空间向量练习及答案解析.docx

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空间向量练习

一、选择题（共15小题，每小题4.0分,共60分）

1.已知平面α的一个法向量是（2，－1,1），α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（　　）

A．（4,2，－2）B．（2,0,4）C．（2，－1，－5）D．（4，－2,2）

2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是（　　）

A．120°B．45°C．150°D．60°

3.已知＝（1,2,3），＝（2,1,2），＝（1,1,2），点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为（　　）

A．B．C．D．

4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是（　　）

A．①B．②C．③D．④

5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是（　　）

A．45°B．60°C．90°D．120°

6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于（　　）

A．a＋b－cB．－a＋b＋cC．a－b＋cD．a＋b－c

7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为（　　）

A．B．C．－D．－

8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小（　　）

A．等于90°B．小于90°C．大于90°D．不确定

9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为（　　）

A．－B．C．－D．

10.已知平面α内两向量a＝（1,1,1），b＝（0,2，－1）且c＝ma＋nb＋（4，－4,1）．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　）

A．－1,2B．1，－2C．1,2D．－1，－2

11.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的正弦值为（　　）

A．23B．73C．32D．37

12.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为（　　）

A．2B．3C．2D．22

13.三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝π3，则二面角A－BD－C的大小为（　　）

A．π3B．2π3C．π3或2π3D．π3或－π3

14.已知AB＝（1,5，－2），BC＝（3,1，z），若AB⊥BC，BP＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则BP等于（　　）

A．407,157,-3B．337,157,-3C．-407,-157,-3D．337,-157,-3

15.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：

①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

二、填空题（共6小题，每小题4.0分,共24分）

16.如图所示，已知正四面体A-BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．

17.已知a＝（3，－2，－3），b＝（－1，x－1,1），且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________．

18.如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为________．

19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．

20.如下图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．

21.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝（2，－1，－4），AD＝（4,2,0），AP＝（－1,2，－1）．对于结论：

①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是____________．

三、解答题（共6小题，每小题11.0分,共66分）

22.如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝12AB＝1，M是PB的中点．

（1）证明：

面PAD⊥面PCD；

（2）求AC与PB所成角的余弦值；

（3）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值．

23.如下图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.

（1）求证：

BC⊥平面PAC；

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

（3）是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？

并说明理由．

24.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F是棱BC，CD的中点，求：

（1）直线DF与B1F所成角的余弦值；

（2）二面角C1－EF－A的余弦值．

25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.

（1）求SA与CD所成的角；

（2）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．

（1）证明B1C1⊥CE；

（2）求二面角B1－CE－C1的正弦值．

27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．

（1）求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；

（2）求二面角F－DE－C的余弦值．

空间向量练习答案解析

1.【答案】D

【解析】　∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵（4，－2,2）＝2（2，－1,1），故选D.

2.【答案】B

【解析】　以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则E（0,0,1），B（1,0,0），C（1,1,0），

＝（1,0，－1），＝（1,1，－1）．

设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），

则即

可取n＝（1,0,1）．又平面EAD的法向量为＝（1,0,0），所以cos〈n，〉＝＝，

故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.

3.【答案】C【解析】　设Q（x，y，z），因Q在上，故有∥，

设＝λ（λ∈R），可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，

则Q（λ，λ，2λ），＝（1－λ，2－λ，3－2λ），

＝（2－λ，1－λ，2－2λ），所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，

故当λ＝时，·取最小值，此时Q.

4.【答案】C

【解析】　如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D（1,0,0），

B（－1,0,0），C（0,0,1），A（0,1,0），所以＝（0，－1,1），＝（2,0,0），·＝0，

故AC⊥BD.①正确．

又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．

对于③，为面BCD的一个法向量，

cos〈，〉＝＝＝＝－.

所以AB与OA所在直线所成的角为45°，

所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．

又cos〈，〉＝＝＝－.

因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．

5.【答案】B

【解析】　不妨设AB＝BC＝AA1＝1，

则＝－＝（－），＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，

·＝（－）·（＋）＝，∴cos〈，〉＝＝＝，

∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.

6.【答案】B

【解析】　＝－＝（＋）－＝b＋c－a.

7.【答案】A

【解析】　∵A（2,2,0），B1（2,0,2），E（0,1,0），D1（0,2,2），

∴＝（0，－2,2），＝（0,1,2），∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，

∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，

∴AB1与ED1所成角的余弦值为.

8.【答案】A

【解析】　A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，

·＝（＋）·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.

