高考数学浙江二轮复习练习第二板块 高考仿真模拟练一三Word文件下载.docx

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∴实数m的取值范围为（－∞，－3]，故选A.

6．在等比数列{an}中，“a4，a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是“a8＝±

1”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

选A　由根与系数的关系可知a4＋a12＝－3，a4a12＝1，所以a4<

0，a12<

0，则在等比数列{an}中，a8＝a4q4<

0，所以a8＝－＝－1.在常数列an＝1或an＝－1中，a4，a12不是所给方程的两根．则在等比数列{an}中，“a4，a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是“a8＝±

1”的充分不必要条件．

7．设函数f（x）的导数为f′（x），若f（x）为偶函数，且在（0,1）上存在极大值，则f′（x）的图象可能为（　　）

选C　根据题意，若f（x）为偶函数，则其导数f′（x）为奇函数，结合函数图象可以排除B、D，又由函数f（x）在（0,1）上存在极大值，则其导数图象在（0,1）上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意．

8．设x，y，z为大于1的正数，且log2x＝log3y＝log5z，则x

，y

，z

中最小的是（　　）

A．x

B．y

C．z

D．三个数相等

选C　令log2x＝log3y＝log5z＝k（k>

0），

则x＝2k，y＝3k，z＝5k，

所以x

＝2

＝3

，z

＝5

.

对以上三式两边同时乘方，

则（x

）

＝215，（y

＝310，（z

＝56，

显然z

最小，故选C.

9．将函数f（x）＝2sin（ω>

0）的图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，则ω的最大值为（　　）

A．3B．2

C.D．

选B　由题意可知g（x）＝2sin＝2sinωx（ω>

0），由y＝g（x）在上为增函数，得≤，ω≤2，所以ω的最大值为2.

10．已知单位向量e1与e2的夹角为，向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为，则λ＝（　　）

A．－B．－3

C．－或－3D．－1

选B　因为e1·

e2＝|e1|·

|e2|·

cos＝，

所以|e1＋2e2|＝＝，

|2e1＋λe2|＝＝，

（e1＋2e2）·

（2e1＋λe2）＝2e＋（λ＋4）e1·

e2＋2λe＝4＋λ，

又向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为，

所以＝＝－，

解得λ＝－3.

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11．已知三棱锥OABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB＝6，BC＝2，AC＝4，则三棱锥OABC的体积为___________．

∵AB＝6，BC＝2，AC＝4，

∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC.

取AC的中点O1，连接OO1，BO1，

则O1为△ABC外接圆的圆心，

∴OO1⊥平面ABC，∴OO1⊥BO1.

∵OB＝4，BO1＝2，

∴OO1＝＝2.

∴三棱锥OABC的体积V＝×

6×

2×

2＝4.

答案：

4

12．已知a，b∈R，（a＋bi）2＝3＋4i（i是虚数单位）则a2＋b2＝______，ab＝________.

由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i，

则解得则a2＋b2＝5，ab＝2.

5　2

13．已知△ABC和点M，满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m成立，则点M是△ABC的________，实数m＝________.

由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心．设点D为底边BC的中点，则＝＝×

（＋）＝（＋），所以有＋＝3，故m＝3.

重心　3

14.三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×

勾×

股＋（股－勾）2＝4×

朱实＋黄实＝弦实，化简，得勾2＋股2＝弦2，设勾股中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为__________．

设勾为a，则股为a，∴弦为2a，

则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为（－1）2a2＝（4－2）a2，

则图钉落在黄色图形内的概率为＝1－.

所以落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134.

134

15．在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BCD的面积为______，cos∠BDC＝__________.

取BC的中点E，连接AE，由题意知AE⊥BC，

在△ABE中，cos∠ABC＝＝，

∴cos∠DBC＝－，sin∠DBC＝＝，

∴S△BCD＝×

BD×

BC×

sin∠DBC＝.

∵∠ABC＝2∠BDC，

∴cos∠ABC＝cos2∠BDC＝2cos2∠BDC－1＝，

解得cos∠BDC＝或cos∠BDC＝－（舍去）．

综上可得，△BCD面积为，cos∠BDC＝.

16．已知函数f（x）＝则f（f（4））＝______；

f（x）的最大值是__________．

因为函数f（x）＝

所以f（4）＝1－＝－1，f（f（4））＝f（－1）＝2－1＝.

当x≥0时，f（x）＝1－单调递减，即有f（x）≤1；

当x<

0时，f（x）＝2x∈（0,1）．

综上可得，当x＝0时，f（x）取得最大值1.

