数学建模Word格式.docx
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X13
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X18
X19
X20
3.91
3.26
2.85
2.35
3.02
3.63
4.12
3.46
2.08
是根据以上数据,估计出河道的截面积,进而在已知流速（设为1米/秒）的情况下计算出流量.若河床铺设一条光缆,试估计光缆的长度.
本问题是要利用已知的数据点来获取一条船过这些店的河床函数曲线,这是实际问题中经常遇到的数据处理问题之一,在数协商可以用数据差值的方法来解决.
二．实验目的
通过分析,推导,掌握数据插值的思想方法,从而获取河床近似曲线;
通过对插值方发的进一步讨论,了解差值的龙格现象;
熟悉常用的分段线性插值和样条插值的使用方法.
三．实验内容
1.数据插值
假定给定的N个数据点（X1,Y1）,（X2,Y2）,…,（XN,YN）的观测值都是准确的,为了寻找他们所反映的规律,求解一条严格通过个数据点的曲线,用它来进行分析研究和预测,这种方法通常称为插值法.在这类问题中选取一条何种类型的曲线做为插值函数是曲解的关键.
2.实验问题求解
由于拉格朗日插值容易发生龙格现象,所以常用的分段线性插值和样条插值,为此我们用分段线性插值和三次样条插值分别求解河床曲线.
（1）.利用分段线性插值绘制河床曲线
根据已知数据进行分段差值,在此基础上利用梯形法求积分来计算和床面积,同时计算每一段连接长度之和来近似河床曲线长度.
程序及结果如下:
x=0:
5:
100;
y=[02.412.962.152.653.124.235.126.215.684.223.913.262.852.353.023.634.123.462.080];
y1=10-y;
plot（x,y1,'
k.'
'
markersize'
15）;
axis（[0100210]）
grid;
holdon
t=0:
u=interp1（x,y1,t）;
plot（t,u）
S=100*10-trapz（t,u）;
p=sqrt（diff（t）.^2+diff（u）.^2）;
L=sum（p）;
fprintf（'
S=%.2f,L=%.2f\n'
S,L）
S=337.15,L=102.09
河床线性插值结果图
（2）.利用样条插值绘制河床曲线
另一方面,为了提高河床曲线的模拟精度我们根据已知数据进行三次样条差值,在此基础上利用梯形法求积分来计算和床面积,同时对样条曲线加密分段,计算每一段连接长度之和来近似河床曲线长度.程序及结果如下:
u=spline（x,y1,t）;
p=sqyt（diff（t）.^2+diff（u）.^2）;
fprintF（'
河床样条插值结果图
小结
在数学上可以用数据差值的方法主要来来解决已知的数据点来获取一条船过这些店的河床函数曲线的问题,这是实际问题中经常遇到的数据处理问题之一,.插值发给我们提供了一个重要的途径.
实验二：
人口预测与数据拟合
1790年到1980年各年美国人口数的统计数据如下表：
美国人口统计数字（单位：
百万）
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
统计
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
62.0
72.0
92.0
106.5
123．2
137.7
150.7
179.3
204.0
226.5
试根据前100年的数据，分别用Malthus模型和Logistic模型建立美国人口增长的近似曲线图（美国人口总体容纳量为10亿），并推测后100年的人口数，通过与实际数据相比较，对预测结果进行分析。
本问题是要通过已知数据来预测这些数据的变化规律和趋势，寻找一个最能反映这个规律的函数曲线。
这是数据处理问题中常见的一类问题，在数学上归结为最佳曲线拟合问题。
通过对人口预测问题的分析求解，了解利用最小二乘法进行数据拟合的基本思想，熟悉寻找最佳拟合曲线的方法，掌握建立人口增长数学模型的思想方法。
对于已知的关于自变量和因变量的一组数据（X1，Y1），（Ｘ２，Ｙ２），。
。
，（Ｘ
Ｙn），寻找一个合适类型的函数y=f（x），使它在观测点X1，X2，。
，Xn处所取的值与观测值在某种尺寸下最近处，从而可用y=f（x）作为有观测点所反映的规律近似表达式，这一问题在数学上被称为最佳曲线拟合问题。
从几何意义上讲，最佳曲线拟合问题等价于确定一条平面曲线（类型给定），使它和实验数据点“最接近”.这里并不要求曲线严格通过每个已知点，但（在总体上）要求曲线在各数据点处的取值与已知观测值之间的总体误差最小，这种方法的求解过程通常称为数据拟合，其实质是多元函数的极值问题。
