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﹣（∠OPC+∠OCP）=60°

∴△OPC是等边三角形；

故②正确；

在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°

﹣∠BAC=60°

∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°

，PE=PA，

∴∠APO+∠OPE=60°

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°

∴∠APO=∠CPE，

∵OP=CP，

在△OPA和△CPE中，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO=CE，

∴AC=AE+CE=AO+AP；

故③正确；

过点C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=∠DAC=60°

，AD⊥BC，

∴CH=CD，

∴S△ABC=

AB•CH，

S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=

AP•CH+

OA•CD=

OA•CH=

CH•（AP+OA）=

CH•AC，

∴S△ABC=S四边形AOCP；

故④正确．

故选D．

点评：

本题考查了等腰三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线．

2．如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（　　）

PB=PC

PA=PD

∠BPC=90°

∠APB=∠DPC

轴对称-最短路线问题；

直角梯形．

专题：

压轴题；

动点型．

首先根据轴对称的知识，可知P点的位置是连接点B和点C关于AD的对称点E与AD的交点，利用轴对称和对顶角相等的性质可得．

如图，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP．

根据轴对称的性质，得∠DPC=∠EPD，

根据对顶角相等知∠APB=∠EPD，

所以∠APB=∠DPC．

此题的关键是应知点P是怎样确定的．要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定．

3．如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°

角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论：

①AG=CE②DG=DE

③BG﹣AC=CE④S△BDG﹣S△CDE=

S△ABC

其中总是成立的是（　　）

②③④

旋转的性质；

全等三角形的判定与性质．4387773

开放型．

连DA，由△ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，根据等腰直角三角形的性质得AD⊥BC，AD=DC，∠ACD=∠CAD=45°

，得到∠GAD=∠ECD=135°

，由∠EDF=90°

，根据同角的余角相等得到∠1=∠2，所以△DAG≌△DCE，AG=EC，DG=DE，由此可分别判断．

连DA，如图，

∵△ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=DC，∠ACD=∠CAD=45°

∴∠GAD=∠ECD=135°

又∵△DEF是一个含30°

角的直角三角形，

∴∠EDF=90°

∴∠1=∠2，

∴△DAG≌△DCE，

∴AG=EC，DG=DE，所以①②正确；

∵AB=AC，

∴BG﹣AC=BG﹣AB=AG=EC，所以③正确；

∵S△BDG﹣S△CDE=S△BDG﹣S△ADG=S△ADB=

S△ABC．所以④正确．

故选B．

本题考查了旋转的性质：

旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直三角形的性质，特别是斜边上的中线垂直斜边并且等于斜边的一半．