故f（f（4））＝；

f（x）的最大值是1.

　1

17．对于函数f（x）＝下列5个结论正确的是__________（填序号）．

①任取x1，x2∈[0，＋∞），都有|f（x1）－f（x2）|≤2；

②函数y＝f（x）在[4,5]上单调递增；

③f（x）＝2kf（x＋2k）（k∈N*），对一切x∈[0，＋∞）恒成立；

④函数y＝f（x）－ln（x－1）有3个零点；

⑤若关于x的方程f（x）＝m（m<

0）有且只有两个不同的实根x1，x2，则x1＋x2＝3.

由题意，得f（x）＝的图象如图所示．

由图象可知f（x）max＝1，f（x）min＝－1，

则任取x1，x2∈[0，＋∞），都有

|f（x1）－f（x2）|≤|f（x）max－f（x）min|＝2，

故①正确；

函数y＝f（x）在[4,5]上先增后减，故②错误；

当x∈[0,2]时，f（x＋2k）＝f（x＋2k－2）＝f（x＋2k－4）＝…＝f（x），

即f（x）＝2kf（x＋2k），x∈N*，故③错误；

在同一坐标系中作出y＝f（x）和y＝ln（x－1）的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，

即函数y＝f（x）－ln（x－1）有3个零点，故④正确；

在同一坐标系中作出y＝f（x）和y＝m的图象，由图象可知当且仅当－1<

m<

－时，关于x的方程f（x）＝m（m<

0）有且只有两个不同的实根x1，x2，且x1，x2关于x＝对称，即x1＋x2＝3，故⑤正确．

①④⑤

三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝sin2x＋cos2x＋a（a为常数）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若f（x）在上有最小值1，求a的值．

解：

（1）f（x）＝2＋a＝2sin＋a，

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z.

（2）当0≤x≤时，≤2x＋≤，

则－≤sin≤1.

∴当x＝时，f（x）取得最小值为a－1＝1.

∴a＝2.

19．（本小题满分15分）如图，已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°

，AB＝EC＝2，AE＝BE＝.

（1）求证：

平面EAB⊥平面ABCD；

（2）求二面角AECD的余弦值．

（1）证明：

取AB的中点O，连接EO，CO.

∵AE＝EB＝，AB＝2，

∴△AEB为等腰直角三角形，

∴EO⊥AB，EO＝1.

又∵AB＝BC，∠ABC＝60°

，

∴△ACB是等边三角形，

∴CO＝，又EC＝2，

∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO.

∵AB∩CO＝O，∴EO⊥平面ABCD.

又EO⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD.

（2）以AB中点O为坐标原点，以OC，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，－1,0），C（，0,0），D（，－2,0），E（0,0,1），

∴＝（，1,0），＝（，0，－1），＝（0,2,0）．

设平面DCE的法向量n＝（x，y,1），

则即解得

∴n＝.

设平面EAC的法向量m＝（a，b,1），

∴m＝.

∴cos〈m，n〉＝＝.

由图知，二面角AECD为锐角，

∴二面角AECD的余弦值为.

20．（本小题满分15分）已知函数f（x）＝lnx－，g（x）＝f（x）＋ax－6lnx，其中a∈R.

（1）当a＝1时，判断f（x）的单调性；

（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．

（1）由f（x）＝lnx－得定义域为（0，＋∞），f′（x）＝.

当a＝1时，f′（x）＝>

0,

所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

（2）由已知得，g′（x）＝.

因为g（x）在其定义域内为增函数，

所以∀x∈（0，＋∞），

g′（x）≥0，即ax2－5x＋a≥0，即a≥.

而≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，

所以a≥.

即实数a的取值范围为.

21．（本小题满分15分）已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）经过点P，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）动直线l：

mx＋ny＋n＝0（m，n∈R）交椭圆C于A，B两点，试问：

在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T.若存在，求出点T的坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）∵椭圆C：

0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴a＝b，∴＋＝1，

又∵椭圆经过点P，代入可得b＝1.

∴a＝，故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.

mx＋ny＋n＝0可化为mx＋n＝0，当x＝0时，y＝－，所以动直线l恒过点.

当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为

x2＋2＝2，

当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程为

x2＋y2＝1.

由解得

即两圆相切于点（0,1），因此所求的点T如果存在，只能是（0,1），事实上，点T（0,1）就是所求的点．

证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0,1），

当直线l不垂直于x轴，可设直线l：

y＝kx－.

