全国研究生数学建模E题论文(一等奖)论文.docx

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2020全国研究生数学建模E题论文（一等奖）论文

篇一：

年数学建模国家一等奖优秀论文

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和

《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛

章程和参赛规则"，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式

（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人

（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，

如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的

资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞

赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，

我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员（打印并签名）:

1.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容

请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误,论文可能被取消评奖资格。

）

日期：

年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

创意平板折叠桌

摘要

目前住宅空间的紧张导致越来越多的折叠家具的出现。

某公司设计制作了一款折叠桌以满足市场需要。

以此折叠桌为背景提出了三个问题，本文运用几何知识、非线性约束优化模型等方法成功解决了这三个问题，得到了折叠桌动态过程的描述方程以及在给定条件下怎样选择最优设计加工参数，并针对任意形状的桌面边缘线等给出了我们的设计。

针对问题一，根据木板尺寸、木条宽度，首先确定木条根数为19根，接着，根据桌子是前后左右对称的结构，我们只以桌子的四分之一为研究对象，运用空间几何的相关知识关系，推导并建立了几何模型。

接着用MATLAB软件编程,绘制出折叠桌动态变化过程图。

然后求出折叠桌各木条相对桌面的角度、各木条长度、各木条的开槽长度等数据，相关结果见表1。

然后建立相应的三维坐标系，求出桌角各端点坐标，绘出桌角边缘线曲线图，并用MATLAB工具箱作拟合，求出桌角边缘线的函数关系式，并对拟合效果做分析（见表3）。

针对问题二，在折叠桌高度、桌面直径已知情况下，综合考虑桌子稳固性、加工方便、用材最少三个方面因素，我们运用材料力学等相关知识，对折叠桌作受力分析，确定稳固性、加工方便、用材最少三个方面因素间的相互制约关系，建立非线性优化模型。

用lingo软件编程，求出对于高70cm,桌面直径80cm的折叠桌，平板尺寸172.24cmX80cmX3cm.钢筋位置在桌腿上距离较链46.13cm处、各木条的开槽长度（见表3）、最长木条（桌脚）与水平面夹角71.934°。

针对问题三，对任意给出的桌面边缘线（f（x））,不妨假定曲线是对称的（否则，桌子的稳定性难以保证），将对称轴上n等份，依照等份点沿着木板较长方向平行的方向下料，则这些点即是较接处到木板中垂线（相对于木板长方向）的距离。

然后修改问题二建立的优化模型，用lingo软件编程，得到最优设计加工参数（平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等）。

最后，我们根据所建立的模型，设计了一个桌面边缘线为椭圆的折叠桌，并且给出了8个动态变化过程图（见图10）和其具体设计加工参数（见表5）。

最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。

关键字：

折叠桌曲线拟合非线性优化模型受力分析一、问题重述

1.1引言

创意平板折叠桌注重于表达木制品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。

为了增大有效使用面积。

设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面，又将木板剩余的面积切割成了若干个长短不一的木条，每根木条的长度为平板宽到圆上一点的距离，分别用两根钢筋贯穿两侧的木条，使用者只需提起木板的两侧，便可以在重力的作用下达到自动升起的效果，相互对称的木条宛如下垂的桌布，精密的制作工艺配以质朴的木材，让这件工艺品看起来就像是工业革命时期的机器。

1.2问题的提出

围绕创意平板折叠桌的动态变化过程、设计加工参数，本

文依次提出如下问题:

（1） 给定长方形平板尺寸（120cmX50cmX3cm）,每根木条宽度（2.5cm）,连接桌腿木条的钢筋的位置，折叠后桌子的高度（53cm）o要求建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

（2） 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。

（3） 给出软件设计的数学模型，可以根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，并根据所建立的模型给出几个设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

一、模型假设

（1） 忽略实际加工误差对设计的影响；

（2） 木条与圆桌面之间的交接处缝隙较小，可忽略；（3）钢筋强度足够大，不弯曲；（4）假设地面平整。

三、符号说明

符号

意义

Dx,z,并且每个增量的长度均为分辨率的整数倍。

根据此原理，采用直线插补法，建模可画出刀具沿轨迹的路径变化，在模型中输入刀具起点坐标和终点坐标即可求得刀具沿路径运行的长度。

对于问题一：

根据问题二的相关提示，我们设定加工线型分别为正方形和八边形即转角分别为90。

和135°,然后根据S型曲线的减加速控制方法，建立了力学分析模型，再运用牛顿第二定理和受力分析可得出速度变化特征。

分别对刀

具在拐角为90。

和135。

处进行受力分析得到结果：

转角为90。

时的合力

1.414F20.765F2（135°转角处的合力）,所以当刀具经过90°转角时，速度变化大于135。

转角的速度。

对于问题二：

由于问题一建立的模型是根据问题二设定的,再加上附录的提示，问题一所建立的通用模型可直接套用在问题二上，所以我们依据题目要求和模型特点，讨论了圆弧半径的变化对算法效率的影响，继而用该通用模型和已知路径各点间的路程（运动距离）S,计算出对应的速度V,然后与表格中的已知速度V，进行核对，从而检验了所给的加工路径，V，越接近V,则路径越符合加减速数控机

