二面角习题及答案Word格式文档下载.docx
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,AB=AC=6,AD=4，求
面角A-BC-D的度数。
9.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，/A=60°
PC丄平面ABCD,PC=a,E是PA的中点.
（1）求证平面BDE丄平面ABCD.
（2）求点E到平面PBC的距离.（3）求二面角A—EB—D的平面角大小.
解析：
10.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别在棱AB、BC上，G在
11
对角线BD1上，且AE=4,BF=2,D1G:
GB=1:
2，求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小.
Di
11.如图，设ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB=2AA1=2a,AC=BC=卞3a.
（1）求证：
AF丄A1C
（2）
求二面角C—AF—B的大小
12.如图ABCD-AB1C1D1是长方体，ab=2‘AAihADh1，求二平面AB1C与AiB1C1D1
所成二面角的大小.
CM=3CC1
4•.求：
平面AKM与ABCD所成角的大小.
14.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角C-AD-C.
（1）若二面角C'
-AD-C是直二面角，求CC的长；
（2）求AC与平面CCD所成的角；
（3）若二面角C-AD-C的平面角为120°
求二面角A-CC-D的平面角的正切
值.
A
Cr
参考答案
由已知条件，D是BC的中点
•••CD=BD=2又\ADC是正三角形
AD=CD=BD=2
•D是厶ABC之外心又在BC上
•△ABC是以/BAC为直角的三角形，
•AB丄AC,又PC丄面ABC
•PA丄AB（三垂线定理）
•/PAC即为二面角P-AB-C之平面角，
易求/PAC=30°
2、解：
TBS=BC，又DE垂直平分SC
BE丄SC,SC丄面BDE
•BD丄SC,又SA丄面ABC
SA丄BD,BD丄面SAC
BD丄DE,且BD丄DC
则/EDC就是所要求的平面角
设SA=AB=a,
贝UBC=SB=2a且AC=.3
易证△SACDEC
/CDE=/SAC=60
CE
CDBC
BD
RN=
tanZMRN
MN、.5
RN
V5
MRN=arctan-
2
面ABC丄面BCD
AE丄面BCD
E点即为点A在面BCD内的射影
△EBDABD在面BCD内的射影
■,6
AD=cos_ABD
sin/ABD=
152
a
8
BEJa
1.31
a_a
222
S.ABD5
5.解：
设边长为a,
易证ANC'
N是菱形
且MN=2a,
A'
C=3a
•'
•S□amc'
n=
MN-AC^—a2
22
由于AMC'
N在面ABCD上的射影即
为正方形ABCD
C'
小2
S□ABCD=a
6
~3
^arccoS6
3
取CC'
的中点
M'
，连结
DM'
则平行四边形
N是四边形AMC'
N
在CC'
D上的射影,
S□DM'
M
cos2
12
=a
12a二2
6
二&
=arccos—
6.解:
作DF丄AB于F,CE丄AB于E,
AC=CD=1
/ABC=30
AD=、2,
BC=3,
AB=2,
在Rt△ABC中,
ce=QC13
AB
同理df=AD宜
BF二.BD2-DF2=1
AE
CD2二CE2DF2EF2
-2EFDFcoS
cos
即所求角的大小为arccos三。
7、解：
由已知条件/BAC=90°
AB=AC,
设BC的中点设为O,贝UOA=OC=.3
BC=23
DC=BCtan30°
=2.33=2
•AD2=AO2
OC2CD-2AOCDcos-
解之得:
COSV二
9、解析：
⑴设0是AC,BD的交点，连结EO.
•/ABCD是菱形，•••O是AC、BD的中点，
•/E是PA的中点，•EO//PC,又PC丄平面ABCD,
•EO丄平面ABCD,EO平面BDE，•平面BDE丄平面ABCD.
（2）EO//PC,PC平面PBC,
•EO//平面PBC,于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OF丄BC于F,
•/EO丄平面ABCD,EO//PC,
面PBC,OF的长等于O到平面
PC平面PBC,.・.平面PBC丄平面ABCDPBC的距离.
是OF丄平
由条件可知，OB=2,OF=2x2=4a,则点E到平面PBC的距离为
4a.
⑶过O作OG丄EB于G,连接AG•/OE丄AC,BD丄AC•AC丄平面
•AG丄EB（三垂线定理）AGO是二面角A—EB—D的平面角
BDE
OEOB、•3
.OE=2pc=2a,OB=2a•EB=a.「.OG=EB=4a又AO=2a.
AO22.3
•tan/AGO=OG=3•/AGO=arctan3
评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法,三垂线定理及逆定理的应用•
10、设G在底面ABCD上的射影为H,H€BD,
GHGB2
...D1D=D1B=3
GH=3
作HM丄EF于M，连GM，由三垂线定理知GM丄EF,则/GMH=0就是平面BFG与底
GH面ABCD所成的二面角的平面角，tan0=HM下面求HM的值.
建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.
-
2）
即4x-6y-1=0.
由点到直线的距离公式可得
|HM|=V2飞2
11
613
413
26.134,13
tg0=3•11=11,0=arctg11
说明运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.
11、分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识
解
（1）•/AC=BC,E为AB中点，.CE丄AB
又•••ABC—A1B1C1为直棱柱，.CE丄面AA1BB
连结EF,由于AB=2AA1
.AA1FE为正方形
.AF丄A1E，从而AF丄A1C
⑵设AF与A1E交于0,连结C0,由于AF丄A1E，知AF丄面CEA1
•••/COE即为二面角C—AF—B的平面角
•/AB=2AA1=2a,AC=BC=3a
2a逅<
2a
•CE=2a,OE=2a,.tan/COE=2=2.
•二面角C—AF—B的大小是arctan2.
12、解析：
I平面ABCD//平面ABIC1。
1平面ABIC与平面ABiGU的交线|为
过点B1且平行于AC的直线.直线I就是二平面AB1C与ABGD1所成二面角的棱.又aa
丄平面AB1。
1。
1，过A作ah丄I于H琏结AH.则.AA1为二面角A」-A的平面角.可
tanZAHA1
■■5
<
5
arctan—
narctan—
求得
2.因此所求角的大小为
2或
（1）若CDC=90
1
DC=DCa
14、
*•AC=a
•2
C^—a
AD—DC,ad丄DC,•AD丄平面DCC.•ACD为AC与
””DC、DC=」AC.。
平面DCC所成的角，在Rt△ADC中，2,•.-DAC=30，于是
ACD-60.
（3）取CC的中点E,连结AE、DE,•/DC=DC,AC=ACAE-CC,
DE—CC,/aed为二面角A-CC-D的平面角，-CDC=120,
DEa
4，在Rt△AED中
73
AD
tan._AED==—=2J3.
DE1
一a
4
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