二重积分对称性定理的证明及应用Word下载.docx
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当/（X）在区间上为连续的奇函数时，「/3厶=0・
当于⑴在区间上为连续的偶函数时，「/住）厶=2「/（工皿.
J-aJO
这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分.
在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？
回答是肯定的.下而，我们将此结论类似地推广到二重积分.
2二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用
定理1⑴若二重积分JJf{x,y）dxdy满足
（1）区域D可分为对称的两部分D］和对称点PwPfeD2；
⑵被积函数在对称点的值/（P）与f（pf）相同或互为相反数:
[0,f（P，）=-f（P）
2\jf^y）dxdy,=f（P）
其中P'
的坐标根据D的对称性的类型而确定.
2.1积分区域D关于坐标轴对称2.1.1积分域D关于x轴对称z/（X,刃为D上的连续函数
定理2如果积分域D关于X轴对称，/（圮刃为y的奇偶函数，则二重积分
I0，f（^-y）=-f（x,y）
JJ7（x，y）dM〉'
=]2^f（x,y）dxdy,f（x,-y）=f（x,y）fDIQ
其中卩为D在x轴的上半平面部分.
图1
证明
（1）
y）dxdy=\\f^y）dxdy+JJ7（x,y）dxdy
dqd2
若区域D对称于X轴（图1）,对任意P（x.y）gD,,其对称点P\x-刃已0
D、={f^<
y<
（p^x）.a<
x<
b],D2={-（p（x）<
y<
<
x<
/?
},令
（x=x
[y=-tf
则Q变换为坐标而上的q={OG<
久x）,ci<
b},且雅可比行列式
坐）'
）=1°
=_1
d（x,t）~0-I--
故
y）dxdy=jjf（x-t）•\-l\dxdt=jjf{x-y）dxdy
D2D\D\
JJ7（x,刃dxdy,f（x,-y）=f（x,y）
=<
9,
-JJ7（x,y）dxdy,f（x,-y）=-f（x,y）
.D
于是，代入
（1）式得:
jo，f（^y）=-f（^-y）
”/（x,y）dxdy=2j]7（x,），）dxdy,f^y）=/（xf-y）-DIA
例1计算Jj*yln（l+x2+y2）dxdy,其中区域£
>
：
x2+y2<
l,x>
解/（x,y）=yln（l+F+y‘）是关于y的奇函数且D关于x轴对称,
所以
例2计算JJsin（x2+y2）dxdy,其中区域£
）：
4,x>
0D
解因为f^y）=sm（x2+y2）是关于y的偶函数，且Q关于x轴对称,
x>
0..v>
jjsin（x2+y2）dxdy=2D
sin（x2+y2）dxdy
=2JJsin（x2+y2）dxdy—八爪灯：
’>
rsmr2.r+y:
<
4
0y>
2.1.2积分域D关于y轴对称，/（兀y）为D上的连续函数
定理3如果积分域D关于y轴对称，f（x,y）为x的奇偶函数，则二重积分
0，f（-x,y）=-f（x,y）
JJ/（x,ym=2jj/（x,y）dxdy,f（-x,y）=f（x,y）
其中卩为D在y轴的右半平而部分.
证明若区域D对称于y轴（图2）,对任意P^y）eD^对称点P\-x,y）eD^类似定理2的证明可得
fo，fz刃=一于（兀刃
^f（x,y）dxdy=l2^f（x,y）dxdy,/（-x,y）=/（x,y）*DIq
例3计算⑴（x+X5y2）dxdy,其中D:
%2+y2<
4,y>
0
f（x,y）=x+x^y2,
/（一也y）=-v-x3r=-（x+x3y2）=一/（兀y），
且区域D关于），轴对称，所以
=0.