床的运动平稳。

通过讨论，我们得到结论：

在1点到11点的运动路径下，半径的变化范围是［0,L］。

当半径r越大，则S越小，所运用的计算情况2

越简单，计算时间越短，计算效率越高；当半径r越小，则S越大，所运用的计算情况越复杂，计算时间越长，计算效率越低。

对于问题三：

我们在模型二的基础上考虑了瞬时启动加速度及瞬时启动速度，所以在模型中加入了瞬时启动加速度运动段，丰富了模型的通用性之后，依照问题二的检验步骤，检验了加工路径示例。

此情况下，节点1以瞬时起始速度0.13m/min运动至2.3192X10的斜线，刀具沿着此路径展开S型曲线加减速变化，在直角点和135

（1）M

其中，引入P表示出租车资源的供求匹配率，M表示市民出行需要的出租车辆数，N表示城市中实际运行的出租车辆数。

市民出行需要的出租车辆M的意义是指这些出租车辆能够恰好满足市民打车出行的需求，即城市出租车资源供求平衡时的车辆数。

供求匹配率P反映了城市中实际运行的出租车辆数与市民出行需要的出租车辆数之间的差异。

供求匹配率P=1为出租车资源供求平衡状态，供求匹配率P越接近1,则说明城市出租车资源供求匹配程度越高，出租车数量配置越合理；当供求匹配率P大于1时，表明城市中现有的出租车数量超过市民出行需要的数量，会增加出租车的空驶率，造成出租车司机的收益降低；当供求匹配率P小于1时，表明城市中现有的出租车数量少于市民出行需要的数量，需要增加出租车的数量来缓解打车难的情况。

5.2.1建立市民出行需要的出租车辆数M的预测模型

市民出行需要的出租车辆数M与市民人均日出行次数、城市总人口数量、市民出行选择乘坐出租车的比例有关，也与每辆出租车日均载客次数、每单载客人数和车辆满载率有关，具体关系式为：

市民出行需要出租车辆数二市民人均日出行次数打车出行的比例日均每车载客次数车辆满载率符号表达式为：

Y

位：

次/人日），w为城市总人口数量（人），n表示市民选择打车出行的比例，s表示出租车单车日均载客次数（单位：

次/车日），x表示出租车单车日均每次载客人数（人/车次），u为出租车满载率。

根据参考文献[3],选取出租车单车日均载客次数

s=35（次/车日），出租车单车日均每次载客人数

入二2.0（人/车次），出租车满载率u=65%,居民选择打车出行的比例为6%o

接下来建立市民人均日出行次数与城市经济指标关联的量

化模型

市民人均日出行次数是居民出行强度的最直接反映，其与城市人口总数量的乘积即为市民的出行总量，而市民人均日出行次数与城市经济指标有着极大联系。

通常情况下，市民人均日出行次数的多少与出行目的、城市布局、交通设施、城市环境质量等因素有关。

对于某一城市来说，影响居民人均出行次数的因素又间接地反映在该城市的相关经济指标上。

因此，多种因素与市民人均日出行次数的内在关联可以转化为多种经济指标与市民人均日出行次数的内在关联。

STEP1：

各经济指标的聚类分析；

STEP2：

典型指标的选取；

STEP3：

回归模型的建立

STEP4：

模型的检验。

聚类分析是根据事物本身的特性来定量研究分类问题的一种多元统计分析。

其基本思想是按照距离的远近将数据分为若干个类别，以使类别内数据的“差异"尽可能小，类别间“差异"尽可能大。

所用的变量可以被大致分成两类:

对样本个体进行聚类通常称为Q型聚类，对研究变量进行聚类称为R型聚类。

选用欧几里得距离（欧式距离）来度量指标之间接近的程度。

欧式距离就是空间中两点之间的直线距离，其中各特征参数是等权的，记dij表示指标Vi和vj之间的距离，则有计算公式如下：

dij

（2）|vikl,2,Ip聚类分析具体过程如下：

（1） 首先将各聚类单位各自作为一类（这时有p类），按照所选取的距离计算

各数据点之间的距离，形成一个距离阵。

（2） 将距离最近的两个单位并为一个类别，形成nT个类别，计算新产生的类

别与其他各类别之间的距离，形成新的距离阵。

（3） 按照和第二步相同的原则，再将距离最接近的两个类别合并，这时如果类

别个数仍然大于1,则继续重复这一步骤，直到所有的数据都被合并为成为一个类别为止。

STEP1：

选取_、上海、天津、广州、深圳、成都、南京、杭州、XX、长春、珠海、大连、福州、苏州、常州十五个大中城市为研究对象，分析各城市人均日出行次数和十二个经济指标之间的关联。

十五个大中城市年人均日出行次数和各经济指标见表2。

2020全国研究生数学建模E题论文（一等奖）