四．实验过程
运用MATLAB中命令polyfit编写拟合程序，运行结果如图9.2所示。
%prog41.m%
%Thisprogramistopretictthesummerofpopulation%
formatlong
t1=[1790;
1800;
1810;
1820;
1830;
1840;
1850;
1860;
1870;
1880];
t2=[1890;
1900;
1910;
1920;
1930;
1940;
1950;
1960;
1970;
1980];
p1=[3.9;
5.3;
7.2;
9.6;
12.9;
17.1;
23.2;
31.4;
38.6;
50.2];
p2=[62.0;
72.0;
92.0;
106.5;
123.2;
131.7;
150.7;
179.3;
204.0;
226.5];
lnp1=log（p1）;
lnp2=log（p2）;
a12=sum（t1）;
a11=10;
a21=a12;
a22=sum（t1.^2）;
d1=sum（lnp1）;
d2=sum（lnp1.*t1）;
A=[a11,a12;
a21,a22];
D=[d1;
d2];
ab=inv（A）*D;
disp（'
a='
）;
disp（ab
（1））;
b='
disp（ab
（2））;
fori=1:
10
lnpp1（i）=ab
（1）+ab
（2）*t1（i）;
end
lnpp2（i）=ab
（1）+ab
（2）*t2（i）;
plot（t1,lnp1,'
r*--'
t1,lnpp1,'
g+--'
t2,lnp2,'
b*--'
t2,lnpp2,'
m+--‘）
五．实验总结
结果显示，利用已知的20年的人口统计数据拟合出来的Logistic模型曲线，预测的人口数量与实际统计结果有很好的吻合，同时，给出了美国1790—1980年人口数量的预测结果。
所以，选取合适的拟合目标函数类，才会有很好的拟和结果。
实验三：
追击问题
1、
如图所示，有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，按要求完成下面的实验：
⑴问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？
⑵选取猎狗的速度分别为15、18米/秒，计算猎狗追上兔子时跑过的路程和时间.
⑶画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图.
二、实验过程
1、猎狗追赶兔子问题
⑴、建立模型
由题意易得∠AOB=90°
，则可以建立平面直角坐标系.如图所示，以O点为坐标原点，OA所在直线为y轴，以OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则兔子最初在原点（0，0）位置，猎狗最初在（200，0）位置处，兔子的洞口在（0，120）位置处，兔子奔跑的方向为y轴正方向，设猎狗的追赶历程为s，速度为v.
因为猎狗和兔子在奔跑过程中相对于它们运动的范围很小，所以可以将它们视为两个运动的质点.从猎狗发现兔子开始，在时刻t时，兔子到达点P（0，8t）,猎狗到达Q（x,y）点.因猎狗在追赶兔子的过程中方向始终指向兔子的位置，所以有
（1）
将上式中
两边分别对x求导得
，所以
.
（2）
又有
，其中负号代表s随着x得减小而增大.
将上式代入
（2）式，则可得
（1）可表示为
这就是猎狗追赶图中的数学模型.
⑵模型求解
①、求解析解
令
，则
，则
（1）可表示为
所以有
解得
，也即
.则可得
.（3）
对上式我们做以下讨论：
ⅰ、当
，即v>
8时，微分方程（3）有解
，
令x=0,得猎狗追上兔子时兔子跑过的距离
，所用时间为
若猎狗能追赶上兔子，则有题意有t≤120/8=15,即
≤15，也即3v2-40v-192≥0,解得v≥
.（v≤
舍去）.
即要追上兔子，猎狗的速度最少要为17.1米每秒.
ⅱ、当v=8时，微分方程（3）有解
，则当x→0时y→+∞,而猎狗要追上兔子要求y≤120，所以此时猎狗不可能追上兔子.
ⅲ、当v<
，则当x→0时y→+∞,而猎狗要追上兔子要求y≤120，所以此时猎狗不可能追上兔子.
综合以上ⅰ、ⅱ、ⅲ的结果可以得到：
⑴猎狗能追上兔子的最小速度是17.1米每秒.
⑵当猎狗的速度为15米每秒时，由⑴得猎狗不能追上兔子；
当猎狗的速度为18米每秒时，由⑴得猎狗能追上兔子，猎狗追上兔子所用的时间为
秒，猎狗跑过得路程为vt=18
13.8=249.2米.