例4计算^x2ydxdy,其中区域£
）：
-l<
LO<
1
解J\x,y）=x2y是关于x的偶函数，且区域D关于y轴对称,所以
曲dy=l^dy^ydx=2（问卜认=|
D，
2.2积分区域D关于坐标区域内任意直线对称
将积分区域D关于坐标轴对称的情况推广到积分区域D关于坐标区域内任意直线对称，则有下面定理:
定理4如果积分域。
关于直线y=ax+b对称，则二重积分
心辿二也）=_如
1+cT1+cT
2j“g）d砂，金+響二f+»
（”弋
A
其中。
为D在以直线y=ax+b为轴的右半平面部分
Jy
图3
证明若区域D对称于直线y=Q+b,不妨设a>
0,即倾斜角&
为锐角.
首先，平移坐标轴，得坐标系#。
了：
如（图3）
（2）
其次，将坐标系/沿逆时针方向旋转，旋转角为0（tan&
=a）,使#轴与直线y=ax+b重合.得新坐标系uov:
/=（it一vtan0）cos&
=〔、
（3）
由
（2）,（3）得
x=E丄
Jl+亍Q
an+v
V=?
T77
l\（ba（y-ax-b）
u=\Jl+a^（x+-）+—[ayj\+cr
y-ax-b
v=•”
J1+，
xoy坐标而内对称于直线y=ar+b的区域D,在新坐标系uofv内对应的区域D'
关于u轴
对称.xoy内任意点P（x,y）e,在uovffi内对应点D/-
rrb、a（y-ax-b）y-ax-b
u=71+cr（x+—）+（，—，v=「,，,
a+y/l+a2
点P、（u,v）关于"
轴对称点P[（w,-v）gD；
P；
（w,-v）在xoy而内对应点为
"
一0（7）b«
«
+（-V）nP（/——_一•/——r）已5yjl+aaJ1+/
将“川代入，化简得：
PQ+2心"
—b）®
+b+3-l）（y5-b））w0.
1+cr1+cr
因此，xoyffil内点P（x,y）e关于直线y=ax+b的对称点为
P（“2心-心b）®
+b+（宀DO—纠丘d、,
l+d~1+tr"
雅可比行列式为
于是
由定理2知
f（x+2g"
-b）®
+b+（宀1）（）—纠=_饷刃1+tr1+cr
2JJg：
y）dxdy，f（x+加（[*_◎,ax+b+SJ）
q
例5计算⑴二重积分jj[（x-l）34-刃dcr,
其中D是抛物线y=（x-l）2,y=4（x-l）2及直线y=l所围成的区域
解由于积分区域D关于直线x=l对称，被积函数中（x-1）3在区域D上关于（兀-1）
为奇函数，y在区域D上关于（x-1）为偶函数，见（图4）,由定理4,得：
JJ[（X-1）3+y]db=0+2jjyd（y=yd）j£
：
|.
DQ2》
当积分域D关于直线y=x轴对称时，有下面推论：
推论1【打如果积分域D关于直线），=x轴对称，则二重积分
[|7（x，y）dxdy=jjf（y,x）dxdy.
DD
例6设f（x）为恒正的连续函数，计算积分
解
由于积分区域+关于y=x对称，所以由推论2,可得:
[[妙⑴+敏九皿=ff妙（）'
）+敏5砂,
2ff呼今叫血/w+/（y）
=rr妙⑴+叫如ff妙（）'
）+做％d）‘r+/<
r3/«
+/（y）f（y）+fw
=jj（d+b）dxdy=兀（a+b）r2•
x:
+y2<
r:
ff妙⑴+敏刃如，=%+b）宀
/w+a刃2
当积分区域关于y=x对称时，被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以使二重积分计算化简.
类似的，若积分区域关于直线y=-x对称且满足f（-x-y）=-f（x,y）,则
J“（Ddxdy=O,
或满足f（-x,-y）=f（x,y）,则有
[|7d）dxdy=2^f（x,y）dxdy.
dq
（其中。
为Q的一半）
2.3积分区域D关于坐标原点对称
定理5如果积分域D关于原点对称，/（X,）'
）同时为八y的奇偶函数，则二重积
f（-x-y）=-f（x9y）
分
[0\\f^y）dxdy=2j“（x,y）dxdy
DID、
其中2为D的上半平面部分.
