∠2

（1）证明：

∵AB∥CD，

∴∠A＝∠AFC，

∵∠A＝∠D，

∴∠AFC＝∠D，

∴AF∥ED；

（2）证明：

∵AF∥ED，

∴∠BED＝∠A；

（3）证明：

∵AF∥ED，

∴∠1＝∠CGD，

又∵∠2＝∠CGD，

∴∠1＝∠2．

17．阅读理解，补全证明过程及推理依据．

已知：

如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

求证∠A＝∠F

证明：

∵∠1＝∠2（已知）

∠2＝∠DGF（　对顶角相等　）

∴∠1＝∠DGF（等量代换）

∴　BD　∥　CE　（　同位角相等，两直线平行　）

∴∠3+∠　C　＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）

又∵∠3＝∠4（已知）

∴∠4+∠C＝180°（等量代换）

∴　AC　∥　DF　（　同旁内角互补，两直线平行　）

∴∠A＝∠F（　两直线平行，内错角相等　）

18．如图，∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE．

（1）求∠α和∠β的度数．

（2）求∠C的度数．

解：

（1）解方程组，

得．

（2）∵∠α+∠β＝55°+125°＝180°，

∴AB∥CD，

∴∠C+∠CAB＝180°，

∵AC⊥AE，

∴∠CAE＝90°，

∴∠C＝180°﹣90°﹣55°＝35°．

19．如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，求∠P的度数．

解：

过P作PM∥直线a，

∵直线a∥b，

∴直线a∥b∥PM，

∵∠1＝45°，∠2＝30°，

∴∠EPM＝∠2＝30°，∠FPM＝∠1＝45°，

∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝30°+45°＝75°，

20．如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝∠E，求∠E．

解：

∵AB∥CD，∠A＝60°，

∴∠DOE＝∠A＝60°，

又∵∠C＝∠E，∠DOE＝∠C+∠E，

∴∠E＝∠DOE＝30°．

21．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BAC与∠DCA相等吗为什么

解：

∠BAC＝∠DCA，

理由：

∵∠CFE＝∠2，∠2+∠1＝180°，

∴∠CFE+∠1＝180°，

∴DE∥BC，

∴∠AED＝∠B，

∵∠B＝∠3，

∴∠3＝∠AEF，

∴AB∥CD，

∴∠BAC＝∠DCA．

22．如图，已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．试说明直线AD与BC垂直．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．

理由：

∵∠1＝∠C，（已知）

∴　GD　∥　AC　，（　同位角相等，两直线平行　）

∴∠2＝　∠DAC　．（　两直线平行，内错角相等　）

又∵∠2+∠3＝180°，（已知）

∴∠3+　∠DAC　＝180°．（等量代换）

∴　AD　∥　EF　，（　同旁内角互补，两直线平行　）

∴∠ADC＝∠EFC．（　两直线平行，同位角相等　）

∵EF⊥BC，（已知）

∴∠EFC＝90°，∴∠ADC＝90°，

∴　AD　⊥　BC　．

23．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．

（1）求证：

AB∥DE；

（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）并说明理由．

解：

（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，

∴∠A+∠B＝90°，

又∵∠A+∠1＝90°，

∴∠B＝∠1，

∴AB∥DE．

（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，

∵AB∥DE，

∴PG∥DE，

∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，

∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；

如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，

∵AB∥DE，

∴PG∥DE，

∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，

∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；

如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，

∵AB∥DE，

∴PG∥DE，

∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，

∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．

24．已知：

如图，FE∥OC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．

（1）求证：

AB∥DC；

（2）若∠B＝30°，∠1＝65°，求∠OFE的度数．

（1）证明：

∵FE∥OC，

∴∠1＝∠C，

∵∠1＝∠A，

∴∠A＝∠C，

∴AB∥DC；

（2）解：

∵AB∥DC，

∴∠D＝∠B，

∵∠B＝30°

∴∠D＝30°，

∵∠OFE是△DEF的外角，

∴∠OFE＝∠D+∠1，

∵∠1＝65°，

∴∠OFE＝30°+65°＝95°．

25．（2018秋?

牡丹区期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，

（1）求证：

AD∥EF；

（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．

证明：

（1）∵AB∥DG，

∴∠BAD＝∠1，

∵∠1+∠2＝180°，

∴∠2+∠BAD＝180°，

∴AD∥EF；

（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，

∴∠1＝30°，

∵DG是∠ADC的平分线，

∴∠GDC＝∠1＝30°，

∵AB∥DG，

∴∠B＝∠GDC＝30°．

26．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．请问：

AD平分∠BAC吗若平分，请说明理由．

平分．

证明：

∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）

∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义）

∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）

∴∠2＝∠3，（两直线平行，内错角相等）

∠E＝∠1，（两直线平行，同位角相等）

又∵∠E＝∠3（已知）

∴∠1＝∠2（等量代换）

∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．

27．如图，EF∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．

（1）问直线CD与AB有怎样的位置关系并说明理由；

（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．

解：

（1）CD和AB的关系为平行关系．理由如下：

∵EF∥AB，∠EFB＝130°，

∴∠ABF＝180°﹣130°＝50°，

又∵∠CBF＝20°，

∴∠ABC＝70°，

∵∠DCB＝70°，

∴∠DCB＝∠ABC，

∴CD∥AB；

（2）∵EF∥AB，CD∥AB，

∴EF∥CD，

∵∠CEF＝70°，

∴∠ECD＝110°，

∵∠DCB＝70°，

∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，

∴∠ACB＝40°．

28．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4＝∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：

证明：

∵BD是∠ABC的平分线（已知）

∴∠1＝∠2（角平分线定义）

∵ED∥BC（已知）

∴∠5＝∠2（　两直线平行，内错角相等　）

∴∠1＝∠5（等量代换）

∵∠4＝∠5（已知）

∴EF∥　BD　（　内错角相等，两直线平行　）

∴∠3＝∠1（　两直线平行，同位角相等　）

∴∠3＝∠4（等量代换）

∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）