②用MATLAB软件求解
在MATLAB软件中运行以下程序：
dsolve（'
Dy=1/2*（（x/200）^（8/v）-（200/x）^（8/v））'
'
y（200）=0'
x'
）
得到以下结果：
ans=
1/2*2560000000000000000^（-1/v）*x^（8/v+1）/（8/v+1）-1/2*2560000000000000000^（1/v）*v/（v-8）*x*（（1/x）^（1/v））^8+（800*（2560000000000000000^（1/v））^2*v-100*（200^（1/v））^16*v^2+800*（200^（1/v））^16*v+100*（2560000000000000000^（1/v））^2*v^2）/（-64*2560000000000000000^（1/v）*（200^（1/v））^8+2560000000000000000^（1/v）*（200^（1/v））^8*v^2）
若令
在MATLAB软件中运行以下程序:
Dy=1/2*（（x/200）^r-（200/x）^r）'
则可得到以下结果：
1/2*200^（-r）*x^（r+1）/（r+1）+1/2*200^r/（r-1）*x*（1/x）^r-200*r/（r^2-1）
上述两个结果实际上是相同的，并且与理论演算得到的结果是一致的.
③用MATLAB软件求数值解
假设猎狗的速度为v=18米每秒，则r=8/v=4/9，首先生成初值问题（3）的函数文件
functiony=liegou（t,y）
y=1/2*（（t/200）^（4/9）-（200/t）^（4/9））
保存为liegou.m,然后在MATLAB软件命令窗中用二三阶龙格-库塔算法计算初值问题（3）的数值解.
执行命令
ode23（'
liegou'
200,1,0）
显示图1所示的图形.
若继续执行命令
[t,y]=ode23（'
则得到以下数据：
t=
200.0000197.5125195.0250191.1368185.4799177.7390167.6756155.1709140.2698123.2214104.507784.849165.176546.558830.081920.391313.15158.17134.86912.80471.42471.0000
y=
00.00690.02770.08860.24020.57241.22972.42394.43967.626412.371119.044227.923639.102552.406562.681772.424080.962688.211694.059699.2342101.2726
此时猎狗得位置坐标是（1.0000，101.2726）.
若在MATLAB软件命令窗中用二三阶龙格-库塔梯形算法计算初值问题（3）的数值解.
ode23t（'
显示图2所示的图形:
图2
若继续执行命令
[t,y]=ode23t（'
t=
200.0000199.9790199.9371199.8951199.8425199.5794198.9184198.2573197.1334195.6830193.7111191.2221188.1076184.3298180.5520175.3410170.1301163.3441156.5581148.2148139.8715131.5282121.3386111.1489100.959290.769680.579970.390360.200650.011039.821329.631622.521715.411710.85206.29233.81412.20411.0000
00.00000.00000.00000.00000.00020.00130.00340.00920.02090.04440.08690.16040.28040.43480.70581.04571.59562.27133.28354.50655.95388.049210.535513.452716.850420.791125.356430.656436.846844.163853.001660.412369.415076.461685.369891.612696.8128102.1476
此时猎狗得位置坐标是（1.0000，102.1476）.
若在MATLAB软件命令窗中用四五阶龙格-库塔算法计算初值问题（3）的数值解.
ode45（'
则可显示图2
图3
继续执行命令
[t,y]=ode45（'
得到以下数据：
200.0000195.0250190.0500185.0750180.1000175.1250170.1500165.1750160.2000155.2250150.2500145.2750140.3000135.3250130.3500125.3750120.4000115.4250110.4500105.4750100.500095.525090.550085.575080.600075.625070.650065.675060.700055.725050.750045.775040.800035.825030.850025.875020.900017.862114.824211.78648.74856.81144.87422.93711.0000
00.02770.11190.25390.45550.71811.04381.43421.89152.41783.01543.68694.43495.26226.17217.16808.25359.432810.710212.090813.579915.183816.909118.763620.756122.896425.196127.668630.330033.199036.298339.656443.309547.305151.700656.585962.094865.848769.973674.586979.885083.811588.157493.5090101.4980
此时猎狗得位置坐标是（1.0000，101.4980）.
实验小结
通过这次数学实验学习，培养和提高了我们分析问题和解决实际问题的能力。
它是我们在学习数学过程中重要的实践性环节。
它激发了我们学习数学的兴趣，并让我们体会到数学理论和方法的重要性，还培养开拓了我们的创新精神。
尽管这次实验对我们大一的学生来说比较难，但我们在阮老师细心的指导下，我们多练勤练，并重视每一次的上机实践机会，积极钻研，掌握基本原理和方法，最终成功的完成了本次实验任务！
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