9.【答案】B

【解析】　不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,1），S（0,0,0），

M，N.

因为＝，＝，

所以||＝，||＝，·＝－，

cos〈，〉＝＝－，

因为异面直线所成的角为锐角或直角，

所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.

10.【答案】A

【解析】　c＝ma＋nb＋（4，－4,1）＝（m，m，m）＋（0,2n，－n）＋（4，－4,1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－n＋1），

由c为平面α的法向量，得即解得

11.【答案】A

【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB＝90°，所以分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，

设CA＝CB＝a，则A（a,0,0），B（0，a,0），A1（a,0,2），D（0,0,1），

∴Ea2,a2,1，Ga3,a3,13，GE＝a6,a6,23，BD＝（0，－a,1），

∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，

∴GE⊥平面ABD，∴GE·BD＝0，解得a＝2，∴GE＝13,13,23，BA1＝（2，－2,2），

∵GE⊥平面ABD，∴GE为平面ABD的一个法向量，

又cos〈GE，BA1〉＝GE·BA1GEBA1＝4363×2＝23，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为23，故选A.

12.【答案】A

【解析】如下图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C（0,0,0），A（1,0,0），B1（0,2,2），C1（0,0,2）

设AD＝a，则D点坐标为（1,0，a），CD＝（1,0，a），CB1＝（0,2,2），设平面B1CD的一个法向量为m＝（x，y，z），

则m·CB1=0,m·CD=0⇒2y+2z=0,x+az=0,令z＝－1，

得m＝（a,1，－1），又平面C1DC的一个法向量为n＝（0,1,0），

则由cos60°＝m·nmn，得1a2+1＝12，即a＝2，故AD＝2.

13.【答案】C

【解析】如图所示，当二面角A－BD－C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝π3；当二面角A－BD－C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－π3＝2π3.

14.【答案】D

【解析】因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，即1×3＋5×1＋（－2）z＝0，所以z＝4，

因为BP⊥平面ABC，所以BP⊥AB，且BP⊥BC，即1×（x－1）＋5y＋（－2）×（－3）＝0，

且3（x－1）＋y＋（－3）×4＝0.解得x＝407，y＝－157，于是BP＝337,-157,-3.

15.【答案】C

【解析】因为A1M＝A1A＋AM＝A1A＋12AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋12AB，

所以A1M∥D1P，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．

又B1Q与D1P不平行，故②不正确．故选C.

16.【答案】　

【解析】　＝＋＝＋，＝＋＝＋，

所以cos〈，〉＝＝＝＝.

17.【答案】　B

【解析】　若两向量的夹角为钝角，则a·b＜0，且a与b不共线，故3×（－1）＋（－2）×（x－1）＋（－3）×1＜0，且x≠，解得x＞－2，且x≠，故选B.

18.【答案】　

【解析】　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则E（0,0,1），F（1,2,0），B（2,0,0），D（0,2,0）．

＝（1,2，－1），＝（－2,2,0），故cos〈，〉＝＝.

19.【答案】217

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则A32,12,0，B（0,1,0），B1（0,1,1），C1（0,0,1），则C1A＝32,12,-1，C1B1＝（0,1,0），C1B＝（0,1，－1），设平面ABC1的一个法向量为n＝（x，y,1），

则有C1A·n=32x+12y-1=0,C1B·n=y-1=0.解得n＝33,1,1，

则所求距离为C1B1·nn＝113+1+1＝217.

20.【答案】（1,1,1）

【解析】设PD＝a（a＞0），则A（2,0,0），B（2,2,0），P（0,0，a），E1,1,a2.∴DP＝（0,0，a），AE＝-1,1,a2，

∵cos〈DP，AE〉＝33，∴a22＝a2+a24·33，∴a＝2.∴E的坐标为（1,1,1）．

21.【答案】①②③

【解析】由于AP·AB＝－1×2＋（－1）×2＋（－4）×（－1）＝0，

AP·AD＝4×（－1）＋2×2＋0×（－1）＝0，所以①②③正确．

22.【答案】因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，

则各点坐标为A（0,0,0），B（0,2,0），C（1,1,0），D（1,0,0），P（0,0,1），M0,1,12，

（1）∵AP＝（0,0,1），DC＝（0,1,0），故AP·DC＝0，∴AP⊥DC，∴AP⊥DC，

又由题设知：

AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，

由此得DC⊥面PAD，又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD；

（2）∵AC＝（1,1,0），PB＝（0,2，－1），

∴|AC|＝2，|PB|＝5，AC·PB＝2，∴cos〈AC，PB〉＝105，

由此得AC与PB所成角的余弦值为105；

（3）在MC上取一点N（x，y，z），则存在λ∈R，使NC＝λMC，NC＝（1－x,1－y，－z），MC＝1,0,-12，

∴x＝1－λ，y＝1，z＝12λ.

