完整word版巧算和速算方法.docx
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完整word版巧算和速算方法
校本课程数学计算方法
第一讲生活中几十乘以几十巧算方法
1.十几乘十几：
口诀：
头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：
12×14=？
解:
1×1=1
２＋４＝６
２×４＝８
12×14=168
注：
个位相乘，不够两位数要用0占位。
２.头相同，尾互补（尾相加等于10）：
口诀：
一个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：
23×27=？
解：
２＋１＝３
２×３＝６
３×７＝21
23×27=621
注：
个位相乘，不够两位数要用0占位。
３.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：
口诀：
一个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：
37×44=？
解：
3+1=4
4×4=16
7×4=28
37×44=1628
注：
个位相乘，不够两位数要用0占位。
４.几十一乘几十一：
口诀：
头乘头，头加头，尾乘尾。
例：
21×41=？
解：
2×4=8
2+4=6
1×1=1
21×41=861
５.11乘任意数：
口诀：
首尾不动下落，中间之和下拉。
例：
11×23125=？
解：
2+3=5
3+1=4
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾
11×23125=254375
注：
和满十要进一。
６.十几乘任意数：
口诀：
第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。
例：
13×326=？
解：
13个位是3
3×3+2=11
3×2+6=12
3×6=18
13×326=4238
注：
和满十要进一。
第二讲常用巧算速算中的思维与方法
（1）
【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为
1+2+……+99+100
所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100
=101×100÷2
=5050
“3+5+7+………＋97+99=？
3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2=2499。
这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。
张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：
“今有女子不善织，日减功，迟。
初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。
问织几何？
”
题目的意思是：
有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。
她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。
问她一共织了多少布？
张丘建在《算经》上给出的解法是：
“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。
”“答曰：
二匹一丈”。
这一解法，用现代的算式表达，就是
1匹=4丈，1丈=10尺，
90尺=9丈=2匹1丈。
张丘建这一解法的思路，据推测为：
如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式就是：
5＋…………＋1
在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。
若把这个式子反过来，则算式便是：
1+………………＋5
此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。
同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”
这一特点，那么，就会出现下面的式子：
所以，加得的结果是6×30=180（尺）
但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。
所以，这妇女30天织的布是
180÷2=90（尺）
可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
第三讲常用巧算速算中的思维与方法
（2）
方法一：
分组计算
一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。
例如：
求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。
这道题是求“10亿个自然数的数字之和”，而不是“10亿个自然数之和”。
什么是“数字之和”？
例如，求1到12这12个自然数的数字之和，算式是
1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1＋2=5l。
显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。
怎么办呢？
我们不妨在这10亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。
然后，将它们分组：
0和999，999，999；1和999，999，998；
2和999，999，997；3和999，999，996；
4和999，999，995；5和999，999，994；
………………
依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000以外，其他的自然数与添上的0共10亿个数，共可以分为5亿组，各组数字之和都是81，如
0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81
1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81
2+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋7=81
………………
最后的一个数1，000，000，000不成对，它的数字之和是1。
所以，此题的计算结果是
（81×500，000，000）＋1
=40，500，000，000＋1
=40，500，000，001
方法二：
由小推大
计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。
例如：
（1）计算下面方阵中所有的数的和。
这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。
不妨先化大为小，再由小推大。
先观察“5×5”的方阵，如下图（图4.1）所示。
容易看到，对角线上五个“5”之和为25。
这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图4.2那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。
所以，“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125，即53=125。
于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为1003=1，000，000。
（2）把自然数中的偶数，像图4.3那样排成五列。
最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。
那么2002出现在哪一列：
列数
一
二
三
四
五
2
4
6
8
16
14
12
10
18
20