4．如图：

△ABC中，∠ACB=90°

，∠CAD=30°

，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：

①∠ECA=165°

，②BE=BC；

③AD⊥BE；

④

=1．其中正确的是（　　）

等腰直角三角形；

含30度角的直角三角形．4387773

①根据：

∠CAD=30°

，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECA=165°

，从而得证结论正确；

②根据CE⊥CD，∠ECA=165°

，利用SAS求证△ACD≌△BCE即可得出结论；

③根据∠ACB=90°

，AC=BC，利用等腰三角形的性质和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°

，然后即可得出结论；

④过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°

，可得CM=

AC，求证△CMD≌△CND，可得CN=CM=

AC=

BC，从而得出CN=BN．然后即可得出结论．

①∵∠CAD=30°

，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=

（180°

﹣30°

）=75°

∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°

∴∠ECA=165°

∴①正确；

②∵CE⊥CD，∠ECA=165°

（已证），

∴∠BAE=∠ECA﹣∠ACB=165﹣90=75°

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE=BC，∴②正确；

③∵∠ACB=90°

，AC=BC，

∴∠CAB=∠ACB=45°

∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45﹣30=15°

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=30°

∴∠ABF=45+30=75°

∴∠AFB=180﹣15﹣75=90°

∴AD⊥BE．

④证明：

如图，

过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．

∵∠CAD=30°

，且DM=

AC，

∵AC=AD，∠CAD=30°

，∴∠ACD=75°

∴∠NCD=90°

﹣∠ACD=15°

，∠MDC=∠DMC﹣∠ACD=15°

∴△CMD≌△CND，

∴CN=CM=

BC，

∴CN=BN．

∵DN⊥BC，

∴BD=CD．∴④正确．

所以4个结论都正确．

此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题．

5．如图，BC∥AM，∠A=90°

，∠BCD=75°

，点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交CD于F，下列结论：

①∠ADE=45°

，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°

，则CF=DF．其中正确的有（　　）

直角梯形；

等边三角形的性质；

含30度角的直角三角形；

等腰直角三角形．4387773

由BC∥AM得∠CDA=105°

，根据等边三角形的性质得∠CDE=60°

，则∠EDA=105°

﹣60°

=45°

过C作CG⊥AM，则四边形ABCG为矩形，于是∠DCG=90°

﹣∠BCD=15°

，而∠BCE=75°

=15°

，易证得Rt△CBE≌Rt△CGD，则BC=CG，得到AB=BC；

由于AG=BC，而AG≠MD，则CF：

FD=BC：

MD≠1，不能得到F点是CD的中点，根据等边三角形的性质则不能得到

EF⊥CD；

若∠AMB=30°

，则∠CBF=30°

，在Rt△AMB中根据含30度的直角三角形三边的关系得到BM=2AB，则BM=2BC，

易得∠BFC=75°

，所以BF=BC，得MF=BF，由CB∥AM得CF：

FD=BF：

MF=1，即可有CF=DF．

∵BC∥AM，

∴∠BCD+∠CDA=180°

∵∠BCD=75°

∴∠CDA=105°

∵△CDE为等边三角形，

∴∠CDE=60°

∴∠EDA=105°

，所以①正确；

过C作CG⊥AM，如图，

∵∠A=90°

∴四边形ABCG为矩形，

∴∠DCG=90°

而△CDE为等边三角形，

∴∠DCE=60°

，CE=CD，

∴∠BCE=75°

∴Rt△CBE≌Rt△CGD，

∴BC=CG，

∴AB=BC，所以②正确；

∵AG=BC，而AG≠MD，

∴CF：

MD≠1，

∴F点不是CD的中点，

∴EF不垂直CD，所以③错误；

∴在Rt△AMB中，BM=2AB，

∴BM=2BC，

∴∠BFC=180°

﹣75°

=75°

∴BF=BC，

∴MF=BF，

而CB∥AM，

MF=1，

∴CF=FD，所以④正确．

本题考查了直角梯形的性质：

有一组对边平行，另一组对边不平行，且有一个直角．也考查了矩形和等边三角形的性质、含30度的直角三角形三边的关系以及相似三角形的判定与性质．

6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于G．给出四个结论：

①AE=CF；

②EF=AP；

③△EPF是等腰直角三角形；

④∠AEP=∠AGF．其中正确的结论有（　　）

1个

2个

3个

4个

根据等腰直角三角形的性质得：

AP⊥BC，AP=

BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；

∠FPC=∠EPA；

AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确．

∵AB=AC，∠BAC=90°

，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，

∴AP⊥BC，AP=

BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°

=∠C．

∵∠APF+∠FPC=90°

，∠APF+∠APE=90°

∴∠FPC=∠EPA．

∴△APE≌△CPF（ASA）．

∴①AE=CF；

③EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形；

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，

∴AP=

∵EF不是△ABC的中位线，

∴EF≠AP，故②错误；

④∵∠AGF=∠EGP=180°

﹣∠APE﹣∠PEF=180°

﹣∠APE﹣45°

∠AEP=180°

﹣∠APE﹣∠EAP=180°

∴∠AEP=∠AGF．

故正确的有①、③、④，共三个．

因此选C．

此题考查全等三角形的判定和性质，综合性较强．

7．如图，AM、BE是△ABC的角平分线，AM交BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，下列结论：