由消去y，得（18k2＋9）x2－12kx－16＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝，x1x2＝，

又因为＝（x1，y1－1），＝（x2，y2－1），

所以·

＝x1x2＋（y1－1）（y2－1）

＝x1x2＋

＝（1＋k2）x1x2－k（x1＋x2）＋

＝（1＋k2）·

－k·

＋＝0.

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0,1）．

所以在坐标平面上存在一个定点T（0,1）满足条件．

22．（本小题满分15分）数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝4－（n∈N*）．

（1）求a3的值；

（2）求数列{an}前n项和Tn；

（3）令b1＝a1，bn＝＋an（n≥2），证明：

数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<

2＋2lnn.

（1）∵3a3＝（a1＋2a2＋3a3）－（a1＋2a2）＝4－－＝，

∴a3＝.

（2）由题意知，当n≥2时，nan＝（a1＋2a2＋…＋nan）－＝4－－＝，

∴an＝n－1，

又a1＝4－＝1也适合此式，

∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，

故Tn＝＝2－n－1.

（3）证明：

由bn＝＋an，知b1＝a1，b2＝＋a2，b3＝＋a3，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（a1＋a2＋…＋an）＝Tn＝·

<

记f（x）＝lnx＋－1（x>

1），

则f′（x）＝－＝>

0，

∴f（x）在（1，＋∞）上是增函数，

又f

（1）＝0，∴f（x）>

又k≥2且k∈N*时，>

1，

∴f＝ln＋－1>

0，即ln>

∴<

ln，<

ln，…，<

ln，

即有＋＋…＋<

ln＋ln＋…＋ln＝lnn，

∴2×

2＋2lnn，

即Sn<

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（二）

1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（　　）

A．（1,2）　　　　　　　B．（2，＋∞）

C．（1，＋∞）D．[1,2）

选A　∵A＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1,2），故选A.

2．已知α，β∈R，则“α>

β”是“cosα＞cosβ”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

选D　因为当α＝＞β＝时，cosα＞cosβ不成立；

当cos＞cos时，α＞β不成立，所以“α＞β”是“cosα＞cosβ”的既不充分也不必要条件，故选D.

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．＋πB．＋π

C．D．

选A　由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为×

12×

2＝π，四棱锥的体积为×

1＝，所以该几何体的体积为＋π，故选A.

4．若实数x，y满足约束条件则z＝2x＋y的取值范围是（　　）

A．[3,4]B．[3,12]

C．[3,9]D．[4,9]

选C　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

由得A（1,1）；

由得B（3,3），平移直线y＝－2x＋z，当直线经过A，B时分别取得最小值3，最大值9，故z＝2x＋y的取值范围是[3,9]，故选C.

5．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，bn＝2an，数列{bn}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（　　）

A．A＋B＝CB．B2＝AC

C．（A＋B）－C＝B2D．（B－A）2＝A（C－B）

选D　∵{an}是公差不为0的等差数列，∴{bn}是以公比不为1的等比数列，由等比数列的性质，可得A，B－A，C－B成等比数列，∴（B－A）2＝A（C－B），故选D.

6.已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（　　）

选C　由导函数的图象可知，函数y＝f（x）先减再增，可排除选项A、B，又知f′（x）＝0的根为正，即y＝f（x）的极值点为正，所以可排除D，故选C.

7．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A.B．

C.D．

选B　设正方形的边长为2m，

∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m＞c，

又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1上，

∴＋＝1≥＋＝e2＋，

即e4－3e2＋1≥0，e2≤＝2，∴0＜e＜.

8.已知△ABC的边BC的垂直平分线交BC于Q，交AC于P，若||＝1，||＝2，则·

的值为（　　）

A．3B．

选B　因为BC的垂直平分线交AC于P，

＝0，

＝（＋）·

＝·

＋·

＝（＋）（－）

＝（2－2）

＝.

9．已知函数f（x）＝x|x|，则下列命题错误的是（　　）

A．函数f（sinx）是奇函数，且在上是减函数

B．函数sin（f（x））是奇函数，且在上是增函数

C．函数f（cosx）是偶函数，且在（0,1）上是减函数

D．函数cos（f（x））是偶函数，且在（－1,0）上是增函数

选A　∵函数f（x）＝x|x|，

∴f（sinx）＝sinx|sinx|

＝

∵y＝cos2x在上递减，在上递增，

∴y＝f（sinx）在上是增函数，

∴命题“函数f（sinx）是奇函数，且在上是减函数”错误，同理：

可验证B、C、D均正确，故选A.

