常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析 专题18 直线和平.docx
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常见题型解决方法归纳反馈训练及详细解析专题18直线和平
第18讲:
直线和平面所成的角的求法
【考纲要求】
能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题。
【基础知识】
一、直线与平面所成的角的定义
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫这条斜线和平面所成的锐角,如果这条直线垂直于平面,直线和平面所成角是直角,如果直线和平面平行或直线在平面内,直线和平面所成的角就是零度。
二、直线和平面所成角的范围
当直线在平面内或和平面平行时,直线和平面所成的角为错误!
未找到引用源。
直线和平面垂直时,直
线和平面所成的角为错误!
未找到引用源。
斜线和平面所成的角为错误!
未找到引用源。
所以直线和平面所成的角的范围错误!
未找到引用源。
。
三、直线和平面所成的角的求法
方法一:
（几何法找错误!
未找到引用源。
作（定义法错误!
未找到引用源。
证（定义错误!
未找到引用源。
指错误!
未找到引用源。
求（解三角形,其关键
是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形。
方法二:
（向量法错误!
未找到引用源。
其中错误!
未找到引用源。
是直线错误!
未找到引用源。
的方向向量,错误!
未找到引用源。
是平面的法向量,错误!
未找到引用源。
是直线和平面所成的角。
四、求直线和平面所成的角体现的是数学的转化的思想,就是把空间的角转化为平面的角,再利用解三角形的知识解答。
例1如图,在五棱锥P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,
错误!
未找到引用源。
ABC=45°,AB=2错误!
未找到引用源。
BC
腰三角形.
（Ⅰ求证:
平面PCD⊥平面PAC;
（Ⅱ求直线PB与平面PCD所成角的大小;
（Ⅲ求四棱锥P—ACDE的体积.
解:
（Ⅰ证明:
因为错误!
未找到引用源。
ABC=45°,AB=2
所以在错误!
未找到引用源。
中,由余弦定理得:
错误!
未找到引用源。
解得错误!
未找到引用源。
所以错误!
未找到引用源。
即错误!
未找到引用源。
又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥错误!
未找到引用源。
又PA错误!
未找到引用源。
所以错误!
未找到引用源。
又AB∥CD,所以错误!
未找到引用源。
又因为
错误!
未找到引用源。
又错误!
未找到引用源。
所以点错误!
未找到引用源。
到平面错误!
未找到引用源。
的距离等于点错误!
未找到引用源。
到平面错误!
未找到引用源。
的距离.
由错误!
未找到引用源。
平面错误!
未找到引用源。
在错误!
未找到引用源。
中,错误!
未找到引用源。
所以错误!
未找到引用源。
.
故错误!
未找到引用源。
边上的高为2,即点错误!
未找到引用源。
到平面的距离,即点点错误!
未找到引用源。
到平面错误!
未找到引用源。
的距离为2.设直线错误!
未找到引用源。
与平面错误!
未找到引用源。
所成的角为错误!
未找到引用源。
则错误!
未找到引用源。
又错误!
未找到引用源。
所以错误!
未找到引用源。
.（Ⅲ由（Ⅰ知错误!
未找到引用源。
所以错误!
未找到引用源。
又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得错误!
未找到
引用源。
AC=错误!
未找到引用源。
所以四边形ACDE的面积为错
误!
未找到引用源。
所以四棱锥P—ACDE的体积为错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
。
方法二向量法
使用情景
直线和平面所成的角不容易作出。
D
C
B
解题步骤
错误!
未找到引用源。
建立空间直角坐标系错误!
未找到引用源。
求直
线错误!
未找到引用源。
的方向向量错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
求平面的法向量错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
代入公式错误!
未找到引用源。
求出直线和平面所成的角错误!
未找
到引用源。
。
例2已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=½AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ证明:
CM⊥SN;
（Ⅱ求SN与平面CMN所成角的大小.