证明若区域D对称于原点（图5）,对任意P（x.y）eDA,对称点Pf（-x-y）eD2,
D{={y/（x）<
y<
（p（x）,a<
b},D2=\-（p（-x）<
-y/（-x）,-b<
-a],令
y=-v
则区域D2变换为"
ov坐标平面内区域D[={y/（x）<
久r）,a<
b},雅可比行列式
0（x,y）=一10=],
0（"
川）0-1'
Jj7d）dxdy=Jjf{-u-v）dudv=Jjf{-x-y）dxdy
6q2
-J“（x，y）dxdy,f（-x,-y）=-f（x,y）q
j]/（x,y）dxdy,f（-x-y）=f（x,刃
代入
d2
，若/*（-“,-刃=-/a,y）
，若y（—x,-刃=/（兀刃•
Jj7（兀y）dxdy=^f{x,y）dxdy+Jj7（兀y）dxdy,
Jp（Ddxd）'
=2j“（x,y）dxdydIq
例7计算⑴/=jj（小+x2y）dxdy
JUI1D是由y=xy=l，y=-l以及x=0所圉成的闭区域
y/
i/
D、/y=i
%
0x
z
-1
图6
解如（图6）,D=U+2,2、2关于原点对称，但被积函数不满足/（x,y）=/（-x-y）,t!
l不满足f（x,y）=，故不能直接用定理来计算，
但若记
fS^y）=xy，f2（^y）=x2y
对71（/y）和厶（兀y）分别应用定理5,则
ffZd）dxdy=2j]xy^dxdy
x2y）dxdy=jjxydxdy+jjx2ydxdy
/=JJg+
=xydxdy=—.
q4
2.4积分区域D关于坐标区域内任意一点对称
将积分区域£
＞关于原点对称的情况推广到积分区域D关于坐标区域内任意一点对称，则有下而定理：
定理6如果积分域D关于点@上）对称，则二重积分
f0,f（2ci-x,2b-y）=-/（x,y）
^f（x,y）dxdy=J2jj/（x,y）^y,f（2a-x,2b-y）=f^y）f
DIq
为D以为对称点的右半平面部分.
图7
证明若区域D对称于点@上）（图7），平移坐标轴
\x=u+a
[y=v+/?
，
即
（it=x-a
[v=y_b
xoy坐标面内区域D在uov坐标面内对应的区域Df关于其坐标原点o对称.
9r
xoy面内任意点y）eDt,对应“ol面内点P\x-a,y-b）e,它关于o'
对称点为P\ci-x,b-y）e.uo'
vjffl内点耳对应xoy面内点P'
（2ci-x,2b-y）eD2.由此，xoyjff内点P（x,），）e$关于点（d,b）的对称点为P'
（2a—x,2b—y）.雅可比行列式为
0（九刃_1
a（w,v）-o
\\f^y）dxdy=4jj/（x,y）dxdy
其中叽为D位于第一象限部分.
例8计算二重积分川与牡6其中区域D：
|x|+|y|<
解由于积分区域D关于坐标轴、原点全对称，由上述定理得
ff哄/b=4jjxyda=4J；
xydy=
结束语
本文给岀了二重积分对称性定理在不同条件下的证明以及应用，利用二重积分积分域D的对称性及被积函数/（X,刃的奇偶性，一方面可减少计算量，另一方面可避免岀差错，仅当积分域£
＞的对称性与被积函数/（X,刃的奇偶性两者兼得时才能用对称性定理.
当对称区域位于平面上任意位置时，对称点的坐标往往比较复杂，导致定理中某些条件难以检验.但如果/（1刃三1,那么无论对称区域位于何处，总有/（P）=/（P）,定理恒成立.这就是为什么在求面积、体积时，总可以用对称性化简的原因.
参考文献
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山东建筑工程学院学报，1995.
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河北口学考试，2001.
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南亍师范高等专科学校学报，2002.
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工科数学，1996.
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