①BE=EC；

②BF=AE+EF；

③AC=BM+BL；

④∠MAL=

∠ABC，其中正确的结论是（　　）

①④

①②

等腰三角形的判定与性质．4387773

根据角平分线定义求出∠ABE=∠EBC=∠C，根据等角对等边求出BE=CE，即可判断①；

证△ABE∽△ACB，推出AB2=AE×

AC，求出AF2=AB2﹣BF2=AE2﹣EF2，把AB2=AE×

AC代入入上式即可求出BF=AE+EF，即可判断②；

延长AB到N，使BN=BM，连接MN，证△AMC≌△AMN，△AFB≌△BLF，推出AB=BL，即可判断③；

设∠LAC=x°

，∠LAM=y°

，则∠BAM=∠MAC=（x+y）°

，证△AFB≌△BLF推出∠BAF=∠BLF，∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°

+y°

，∠BLA=∠C+∠LAC=∠C+x°

，得出方程x°

=∠C+x°

，求出∠C=2y°

，∠ABC=4y°

，即可判断④．

∵BE是∠ABC的角平分线，

∴∠EBC=∠ABE=

∠ABC，

∵∠ABC=2∠C，

∴∠ABE=∠EBC=∠C，

∴BE=EC，∴①正确；

∵∠ABE=∠ACB，∠BAC=∠EAB

∴△ABE∽△ACB，

∴

=

∴AB2=AE×

在Rt△AFB与Rt△AFE中，由勾股定理得：

AF2=AB2﹣BF2=AE2﹣EF2，

把AB2=AE×

AC代入入上式得：

AE×

AC﹣BF2=AE2﹣EF2，

则BF2=AC×

AE﹣AE2+EF2=AE×

（AC﹣AE）+EF2=AE×

EC+EF2=AE×

BE+EF2，

即（BE﹣EF）2=AE×

∴BE2﹣2BE×

EF+EF2=AE×

EF=AE×

BE，

∴BE﹣2EF=AE，

BE﹣EF=AE+EF，

即BF=AE+EF，∴②正确；

延长AB到N′，使BN=BM，连接MN′，则△BMN′为等腰三角形，

∴∠BN′M=∠BMN′，

△BN′M的一个外角∠ABC=∠BN′M+∠BM′N=2∠BN′M，

则∠BN′M=∠ACB，

在△AMC与△AMN′中

∴△AMC≌△AMN′（AAS），

∴AN′=AC=AB+BN′=AB+BM，

又∵AL⊥BE，

∴∠AFB=∠LFB=90°

在△AFB与△LFB中，

∴△AFB≌△BLF（ASA），

∴AB=BL，

则AN′=AC=AB+BN′=AB+BM=BM+BL，即AC=BM+BL，∴③正确；

∵AM平分∠BAC，

∴∠BAM=∠MAC=（x+y）°

．

∵△AFB≌△BLF，

∴∠BAF=∠BLF，

∵∠BAF=∠BAM+∠MAL=x°

∴x°

∴∠C=2y°

∴∠ABC=4y°

即∠MAL=

∴④正确．

故选C．

本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，角平分线性质，相似三角形的性质和判定等知识点的综合运用．

二．解答题（共8小题）

8．如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．

（1）若∠A=50°

，∠D=30°

，求∠GEF的度数；

（2）若BD=CE，求证：

FG=BF+CG．

等腰三角形的性质；

证明题．

（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠C，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CEG，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CEF，然后计算即可得解；

（2）过点E作EH∥AB交BC于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC=∠EHC，内错角相等可得∠D=∠FEH，然后求出∠EHC=∠C，再根据等角对等边可得EC=EH，然后求出BD=EH，再利用“角角边”证明△BDF和△HEF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=FH，根据等腰三角形三线合一的性质可得CG=HG，即可得证．

（1）解：

∵∠A=50°

∴∠C=

﹣∠A）=

﹣50°

）=65°

∵EG⊥BC，

∴∠CEG=90°

﹣∠C=90°

﹣65°

=25°

∴∠CEF=∠A+∠D=50°

+30°

=80°

∴∠GEF=∠CEF﹣∠CEG=80°

﹣25°

=55°

（2）证明：

过点E作EH∥AB交BC于H，

则∠ABC=∠EHC，∠D=∠FEH，

∴∠ABC=∠C，

∴∠EHC=∠C，

∴EC=EH，

∵BD=CE，

∴BD=EH，

在△BDF和△HEF中，

∴△BDF≌△HEF（AAS），

∴BF=FH，

又∵EC=EH，EG⊥BC，

∴CG=HG，

∴FG=FH+HG=BF+CG．

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，等角对等边的性质，

（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

9．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．

（1）证明：

OB=OC；

（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：

∠OAF的大小不变；

（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标．

非负数的性质：

绝对值；

偶次方；

坐标与图形性质；

（1）根据a=t，b=t，推出a=b即可；

（2）延长AF至T，使TF=AF，连接TC，TO，证△TCF≌△AEF，推出CT=AE，∠TCF=∠AEF，再证△TCO≌△ABO，推出TO=AO，∠TOC=∠AOB，求出△TAO为等腰直角三角形即可；

