八年级数学上第十一章三角形学案人教版Word格式.docx

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小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1一个等腰三角形的周长为28cm.

（1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；

（2）已知其中一边的长为6cm，求其他两边的长．

解：

（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，依题意得2×

3x＋x＝28，解得x＝4，3x＝12，∴三边长分别为4cm，12cm，12cm.

（2）设另一边长为xcm，依题意得，当6cm为底边时，2x＋6＝28，∴x＝11；

当6cm为腰长时，x＋2×

6＝28，∴x＝16.∵6＋6＜16，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为6cm的等腰三角形，∴其他两边的长为11cm，11cm.

探究2某同学有两根长度为40cm，90cm的木条，他想钉一个三角形的木框，那么第三根应该如何选择？

（40cm，50cm，60cm，90cm，130cm）

设第三根木条长为xcm，依题意得90－40＜x＜40＋90，∴50＜x＜130，∴第三根应选60cm或90cm.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）

1．图中有6个三角形，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△ACE；

以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ACD．

2．下列长度的三条线段能组成三角形的是C．

A．3，4，8B．5，6，11C．2，4，5

3．等腰三角形一条边等于3cm，一条边等于6cm，则它的周长为15_cm．

注意三角形三边关系．

（3分钟）（3分钟）1.等边三角形是特殊的等腰三角形．

2．在进行等腰三角形的相关计算时，要注意分类思想的运用，同时要注意运用三角形三边关系判断所求三条线段长能否构成三角形．

3．已知三角形的两边长，可依据三边关系求出第三边的取值范围．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

11．1.2三角形的高、中线与角平分线

1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念．

2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；

了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点．

三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达．

钝角三角形的高的画法．

自学课本P4页，掌握三角形的高的画法，完成下列填空．（4分钟）

作出下列三角形的高：

如图①，AD是△ABC的边BC上的高，则有∠ADB＝∠ADC＝90°

．

三角形的高有3条，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，相交于一点，直角三角形的三条高相交于三角形的直角顶点上；

钝角三角形的三条高相交于三角形的外部．

自学课本P4－5页，掌握三角形的中线的画法，理解重心的概念，完成下列填空．（5分钟）

作出下列三角形的中线，回答下面问题：

如图①，AD是△ABC的边BC上的中线，则有DB＝DC＝12BC；

三角形的中线有3条，相交于一点，且在三角形的内部，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

取一块质地均匀的三角形木板，试着找出它的重心．

自学3：

自学课本P5页，掌握三角形的角平分线的画法，理解三角形的角平分线与角的平分线的区别，完成下列填空．（3分钟）

作出下列三角形的角平分线，回答下列问题：

如图①，AD是△ABC的角平分线，则有∠BAD＝∠DAC＝12∠BAC；

三角形的角平分线有3条，相交于一点，且在三角形的内部．三角形的角平分线是线段，而角的角平分线是射线．

三角形的高、中线和角平分线都是线段．

完成课本P5页的练习题1，2.

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．（10分钟）

探究1如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：

（1）∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE＝12BC；

（2）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC＝12∠BAC；

（3）∵AF是△ABC的高，∴∠AFB＝∠AFC＝90°

；

（4）∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE，又∵S△ABE＝12BE•AF，S△AEC＝12CE•AF，∴S△ABE＝S△ACE.

三角形的高、中线和角平分线的概念既是性质，也可以做为判定定理用．

探究2如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比是多少？

∵12AB•CE＝12BC•AD，AB＝2，BC＝4，∴CE＝2AD，∴AD∶CE＝1∶2.

1．三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（C）

A．直线B．射线

C．线段D．射线或线段

2．一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（B）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不能确定

3．能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（D）

A．中线B．高

C．角平分线D．以上都正确

4．如图，D，E是边AC的三等分点：

（1）图中有6个三角形，BD是三角形ABE中AE边上的中线，BE是三角形DBC中CD边上的中线，AD＝DE＝EC＝13AC，AE＝DC＝23AC；

（2）S△ABD＝S△DBE＝S△EBC＝13S△ABC；

（3）S△ABE＝S△DBC＝23S△ABC．

（1分钟）

1．三角形的高、中线和角平分线都是线段．

2．三角形的高、中线和角平分线的概念既可得到角与线段的数量关系，也可做为判定三角形高、中线和角平分线的判定定理．

11．1.3三角形的稳定性

通过观察和操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的应用．

重、难点：

了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.

