高等数学同济五版第三章微分中值定理与导数的应用练习题册文档格式.docx
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的充分条件，也不是
的必要条件.
答：
（
）
2.设f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导,
则
在（a,b）内，f（x）
0与：
在[a,b]
上f（x）
f（a）之间的关系是
是的充分但非必要条件.
的必要但非充分条件.
是的充分必要条件.
三、不用求出函数f（x）（x1）（x
2）（x
3）（x
4）的导数，说明方程
0有几个
实根.
四、试证明下列各题
3•设0ab,f（x）在［a,b］上可导，试证明存在
（a
b）,使
X3b，证明：
在（Xi,X3）内至少有一点，使f（）0.
f（b）f（a）f（）ln—.a
第二节洛必达法则
、选择题（单选）
设f（X）,
g（x）在X0的某去心邻域内可导，g（x）0，且适合limf（x）0及
xx0
limg（x）
0，贝V:
limf（x）与：
limf（x）的关系是
xxo
xx0g（x）
xx0g（x）
（A）是
的充分但非必要条件；
（B）
是的必要但非充分条件；
（C）是
的充分必要条件；
（D）
不是的充分条件，也不是
、试解下列各题
xa
ax
1.lim（a>
0,a1）-
xaxa
11
2.lim
（二）-
3.
^2
tan（ex2
tanx
ex24）
tan2
x0xxtanx
sinx
4.limx
x0
5.lim
xsinxaa
6.lim2—（a>
0）.
7•设函数f（x）具有二阶导数，且
f（0）0,f（0）1,f（0）
2.试求lim
f（x）
x2
x0xsinx
第三节泰勒公式
函数ax（a0,a1）的n阶麦克劳林多项式Pn（x）
1•将函数f（x）x3x2x4在点x1处展成二阶、三阶的泰勒公式，并写出相应的拉格朗日型余项.
x
2.求函数f（x）xe的n阶麦克劳林公式.
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
3
1.函数f（x）xxsinx在区间单调增加.
2•设yf（x）在（,）上可导，且f（x）4e，则yf（x）是在（,）
1x
上的单调函数.
3•曲线yx2ex在区间是凹的（即向上凹）•
f（x）g（x）；
f（b）g（b）；
x（a,b）时有不等式
（A）器器
（C）f（x）g（x）f（a）g（a）;
（D）f（x）g（x）f（b）g（b）.
（）
2.使不等式arctanxx成立的最大范围是
答:
8
、确定函数y2x（x0）的单调区间.
1
1.证明：
当x0时，1x1x.
2
1
五、判定曲线yx（x0）的凹凸性.
六、设f（x）为二阶可导函数，f（x）0,且曲线y...f（x）有拐点P，试证P点的横坐
标满足[f（x）]22f（x）f（x）.
第五节函数的极值与最大值最小值
1•若f（x）在含有Xo的（a,b）（其中ab）上有恒负的二阶导数，且，则
f（xo）是f（x）在（a,b）上的最大值.
2•函数f（x）81nxx在（0,）上的最大值是
1.下列有关极值的命题中，正确的是
（A）若yf（x）在xx0处有f（x0）0,则f（x）在xx0必取得极值；
（B）极大值一定大于极小值；
（C）若可导函数yf（x）在xXo处取得极值，则必有f（X。
）0；
（D）极大值就是最大值.
f（x）f（x°
）且
2.设lim21,且
xx（xX。
（A）f（X°
）是f（x）的最大值；
（C）f（X0）是f（x）的极小值；
（B）f（X。
）是f（x）的极大值;
（D）f（x°
）不是f（x）的极值.
3.设g（x）在（，
）严格单调减，又
g[f（x）]在x
X0处有极大值；
g[f（x）]在x
X0处有最小值；
f（x）在XX0处有极大值，则必有
（B）g[f（x）]在xX0处有极小值；
（D）g[f（x）]在xx0既无极值也无最小值.
32
四、设f（X）在（
）内可微，证明：
当
（X）少在Xa
0处有极值时，曲线
、求函数y2x6x18x7的极值.
yf（x）在xa的切线必过原点.
五、试解下列各题
1.求函数yx-.Ix在［5,1］上的最大值、最小值.
现有存砖只够砌20米长的墙壁.
问应围成怎样的长
3.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,方形才能使这间小屋的面积最大？
六、证明：
当x1时，ex1ln（1x）.
第六节函数图形的描绘
填空题
1.曲线y
2的渐近线方程是
2.曲线yx
In（x1）的铅直渐近线为
第七节
曲率
1•设函数y
f（x）二阶可导，且有拐点（xo,
f（x。
）），则曲线yf（x）在此拐点处的曲率
为.
2•抛物线yx24x3在顶点处的曲率为
第三章自测题
、填空题（每小题5分，共20分）
xelim
2.ex的n阶麦克劳林多项式是
3•曲线y2lnxx21的拐点坐标是
二、选择题（单选）（每小题5分，共20分）：
1.下列命题正确的是:
若函数f（x）满足f（X。
）0,f（X。
）0,则f（x）在Xo取得极值;
2.
当f（Xo）0时，点（Xo,f（Xo））为曲线的拐点;
可微分函数f（X）在区间I上是单调增的，则f（X）0；
设f（x）x3x6x1,则f（x）0在（0,1）内实根不唯一.
xsinx占户
极限lim的值为:
X
xsinx
1；
（B）1
（C）0；
（D）不存在.
设函数
f（X）
ax2bx在x
1处有极小值
2，则必有:
4,b
1；
（B）a4,
b7；
（C）a
0,b
3；
2•2
xsin
4.
极限limx的值是:
（A）1；
（B）2；
（C）不存在;
x0tanx
三、试解下列各题（每小题10分，共40分）:
2x2
1Xe
1.lim3
x0xsin2x
lim沁
1cosx
3.求f（x）ex（x1）在［1,3］上的最大值与最小值.
4.求曲线yarctanxx的凸凹区间.
四、证明：
当x0时，ln（1x）arctanx（10分）.
五、证明4ax33bx22cxabc在区间（0,1）内至少有一实根，其中a,b,c均为
常数（10分）．
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