证明:
设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。
则P（0,0,1,C（0,1,0,B（2,0,0,M（1,0,12,N（1
2
0,0,S（1,
1
2
0.（Ⅰ111
（1,1,,（,,0222
CMSN=-=--,因为11
0022
CMSN∙=-++=,所以CM⊥SN（Ⅱ1
（,1,02
NC=-
设a=（x,y,z为平面CMN的一个法向量,
则10,2
210.2
xyzxxy⎧-+=⎪⎪=⎨
⎪-+=⎪⎩令,得a=（2,1,-2.因为错误!
未找到引用源。
=cos,2aSN
=
=SN与平面CMN所成角为45°。
【变式演练2】
如图所示,已知P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60
（1求
DP
与CC′所成角的大小;（2
求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
【高考精选传真】
第19题图
【解析】（Ⅰ解法1:
在如图1所示的△ABC中,设（03BDxx=<<,则3CDx=-.由ADBC⊥,45ACB∠=知,△ADC为等腰直角三角形,所以3ADCDx==-.由折起前ADBC⊥知,折起后（如图2,ADDC⊥,ADBD⊥,且BDDCD=,
所以AD⊥平面BCD.又90BDC∠=,所以11
（322
BCDS
BDCDxx∆=⋅=-.于是
1111
（3（32（3（333212
ABCDBCDVADSxxxxxx-∆=⋅=-⋅-=⋅--
3
12（3（321233xxx+-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦
于是可得（0,0,0D,（1,0,0B,（0,2,0C,（0,0,2A,（0,1,1M,1
（,1,02
E,
且（1,1,1BM=-.
设（0,,0Nλ,则1
（,1,02
ENλ=--.因为ENBM⊥等价于0ENBM⋅=,即
11
（,1,0（1,1,11022
λλ--⋅-=+-=,故12λ=,1（0,,02N.
所以当1
2
DN=（即N是CD的靠近点D的一个四等分点时,ENBM⊥.
设平面BMN的一个法向量为（,,xyz=n,由,
BNBM⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩nn及1（1,,02BN=-,
得2,.yxzx=⎧⎨=-⎩
可取（1,2,1=-n.
设EN与平面BMN所成角的大小为θ,则由11
（,,022
EN=--,（1,2,1=-n,可得
1|1|
sincos（90||||ENENθθ--⋅=-==⋅nn60θ=.
故EN与平面BMN所成角的大小为60.
连接MN,ME,由计算得NBNMEBEM====
图a
图b
AB
EM
图c
D
P
C
图d
第19题解答图
所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形,
如图d所示,取BM的中点G,连接EG,NG,
则BM⊥平面EGN.在平面EGN中,过点E作EHGN⊥于H,
则EH⊥平面BMN.故ENH∠是EN与平面BMN所成的角.
在△EGN
中,易得EGGNNE===△EGN是正三角形,故60ENH∠=,即EN与平面BMN所成角的大小为60.
2、（2012高考真题四川理19
如图,在三棱锥PABC-中,90APB∠=,60PAB∠=,ABBCCA==,平面PAB⊥平面ABC。
（Ⅰ求直线PC与平面ABC所成角的大小;
（Ⅱ求二面角BAPC--的大小。
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan
13…………………6分（2过D作DEAP⊥于E,连接CE.
由已知可得,CD⊥平面PAB.
根据三垂线定理可知,CE⊥PA,所以,的平面角——为二面角CAPBCED∠.
由（1知,DE=3
在Rt△CDE中,tan2==∠DE
CDCED故2arctan的大小为——二面角CAPB
【反馈训练】1设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直,且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为（A°B°C°D°
2.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值
为（
A.错误!
未找到引用源。
B.错误!
未找到引用源。
C.错误!
未找到引用源。
D.错误!
未找到引用源。
3.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为060,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（A.21B.22C.3D.364.直线AB与直二面角α—l—β的两个半平面分别交于A、B两点,且A、B错误!