自学：

自学课本P6－7页，掌握三角形的稳定性及应用，完成下列填空．（5分钟）

将准备好的木条做成的三角形木架、四边形木架取出进行操作并观察：

（1）如图①，扭动三角形木架，它的形状会改变吗？

（2）如图②，扭动四边形木架，它的形状会改变吗？

由上面的操作我们发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．

（3）如图③，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．想一想其中的道理是什么？

三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．

1．课本P7页练习题第1题．

2．请例举生活中关于三角形的稳定性与四边形的不稳定性的应用实例．

探究1要使四边形不变形，最少需要加1条线段，五边形最少需要加2条线段，六边形最少需要加3条线段……n边形（n＞3）最少需要加（n－3）条线段才具有稳定性．

过一点把一个多边形分成若干个三角形最少需要几条线段．

探究2等腰三角形一腰上的中线将此等腰三角形分成9cm，15cm两部分，求此等腰三角形的周长是多少？

设等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm，依题意得，当x＞y时，x＋12x＝15，y＋12x＝9，解得x＝10，y＝4；

当x＜y时，x＋12x＝9，y＋12x＝15，解得x＝6，y＝12，∵6＋6＝12，不符合三角形的三边关系，故舍去．∴此三角形的周长为10＋10＋4＝24（cm）．

答：

此等腰三角形的周长为24cm.

此题用到分类思想，同时要考虑三角形的三边关系．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（10分钟）

1．课本P9页第10题．

2．下列图形具有稳定性的有（C）

A．梯形B．长方形

C．三角形D．正方形

3．体育馆屋顶的横梁用钢筋焊出了无数个三角形，是因为：

三角形具有稳定性．

4．已知AD，AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则△ABD与△ADC的周长之差为2_cm；

△ABD与△ADC的面积关系是相等．

5．如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC交AB边于E，DF∥AB交AC边于F，且∠ADE＝∠ADF.求证：

AD是△ABC的角平分线．

证明：

∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠ADE＝∠DAC，∠ADF＝∠DAB，又∵∠ADE＝∠ADF，∴∠DAC＝∠DAB，∴AD是△ABC的角平分线．

三角形的稳定性与四边形的不稳定性在日常生活中非常常用．

（12分钟）

11．2与三角形有关的角

11．2.1三角形的内角

（1）

1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理．

2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题．

三角形内角和定理的应用．

三角形内角和定理的证明．

自学课本P11－12页“探究”，掌握三角形内角和定理的证明方法，完成下列填空．（5分钟）

归纳总结：

三角形内角和定理——三角形三个内角的和等于180°

已知：

△ABC．求证：

∠A＋∠B＋∠C＝180°

为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线．作辅助线是几何证明过程中常用到的方法，辅助线通常画成虚线．

延长BC到点D，过点B作BE∥AC，∵BE∥AC，∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∵∠1＋∠2＋∠ABC＝180°

，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°

自学课本P12－13“例1、例2”，掌握三角形内角和的应用．（5分钟）

你可以用其他方法解决例2的问题吗？

可过点C作CF∥AD，可证得CF∥BE，同时将∠ACB分成∠ACF与∠BCF，求出这两个角的度数，就能求出∠ACB.

过点C作CF∥AD，∵AD∥BE，∴CF∥BE，∵CF∥AD，CF∥BE，∴∠ACF＝∠DAC＝50°

，∠FCB＝∠CBE＝40°

，∴∠ACB＝∠ACF＋∠FCB＝50°

＋40°

＝90°

，∵∠CAB＝∠DAB－∠DAC＝80°

－50°

＝30°

，∴∠ABC＝180°

－∠CAB－∠ACB＝180°

－30°

－90°

＝60°

.

从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°

，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°

完成课本P13页的练习题1，2.

