电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案Word格式文档下载.docx

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2.2假定二进制数据序列｛B（n）,n=1,2,

3,….｝是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B（n），并有概率P[B（n）=0]=0.2和P[B（n）=1]=0.8。

试问，

（1）连续4位构成的串为｛1011｝的概率是多少？

（2）连续4位构成的串的平均串是什么？

（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？

（4）该序列是可预测的吗？

如果见到10111后，下一位可能是什么？

2.4解：

解：

（1）

P-1011

=P[B（n）=1]卩[B（n+1）=0]”P[B（n+2）=1]”P[B（n+3）=11=0.80.20.80.8=0.1024

（2）设连续4位数据构成的串为B（n）,

B（n+1）,B（n+2）,B（n+3）,n=1,2,3,….其中B（n）为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。

所以有：

串（4bit数据）为：

X（n）^2B（n+k），

k=0

其矩特性为：

因为随机变量B（n）的矩为：

均值：

E[B（n）]=00.210.8=0.8方差：

-2=r_2

Var【B（n）】=E[B（n）1-{E[B（n）p

=020.2120.80.82

二0.8-0.82二0.16

所以随机变量X（n）的矩为：

一3kT

E[X（n）]=E|送2kB（n+k）

-k=0-

八2kE〔B（nk）丨八2k0&

k二0k二0

方差：

-3k1

D[X（n）]二Da2kB（n+k）

-k=0_

323

=送（2k）D【B（n+k）匸送4^0.16=13.6

k=0k=0

如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：

串平均：

卜」Bn,Bn1,Bn2,Bn3?

=；

、0.8,0.8,0.8,0.8:

串方差：

Va^:

Bn,Bn1,Bn2,Bn3：

=10.16,0.16,0.16,0.16：

（3）概率达到最大的串为:

1,1,1,1:

（4）该序列是不可预测的，因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何

关系。

所以如果见到10111后，下一位仍为0或1,而且仍然有概率

P[B（n）=0]=0.2和P[B（n）=1]=0.8。

2.3正弦随机信号{X（t,s）=Acos（200n）,t>

0},其中振幅随机变量A取值为1和0,概率分别为0.1和0.9,试问，

（1）一维概率分布F（x,5）;

（2）二维概率分布F（x,y,0,0.0025）;

（3）开启该设备后最可能见到什么样的信号？

（4）如果开启后t=1时刻测得输出电压为1伏特，问t=2时刻可能的输出电压是什么？

概率多少？

它是可预测的随机信号

吗？

（1）X（t）二Acos2005

X（5）=A

Fx;

5二0.1ux-10.9ux

（2）

：

X（0）=1,X（0.0025）=0,依概率0.1发生

X（0）=0,X（0.0025）=0,依概率0.9发生

Fx,y;

0,0.0025=0.1ux-1,y0.9ux,y

（3）因为PlA=0]=0.9，所以开启该设备后90%的情况会见到无电压（A=0）。

（4）t=1时刻，有

Xt,s=Acos2001=A=1，可得A=1；

t=2时刻，有

Xt,s二Acos2002二A=1；

因为在A=1的前提下，t=2时刻输出电压为确定值1，所以p_X2=1/x1=1=1。

它是可预测的随机信号。

解题关键：

理解本随机信号中只有一个随机变量A，而它的值只在初始时是不确定的，一旦A的值确定了，信号变成了确定信号。

2.4若正弦信号x（t）=Acos（tG），其中振幅A与频率取常数，相位&

是一个随机变量，它均匀分布于「丁间，即

f（J二2-'

【0其他

求在t时刻信号X（t）的概率密度fxt（X）。

解：

注意到X（t）是G的函数，并且，==arccos-t。

对于任意给定的t，X（t）=ACOS（tG）随&

可

能有多个单调段。

但在每个单调段上都有，

2JA2-x2

因此，

2兀\

/a2—X2

其他

fx（t）（X）二f：

;

P（X）P（X）

fx（t）（X）二

2.5设质点运动的位置如直线过程X（t）=Vt+Xo，其中V^N（1,1）与X°

Dn（0,2）,并彼此独立。

试问：

（1）t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？

（2）它是可预测的随机信号吗？

2.7解：

（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布

E[X（t）]=E[VtX°

]=tE[V]E[X°

]=t

为:

fx（X）二

（t22）

exp{-

D[X（t）]二D[VtX0pt2D[V]D[X0pt22

所以它的一维概率密度函数

（2）此信号是可预测随机信号

2.6假定（-1,+1）的伯努利序列In,n=1,2,.J的取值具有等概特性。

（1）它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？

（2）它是可预测的随机信号吗？

2.8解：

⑴片⑴=0.5（i1）0.5（\-1）

E[ln]=0.5（1-1）=0

Cgg）=Rgm）=E「九

EIlnilEgr0n厂n2

E[l^=1n^n?

（2）该随机信号不可预测

2.7给定随机过程X（t）和常数a,试以x（t）的自相关函数来表示差信号Y（t）=X（ta）-X（t）的自相关函数。

2.10解：

由题意可得：

RY（t1,t2）

=E[丫（切丫（t2）]

=E“X（t「a）-X（tjHX（t2a）-X（t2）l:

=E'

X（t<

a）X（t2a）】-E'

a）X（t2）]

-E'

X（t1）X（t^a）】E'

X（t1）X（t2）]

=RX（t1a,t2a^RX（t「和2）-RX（t1>

t^aVRX（t1,t2）

2.8两个随机信号X（t）=Asin（st+O）与Y（t）=Bcos（wt+O）,其中A与B为未知分布随机变量，O为0〜2n均匀分布随机变量，A、B与O两两统计独立，3为常数，试问，

（1）两个随机信号的互相关函数RxY（tl,t2）；

（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）性与统计独立性；

解:

e[X（t）]=e[AsinWt+。

）]=E〔A】e[sin2t+。

；

[Yt~iiBcost「_0

Rxyt1,t2=CXYtj,t2「；

X匕Yt2

=e[AsingI+。

）Bcosgt2+°

）]

1__

=e〔a】e〔b】?

e⑶nW（t,—t2））+sinW（t,+t2）+2。

）]

=—e〔a】e〔b】｛qn®

（1-t2））[-e^sinW（t,+t2）+2。

）P

=—E〔A】e〔B】sin（⑷（1-12））]

（2）①如果E[A]或E[B]为0,则

RXYt1,t2二CXYt1,t2=0，随机信号X（t）与

Y（t）正交且互不相关；

②如果E[A]与E[B]均不为0,则

RXYt1，t2=CXYt1，t20,X（t）与Y（t）不正父，