10.如图，在正四面体ABCD中，P，Q，R在棱AB，AD，AC上，且AQ＝QD，＝＝，分别记二面角APQR，APRQ，AQRP的平面角为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（　　）

A．β＞γ＞αB．γ＞β＞α

C．α＞γ＞βD．α＞β＞γ

选D　在正四面体ABCD中，P，Q，R在棱AB，AD，AC上，且AQ＝QD，＝＝，可得α为钝角，β，γ为锐角，设P到平面ACD的距离为h1，P到QR的距离为d1，Q到平面ABC的距离为h2，Q到PR的距离为d2，设正四面体的高为h，可得h1＝h，h2＝h，h1＜h2，由余弦定理可得QR＜PR，由三角形面积相等可得到d1＞d2，所以可以推出sinγ＝＜＝sinβ，所以γ＜β，所以α＞β＞γ，故选D.

11．若复数z＝4＋3i，其中i是虚数单位，则|z|＝________.

∵复数z＝4＋3i，

∴|z|＝＝5.

5

12．若双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为，则该双曲线的标准方程为__________，渐近线方程为__________．

∵2a＝4，∴a＝2，又∵离心率＝，∴c＝2，∴b＝＝2，∴双曲线的标准方程为－＝1，渐近线方程为y＝±

x＝±

x.

－＝1　y＝±

x

13．已知直线l：

x－y＝0与圆C：

（x－2）2＋y2＝4交于O，A两点（其中O是坐标原点），则圆心C到直线l的距离为__________，点A的横坐标为__________．

∵圆C：

（x－2）2＋y2＝4，∴C（2,0），由点到直线的距离公式可得C到直线l的距离为d＝＝1，由得O（0,0），A（3，），点A的横坐标为3.

1　3

14.如图，四边形ABCD中，△ABD、△BCD分别是以AD和BD为底边的等腰三角形，其中AD＝1，BC＝4，∠ADB＝∠CDB，则BD＝__________，AC＝__________.

设∠ADB＝∠CDB＝θ，在△ABD中，BD＝，在△CBD中，BD＝8cosθ，可得cosθ＝，BD＝2，cos2θ＝2cos2θ－1＝－，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·

CDcos2θ＝24，解得AC＝2.

2　2

15．已知2a＋4b＝2（a，b∈R），则a＋2b的最大值为__________．

由2a＋4b＝2a＋22b＝2≥2，得2a＋2b≤1＝20，a＋2b≤0，当且仅当a＝2b时等号成立，所以a＋2b的最大值为0.

16．设向量a，b，且|a＋b|＝2|a－b|，|a|＝3，则|b|的最大值是__________；

最小值是__________．

设|b|＝t，a，b的夹角为θ，由|a＋b|＝2|a－b|，可得|a＋b|2＝4|a－b|2,9＋t2＋

6tcosθ＝4（9＋t2－6tcosθ），化简得t2－10tcosθ＋9＝0，可得t2－10t＋9≤0,1≤t≤9，即|b|的最大值是9，最小值是1.

9　1

17．已知函数f（x）＝＋－a有六个不同零点，且所有零点之和为3，则a的取值范围为__________．

根据题意，有f（x）＝f（m－x），于是函数f（x）关于x＝m对称，结合所有的零点的平均数为，可得m＝1，此时问题转化为函数g（x）＝＋在上与直线y＝a有3个公共点，此时g（x）＝当<

x<

1时，函数g（x）的导函数g′（x）＝－＋>

0，于是函数g（x）单调递增，且取值范围是（5，＋∞），当x>

1时，函数g（x）的导函数g′（x）＝2－－，考虑到g′（x）是（1，＋∞）上的单调递增函数，且

g′（x）＝－∞，

g′（x）＝2，于是g′（x）在（1，＋∞）上有唯一零点，记为x0，进而函数g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，在x＝x0处取得极小值n，作出函数f（x）的图象如图所示．

接下来问题的关键是判断n与5的大小关系，因为g′＝2－－4<

0，所以n≤g＝＋＋＋2＝<

5，若函数g（x）＝＋在上与直线y＝a有3个公共点，则a的取值范围是（5，＋∞）．

（5，＋∞）

18．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝4cosxcos＋1.

（1）求f的值；

（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

（1）f＝4coscos＋1＝4coscos＋1＝4×

＋1＝－2.

（2）