未找到引用源。
l,如果直线AB与α、β所成的角分别是θ1、θ2,则θ1+θ2的取值范围是（
A.0<θ1+θ2<πB.θ1+θ2=错误!
未找到引用源。
C.θ1+θ2>错误!
未找到引用源。
D.0<θ1+θ2≤错误!
未找到引用源。
5.已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（
A.错误!
未找到引用源。
B.错误!
未找到引用源。
C.错误!
未找到引用源。
D.错误!
未找到引用源。
6.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为（
A.90°B.60°C.45°D.30°
7.如图,在体积为1的直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=1.求直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示
.
8.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°。
E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成错误!
未找到引用源。
使平面错误!
未找到引用源。
⊥平面BCD,F为线段错误!
未找到引用源。
的中点。
（Ⅰ求证:
BF∥平面错误!
未找到引用源。
;
（Ⅱ设M为线段DE的中点,求直线FM与平面错误!
未找到引用源。
所成角的余弦值。
9.如图,四棱锥PABCD-的底面是正方形,PDABCD⊥底面,点E在棱PB上.（Ⅰ求证:
平面AECPDB⊥平面;
（Ⅱ当PD=且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
11.如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
（1求证:
AF∥平面BCE;
（2求证:
平面BCE⊥平面CDE;
（3求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.
【变式演练详细解析】
【变式演练1详细解析】（Ⅰ证明:
作MN∥AB交AP于N,连结DN,则MN∥AB∥CD,且错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
∴CM∥ND,CM∥平面PAD
（Ⅱ∵CM∥ND,∴ND与平面ABCD所成的角为所求.
∵侧面PAD⊥底面ABCD,∴ND在平面ABCD上的射影为AD
∴∠AND为所求;∵⊿PAD是正三角形,N是PA的中点
∴CM与底面所成的角为30º.
（Ⅲ延长AD、BC交于点E,连结P、E.
则PE为所求二面角的棱,且AD=DE=PD所以,∠APE=90º,AP⊥PE又∵AB⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD
∴AB⊥平面PAE
∴BP⊥PE,∠BPA为所求二面角的平面角tan∠BPA=错误!
未找到引用源。
DCB
AM
D
所以,侧面PBC与侧面PAD所的角为arctan2
【变式演练2详细解析】
（1因为cos〈错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
〉=错误!
未找到引用源。
所以〈错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
〉=45°
即DP与CC′所成的角为45°
.
（2平面AA′D′D的一个法向量是错误!
未找到引用源。
=（0,1,0.
因为cos〈错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
〉=错误!
未找到引用源。
所以〈错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
〉=60°,DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
【反馈训练详细解析】1【作AO⊥CB的延长线,连OD,则OD即为AD在平面BCD上的射影,∵AO=OD=2
a,∴∠ADO=45°2.C【解析】连结A1C1交B1D1于点O,则C1O⊥平面DBB1D1.连结OB,则∠C1BO即为所求.∵BC1=错误!
未找到引用源。
=20,C1O=错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
∴sin∠C1BO=错误!
未找到引用源。
.故选C.
3.C【解析】构造正方体如图所示,过点C作CO⊥平面PAB,垂足为O,则O为正ΔABP的中心,于是∠CPO为PC与平面PAB所成的角。
设PC=a,则PO=aPD332=,故3cos==
∠PCPOCPO,即选C。
5.B【解析】:
如图,连结A1B和AB1交于点O′,取OB的中点E,连结O′E,则O′E错误!
未找到引用源。
A1O,
∴O′E⊥平面ABC.连结AE,∴∠O′AE即为AB1与平面ABC所成的角.
∵AO=BO,又∵A1
A=AB,
∴DO⊥平面ABC.∴∠DBO为BD与平面ABC所成的角.∴∠DBO=45°.答案
:
C∴AA1=CC1=2.连结BC1.∵A1C1⊥B1C1,A1C1⊥CC1,∴A1C1⊥平面BB1C1C.
∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角.
又BC1=错误!
未找到引用源。
平面BB1C1C的法向量为n=（1,0,0.
设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ,错误!
未找到引用源。
与n的夹角为φ
8.【解析】（Ⅰ证明:
取A′D的中点G,连结GF,CE,由条件易知
FG∥CD,FG=错误!
未找到引用源。
CD.BE∥CD,BE=错误!
未找到引用源。
CD.
所以FG∥BE,FG=BE.故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG
错误!
未找到引用源。
因为错误!
未找到引用源。
平面错误!
未找到引用源。
BF错误!
未找到引用源。
平面错误!
未找到引用源。
所以BF//平面错误!
未找到引用源。
（Ⅱ解:
在平行四边形,ABCD中,设BC=a,则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a,
连CE,因为错误!
未找到引用源。
在△BCE中,可得CE=错误!
未找到引用源。
a,在△ADE中,可得DE=a,
在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE,
在正三角形A′DE中,M为DE中点,所以A′M⊥DE.
由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.
取A′E的中点N,连线NM、NF,所以NF⊥DE,NF⊥A′M.
因为DE交A′M于M,所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角.在Rt△FMN中,NF=错误!
未找到引用源。
a,MN=错误!
未找到引用源。
a,FM=a,则cos错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
.
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为错误!
未找到引用源。
.
∴OE//PD,
1
2
OEPD
=,又∵PDABCD⊥底面,
∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE
中,
1
22
OEPDABAO===,
∴45AOE︒∠=,即AE与平面PDB所成的角的大小为45︒.
（Ⅰ∵（（（,,0,0,0,,,,0ACaaDPhDBaa=-==,
∴0,0ACDPACDB⋅=⋅=,
∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面PDB,
∴平面AECPDB⊥平面.
（Ⅱ当PD=且E为PB
的中点时,（
11,,22PEaa⎛⎫⎪⎪⎝⎭,设AC∩BD=O,连接OE,
由（Ⅰ知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,
∵11,,,0,0,2222EAaaa
EO⎛⎫⎛⎫=--=-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝
⎭,∴cosEAEO
AEOEAEO⋅∠==⋅,∴45AOE︒
∠=,即AE与平面PDB所成的角的大小为45︒.
10.【解析】.
解法一:
（Ⅰ以C为原点,分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则F（1,0,0,E（1,1,0,A（0,2,0,C1（0,0,2,
错误!
未找到引用源。
设G（0,2,h,则错误!
未找到引用源。
∴-1×0+1×（-2+2h=0.∴h=1,即G是AA1的中点.
（Ⅱ设错误!
未找到引用源。
是平面EFG的法向量,则错误!
未找到引用源。
所以错误!
未找到引用源。
平面EFG的一个法向量m=（1,0,1
∵错误!
未找到引用源。
因为错误!
未找到引用源。
11.【解析】（1证明设AD=DE=2AB=2a,以A为原点,AC为x轴,AB为z轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz,
则A（0,0,0,C（2a,0,0,B（0,0,a,
D（a,3a,0,E（a,3a,2a.
因为F为CD的中点,
所以F⎝⎛⎭⎪⎫32a,32,0.AF→=⎝⎛⎭
⎪⎫32a,32,0,BE→=（a,3a,a,BC→=（2a,0,-a.因为AF→=12
（BE→+BC→,AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.
（2证明因为AF→=⎝⎛⎭
⎪⎫32a,32,0,CD→=（-a,3a,0,ED→=（0,0,-2a,故AF→·CD→=0,AF→·ED→=0,所以AF→⊥CD→,AF→⊥ED→.
所以AF→⊥平面CDE.又AF∥平面BCE,所以平面BCE⊥平面CDE.
（3解设平面BCE的法向量为n=（x,y,z.由n·BE→=0,n·BC→=0,
可得x+3y+z=0,2x-z=0,
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