031矩形菱形正方形BWord文档格式.docx
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根据两人的作法可判断：
A.甲正确，乙错误B.乙正确，甲错误C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误
7.（3分）（2012•泸州）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．
24
B．
16
C．
4
D．
2
8.（广东深圳，9，3分）如图1，有一张一个角为30°
，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（）
A．8或2
B．10或4＋2
C．10或2
D．8或4＋2
【答案】D
9.（2013•嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为 6 ，小球P所经过的路程为 6
．
【答案】6，6
．
10.
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二、填空题
1.（2013天津，18，3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，
（1）△ABC的面积等于；
（2）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中.用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）.
【答案】
（1）6；
（2）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，交BC于点Q，连接PQ与AC相交得点D；
过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G、F，则四边形DEFG即为所求.
2.（2013山东潍坊，14，3分）如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件_____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）
【答案】本题答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等．
3.（2013北京，11,4分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__________
【答案】20．
4.（2013四川绵阳，16，4分）对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。
若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为。
【答案】16
5.（2013年广东珠海，9，4）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，又顺次连接正方形A1B1C1D1四边中点得到第二个正方形A2B2C2D2，…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是.
第10题图
6.（2013江苏无锡，15，2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CD的中点，则OE的长等于.
【答案】4
7.
（2013浙江衢州，16,4分）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°
.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；
顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；
顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；
按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是；
四边形A2013B2013C2013D2013的周长是.
【答案】20（；
.
8.（2013湖北荆州，14）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn的边长是．
9.2013广西钦州，18，3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是____▲____．
【答案】10．
三、解答题
1.（2013山东淄博，24，9分）矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4.
⑴如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形，你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？
说明理由;
⑵请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求：
在图2的矩形ABCD中画出裁剪纸，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）.
图1图2
解：
⑴能.要在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽，即4，所以最大面积是16.
⑵由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知剪拼成的面积最大的正方形的边长是
.所以先将长方形的长边分为4和1两部分，然后将4×
4的大正方形部分剪成4个斜边为
的直角三角形，将1×
4的长方形剪成4个边长为1的小正方形，具体剪法如下图：
2.（2013湖北恩施州，18,8分）（满分8分）如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点。
求证：
四边形EFGH为菱形。
图8
证明：
连接AC、BD。
∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EH=
BD，HG=
AC。
∵EH∥BD，FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴BD=AC，∴EH=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形。
3.（2013湖北襄阳，23，7分）如图12-1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形.
（1）连接BE，CD，求证：
BE＝CD；
（2）如图12-2，将△ABD绕点A顺时针旋转到△AB′D′.
①当旋转角为度时，边AD′落在边AE上；
②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？
并给予证明.
（1）证明：
∵△ACE，△ABD都是等边三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°
，1分
∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC.2分
∴△BAE≌△DAC，∴BE＝CD.3分
（2）①60；
4分
②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等，证明如下：
由旋转可知AB′与AD重合，∴AB＝BD＝DD′＝AD′，
∴四边形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝
∠ABD＝
×
60°
＝30°
，DP∥BC.
∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°
∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′，
∴∠PCD′＝∠ACD′＝
∠ACE＝
.
∵DP∥BC，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°
.5分
∴BD′＝CD′.6分
∴△BDD′≌△CPD′.7分
4.（2013江苏南京，19，8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD.垂足分别为M、N.
（1）求证：
∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝90°
，求证：
四边形MPND是正方形.
【答案】证明：
（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BA＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD.
∴∠ADB＝∠CDB.………………………………4分
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°
又∵∠ADC＝90°
，
∴四边形MPND是矩形.
∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
∴四边形MPND是正方形.………………………………8分
5.（2013北京，22,5分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图1，在边长为
的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°
时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现：
分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形MNPQ的面积．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若
，则AD的长为__________．
【解】
（1）a
（2）四个等腰直角三角形面积和为a2
正方形ABCD的面积为a2
∴S正方形MNPQ＝S△ARE＋S△DWH＋S△GCT＋S△SBF＝4S△ARE＝
（3）
提示：
模仿小明的操作，向正三角形外面补出三个“尖角三角形”，如下图．
这样，外面的三个“尖角三角形”的面积之和恰为阴影三角形的面积！
6.（2013贵州黔东南，19，8）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证AM=EF．
连接MC，EF．正方形ABCD中，∵AD=CD，∠ADM=∠CDM，又DM=DM，∴△ADM≌△CDM，∴AM=CM，∵ME∥CD，MF∥BC．∴四边形CEMF是平行四边形，∵∠ECF=90°
，∴□CEMF是矩形，∴EF=MC，又AM=CM，∴AM=EF．
7.（2013广东梅州，21，8分）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°
，BC的垂直平分线EF交于点D，交AB于点E，且CF=AE．
四边形BECF是菱形；
（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．
（1）∵BC的垂直平分线EF交于点D，∴BF=FC，BE=EC.又∵∠ACB=90°
，∴EF//AC.∴BE：
AB=DB：
BC，∵D为BC中点，∴DB：
BC=1：
2，∴BE：
AB=1：
2，∴E为AB中点，即BE=AE，∵CF=AE，∴CF=BE，∴CF=FB=BE=CE，∴四边形BECF是菱形．
（2）如图，∵四边形BECF为正方形，∴∠BEC=90°
.又AE=CE，∴∠A=45°
8.（12分）（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°
，∠C=75°
，BD平分∠ABC．求证：
BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2，在12×
16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°
，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．
【答案】解：
（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°
，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°
∴∠ABC=60°
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°
，∠DBC=30°
∴∠BDC=∠C=75°
∴△BCD为等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）由题意作图为：
图2，图3
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图4，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°
∵∠BAD=90°
∴∠CAD=30°
∴∠ACD=∠ADC=75°
∴∠BCD=60°
+75°
=135°
如图5，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD．
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°
∴∠BCD=15°
3=45°
9.
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