要使AN⊥MC，只需AN·MC＝0，即x－12z＝0，解得λ＝45，

可知当λ＝45时，N点坐标为15,1,25，能使AN·MC＝0，

此时，AN＝15,1,25，BN＝15,-1,25，

由AN·MC＝0，BN·MC＝0，得AN⊥MC，BN⊥MC，

∴∠ANB为所求二面角的平面角，

∵|AN|＝305，|BN|＝305，AN·BN＝－45，∴cos〈AN，BN〉＝－23，

故所求的二面角的余弦值为－23.

23.【答案】以A为原点，AB，AP分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，

设PA＝a，由已知可得：

A（0,0,0），B（0，a，0），C34a,34a,0，P（0,0，a）．

（1）AP＝（0,0，a），BC＝34a,-a4,0，∴BC·AP＝0，∴BC⊥AP，∴BC⊥AP，

又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，∴D0,a2,a2，E38a,38a,a2，

∴由

（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵AD＝0,a2,a2，AE＝38a,38a,a2，∴cos∠DAE＝AD·AEADAE＝144，

∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为24.

（3）∵DE∥BC，又由

（1）知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，

∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，

故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．

24.【答案】如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0,2,0），E（2,1,0），F（1,2,0），B1（2,0,2），C1（2,2,2），

（1）因为DE＝（2，－1,0），B1F＝（－1,2，－2），

所以cos〈DE，B1F〉＝DE·B1FDEB1F＝-435＝－4515，

所以直线DE与B1F所成角的余弦值为4515；

（2）因为C1E＝（0，－1，－2），EF＝（－1,1,0），

设平面C1EF的一个法向量为n＝（x，y,1），

则由n·C1E=0,n·EF=0,可得-y-2=0,-x+y=0,

解得x＝y＝－2，所以n＝（－2，－2,1），又AA1＝（0,0,2）是平面AEF的一个法向量，

所以cos〈AA1，n〉＝n·AA1nAA1＝22×3＝13，

观察图形，可知二面角C1－EF－A为钝角，所以二面角C1－EF－A的余弦值为－13.

25.【答案】

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则B（0,0,0），S（0,0,1），A（1,0,0），C（0,2,0），D（1,1,0），SA＝（1,0，－1），

CD＝（1，－1,0），

因为cos〈SA，CD〉＝SA·CDSACD＝12，所以SA与CD所成的角为60°；

（2）设平面SCD的法向量为n1＝（x，y，z），

又SC＝（0,2，－1），n1·SC=0,n1·CD=0,所以2y-z=0,x-y=0,

令x＝1，则n1＝（1,1,2），因为BC⊥平面SAB，

所以平面SAB的一个法向量为n2＝（0,1,0），cos〈n1，n2〉＝66，

所以平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为66.

26.【答案】如下图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0,0,0），B（0,0,2），C（1,0,1），B1（0,2,2），C1（1,2,1），E（0,1,0）．

（1）易得B1C1＝（1,0，－1），CE＝（－1,1，－1），于是B1C1·CE＝0，所以B1C1⊥CE；

（2）B1C＝（1，－2，－1），设平面B1CE的法向量m＝（x，y，z），则m·B1C=0,m·CE=0,即x-2y-z=0,-x+y-z=0,

消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝（－3，－2,1），

由

（1），B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故B1C1＝（1,0，－1）为平面CEC1的一个法向量，于是cos〈m，B1C1〉＝m·B1C1mB1C1＝-414×2＝－277，从而sin〈m，B1C1〉＝217，所以二面角B1－CE－C1的正弦值为217.

27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则D（0,0,0），A（2,0,0），C（0,2,0），B（2,2,0），E（1,2,0），F（0,2,2），

（1）EF＝（－1,0,2），易得平面ABCD的一个法向量为n＝（0,0,1），

设EF与n的夹角为θ，则cosθ＝EF·nEFn＝255，∴EF与平面ABCD

所成的角的余弦值为255；

（2）EF＝（－1,0,2），DF＝（0,2,2），设平面DEF的一个法向量为m，则m·DF＝0，m·EF＝0，

可得m＝（2，－1,1），∴cos〈m，n〉＝m·nmn＝66，∴二面角F－DE－C的余弦值为66.

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