仰角是当视线在视平线上方时视线与视平线所夹的角．

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．（7分钟）

探究1①一个三角形中最多有1个直角；

②一个三角形中最多有1个钝角；

③一个三角形中至少有2个锐角；

④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为60°

．为什么？

三角形的内角和为180°

探究2如图，在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC的延长线交于点F，∠B＝45°

，∠F＝30°

，∠CGF＝70°

，求∠A的度数．

在△CGF中，∠GCF＝180°

－∠CGF－∠F＝180°

－70°

＝80°

，∴∠ACB＝180°

－∠GCF＝180°

－80°

＝100°

，在△ABC中，∠A＝180°

－∠B－∠ACB＝180°

－45°

－100°

＝35°

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．课本P16页复习巩固第1题．

2．在△ABC中，∠A＝35°

，∠B＝43°

，则∠C＝102°

3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A＝40°

，∠B＝60°

，∠C＝80°

4．在△ABC中，如果∠A＝12∠B＝13∠C，那么△ABC是什么三角形？

∵∠A＝12∠B＝13∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°

，∴∠A＋2∠A＋3∠A＝180°

，∴∠A＝30°

，∴∠B＝60°

，∠C＝90°

，∴△ABC是直角三角形．

（3分钟）（3分钟）为了说明三角形的内角和为180°

，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法．

11．2.1三角形的内角

（2）

1．掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质与判定．

2．能运用直角三角形的性质与判定解决实际问题．

理解和运用直角三角形的性质与判定．

自学课本P13－14页，掌握直角三角形的表示方法及其性质，完成下列填空．（5分钟）

（1）直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．

（2）直角三角形的两个锐角互余．

（3）有两个角互余的三角形是直角三角形．

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（10分钟）

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°

，∠A＝2∠B，求出∠A，∠B的度数．

Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°

（直角三角形的两个锐角互余）．

∵∠A＝2∠B，∴2∠B＋∠B＝90°

，∴∠B＝30°

，∠A＝60°

2．如图，∠ACB＝90°

，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？

为什么？

结论：

∠ACD＝∠B.

理由如下：

在Rt△ACB中，∠A＋∠B＝90°

，在Rt△ACD中，∠A＋∠ACD＝90°

，∴∠ACD＝∠B.

利用同角的余角相等可以方便地证出两角的相等关系．

3．如图，∠C＝90°

，∠AED＝∠B，△ADE是直角三角形吗？

△ADE是直角三角形．

在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°

（直角三角形的两个锐角相等）．

∵∠AED＝∠B，∴∠A＋∠AED＝90°

，∴△ADE是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）．

探究1如图，AB∥CD，AE，CE分别平分∠BAC，∠ACD.求证：

△ACE是Rt△.

∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°

，∵AE，CE分别平分∠BAC，∠ACD，∴∠EAC＝12∠BAC，∠ACE＝12∠ACD，∴∠EAC＋∠ACE＝12∠BAC＋12∠ACD＝90°

，∴△ACE是Rt△（有两个角互余的三角形是直角三角形）．

探究2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AD，BD是∠CAB，∠CBA的角平分线，求∠D的度数．

在Rt△ABC中，∠CAB＋∠CBA＝90°

，

∵AD，BD是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠DAB＝12∠CAB，∠DBA＝12∠CBA，∴∠DAB＋∠DBA＝12∠CAB＋12∠CBA＝45°

，在△ADB中，∠D＝180°

－（∠DAB＋∠DBA）＝180°

＝135°

1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则此三角形是直角三角形．

2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°

，∠ACD＝∠B.

求证：

△ACD是Rt△.

∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°

，∴△ACD是Rt△（有两个角互余的三角形是直角三角形）．

（3分钟）（3分钟）1.直角三角形的性质：

两个锐角互余．

2．直角三角形的判定：

①有一个角是直角；

②两边互相垂直；

③有两个角互余；

11．2.2三角形的外角

1．探索并了解三角形的外角的两条性质，利用学过的定理证明这些性质．

2．能利用三角形的外角性质解决实际问题．

三角形外角的性质．

运用三角形外角的性质解决有关角的计算及证明问题．

自学课本P14页，掌握三角形外角的定义，完成下列填空．（3分钟）

如图1，把△ABC的边BC延长到D，我们把∠ACD叫做三角形的外角．

思考：

①在△ABC中，除了∠ACD外，还有那些外角？

请在图2中分别画出来；

②以点C为顶点的外角有2个，所以△ABC共有6个外角；

③外角∠ACD与内角∠ACB的关系是：

互为邻补角．

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；

每一个三角形都有6个外角；

每一个顶点相对应的外角都有2个；

每个外角与它相邻的内角互为邻补角．

自学课本P15页“探究与例4”，理解三角形外角的性质并学会运用．（7分钟）

如图，△ABC中，∠A＝70°

，∠ACD是△ABC的一个外角．能由内角∠A，∠B求出外角∠ACD吗？

如果能，外角∠ACD与内角∠A，∠B有什么关系？

认真思考，完成下面的填空：

（1）∠ACB＝50°

，∠ACD＝130°

，∠A＋∠B＝130°

，∠ACD＝∠A＋∠B；

（填“＞”“＜”或“＝”）

（2）∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.（填“＞”“＜”或“＝”）

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．

1．如图，是△BFD的外角有∠CDA，∠BFC，∠DFE，以∠AEB为外角的三角形是△CEF，△CEB．

2．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC不同的三个外角，求∠1＋∠2＋∠3.

∵∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠CAB，

∴∠1＋∠2＋∠3＝2（∠ABC＋∠ACB＋∠BAC），∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°

，∴∠1＋∠2＋∠3＝2×

180°

＝360°

3．课本P15页练习题．

探究1如图，在△ABC中，∠A＝α，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P＝β，试探求下列各图中α与β的关系，并选一个结论加以证明．

①β＝12α＋90°

②β＝12α；

③β＝90°

－12α.

（略）

探究2如图，∠A＝50°

，∠B＝40°

，∠C＝30°

，求∠BPC的度数．

连接AP并延长到点E，∵∠BPE＝∠B＋∠BAP，∠CPE＝∠C＋∠CAP，又∵∠BPC＝∠BPE＋∠CPE，∴∠BPC＝∠B＋∠BAP＋∠C＋∠CAP＝∠BAC＋∠B＋∠C＝50°

＋30°

＝120°

1．若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（C）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．无法确定

2．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为（C）

A．90°

B．110°

C．100°

D．120°

3．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°

第4题图）

4．如图，BE∥CF，∠B＝50°

，∠C＝75°

∵BE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∵∠ADE＝∠B＋∠A，∴50°

＋∠A＝75°

，∴∠A＝25°

（3分钟）（3分钟）1.三角形的每个顶点处都有2个外角，这两个外角互为对顶角，外角与它相邻的内角互为邻补角．

2．在三角形的每个顶点处各取一个外角，这三个外角的和为360°

3．三角形外角的性质是三角形有关角的计算与证明的常用依据．

11．3多边形及其内角和

11．3.1多边形

1．理解多边形的相关概念．

2．认识凸多边形及正多边形，掌握正多边形的定义及判定．

理解多边形的相关概述．

掌握正多边形的定义及判定．

自学课本P19页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．（5分钟）

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．

自学课本P20页，掌握多边形的相关概念，完成下列填空．（5分钟）

（1）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

（2）画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．

（3）各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．

1．四边形有4条边，4个顶点，4个内角，8个外角；

五边形有5条边，5个顶点，5个内角，10个外角；

n边形有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角．

2．画出下列多边形的全部对角线：

3．四边形的一条对角形将四边形分成2个三角形，从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形．

探究1：

过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，求mn的平方根．

由题意可得m－3＝7，∴m＝10，n＝3，∴±

mn＝±

30.

探究2：

填表

顶点数一个顶点可引

的对角线条数对角线总

共条数过一个顶点可分

成三角形个数

四边形4122

五边形5253

六边形6394

……………

n边形nn－3n（n－3）2

n－2

1．下列图形中，是正多边形的是（D）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．长方形D．正方形

2．过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边