（3）连接MQ，NQ，BQ，B′Q，过M作MH∥CN交x轴于H，证△NTB′≌△MTH，推出TN=MT，证△NQB′≌△MQB，推出∠NB′Q=∠CBQ，求出△BQB′是等腰直角三角形即可．

∵a，b满足（a﹣t）2+|b﹣t|=0（t＞0）．

∴a﹣t=0，b﹣t=0，

∴a=t，b=t，

∴a=b，

∵B（t，0），点C（0，t）

∴OB=OC；

延长AF至T，使TF=AF，连接TC，TO，

∵F为CE中点，

∴CF=EF，

在△TCF和△AEF中

∴△TCF≌△AEF（SAS），

∴CT=AE，∠TCF=∠AEF，

∴TC∥AD，

∴∠TCD=∠CDA，

∵AB=AE，

∴TC=AB，

∵AD⊥AB，OB⊥OC，

∴∠COB=∠BAD=90°

∴∠ABO+∠ADO=180°

∵∠ADO+∠ADC=180°

∴∠ADC=∠ABC，

∵∠TCD=∠CDA，

∴∠TCD=∠ABO，

在△TCO和△ABO中

∴△TCO≌△ABO（SAS），

∴TO=AO，∠TOC=∠AOB，

∵∠AOB+∠AOC=90°

∴∠TOC+∠AOC=90°

∴△TAO为等腰直角三角形，

∴∠OAF=45°

（3）解：

连接MQ，NQ，BQ，B′Q，过M作MH∥CN交x轴于H，

∵B和B′关于关于y轴对称，C在y轴上，

∴CB=CB′，

∴∠CBB′=∠CB′B，

∵MH∥CN，

∴∠MHB=∠CB′B，

∴∠MHB=∠CBB′，

∴MH=BM，

∵BM=B′N，

∴MH=B′N，

∴∠NB′T=∠MHT，

在△NTB′和△MTH中

∴△NTB′≌△MTH，

∴TN=MT，又TQ⊥MN，

∴MQ=NQ，

∵CQ垂直平分BB′，

∴BQ=B′Q，

∵在∴△NQB′和△MQB中

∴△NQB′≌△MQB（SSS），

∴∠NB′Q=∠CBQ，

而∠NB′Q+∠CB′Q=180°

∴∠CBQ+∠CB′Q=180°

∴∠B′CB+∠B′QB=180°

又∠B′CB=90°

∴∠B′QB=90°

∴△BQB′是等腰直角三角形，

∴OQ=OB=t，

∴Q（0，﹣t）．

本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，相等垂直平分线，偶次方，绝对值等知识点的综合运用．

10．如图1，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC=16．

（1）∠COA的值为　45°

　；

（2）求∠CAB的度数；

（3）如图2，点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点，且OH⊥MN的延长线于H，满足∠HON=∠NMO，请探究两条线段MN、OH之间的数量关系，并给出证明．

坐标与图形性质．4387773

（1）过A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，得出正方形NOMA，根据正方形性质求出∠COA=

∠COB，代入求出即可；

（2）求出CN=BM，证△ANC≌△AMB，推出∠NAC=∠MAB，求出∠CAB=∠NAM，即可求出答案；

（3）求出∠HON=∠NMO=22.5°

，延长OH至点P使PH=OH，连接MP交OA于L，求出∠HON=∠NMO=∠LMN，求出OL=ML，证△OLP≌△MLN，推出MN=OP，即可得出答案．

（1）过A作AN⊥OC于N，AM⊥OB于M，

则∠ANO=∠AMO=∠COB=90°

∵A（4，4），

∴AN=AM=4，

∴四边形NOMA是正方形，

∴∠COA=

∠COB=

90°

故答案为：

45°

（2）∵四边形NOMA是正方形，

∴AM=AN=4，OM=ON=4，

OC×

AN+

OB×

AM=16，

∴OC+OB=8=ON+OM，

即ON﹣OC=OB﹣OM，

∴CN=BM，

在△ANC和△AMB中，

∴△ANC≌△AMB（SAS），

∴∠NAC