22
24
32
30
28
26
34
36
38
40
………………
图4.3
因为从2到2002，共有偶数2002÷2=1001（个）。
从前到后，是每8个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。
所以，由1001÷8=125…………1，可知这1001个偶数可以分为125组，还余1个。
故2002应排在第二列。
方法三：
凑整巧算
用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。
例如
（1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）=111
（2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2）
=10＋100＋1000
=1110
（3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125
=155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5
=125×8-5
=1000-5
=995
第四讲常用巧算速算中的思维与方法（3）
方法一：
巧妙试商
除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。
（1）用“商五法”试商。
当除数（两位数）的10倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5”。
如70÷14=5，125÷25=5。
当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。
“无除”指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“5”。
例如1248÷24=52，2385÷45=53
（2）同头无除商八、九。
“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。
“无除”仍指被除数前两位不够除。
这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8或商9。
5742÷58=99，4176÷48=87。
（3）用“商九法”试商。
当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10倍时，可以一次定商为“9”。
一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n时，n除m的商才是9。
同样地，10n≤m＋n＜11n。
这就是我们上述做法的根据。
例如4508÷49=92，6480÷72=90。
（4）用差数试商。
当除数是11、12、13…………18和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。
若差数是1或2，则初商为9；差数是3或4，则初商为8；差数是5或6，则初商为7；差数是7或8，则初商是6；差数是9时，则初商为5。
若不准确，只要调小1就行了。
例如
1476÷18=82（18与14差4，初商为8，经试除，商8正确）；
1278÷17=75（17与12的差为5，初商为7，经试除，商7正确）。
为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：
差一差二商个九，差三差四八当头；
差五差六初商七，差七差八先商六；
差数是九五上阵，试商快速无忧愁。
方法二：
恒等变形
恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。
它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。
例如
（1）1832＋68=（1832-32）＋（68+32）
=1800＋100
=1900
（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）
=359.8-10
=349.8
第五讲常用巧算速算中的思维与方法（4）
方法一：
拆数加减
在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。
（1）拆成两个分数相减。
例如
又如
（2）拆成两个分数相加。
例如
又如
方法二：
同分子分数加减
同分子分数的加减法，有以下的计算规律：
分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。
分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。
例如
（注意：
分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。
）
由上面的规律还可以推出，当分子都是1，分母是连续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积，
根据这一关系，我们也可以简化运算过程。
例如
方法三：
先借后还
“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。
例如
做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度。
现在从“凑整”着眼，采用“先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了。
第六讲常用巧算速算中的思维与方法（5）
方法一：
个数折半
下面的几种情况下，可以运用“个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。
（1）分母相同的所有真分数相加。
求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半法”，即用这些分数的个数除以2，就能得出结果。
这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2，就能得出结果。
（2）分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用“个数折半法”求得数。
比方
（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用“个数折
半法”求得数。
比方
方法二：
带分数减法
带分数减法的巧算，可用下面的两个方法。
（1）减数凑整。
例如
（2）交换位置。
例如
在这两种方法中，第
（1）种“凑整”法，也可以运用到带分数的加法中去。
例如
第七讲常用巧算速算中的思维与方法（6）
方法一：
带分数乘法
有些特殊的带分数相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。
（1）相乘的两个带分数整数部分相同，分数部分的和是1，则乘积也是个带分数，它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1的数，分数部分是两个因数的分数部分的乘积。
例如
（2）相乘的两个带分数整数部分相差1，分数部分和为1，则积也是个带分数，它用较大数的整数部分的平方，减去分数部分的平方，所得的差就是这两个带分数的乘积。
例如
（注：
这是根据“（a＋b）（a-b）=a2-b2”推出来的。
）
（3）相乘的两个带分数，整数部分都是1，分子也都是1，分母相差1，则乘积也是个带分数。
这个带分数的整数部分是1，分子是2，分母与较大因数的分母相同。
例如
读者自己去试一试，此处略）。
方法二：
两分数相除
有些分数相除，可以采用以下的巧算方法：
（1）分子、分母分别相除。
在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：
用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。
不过，这只有在被除数的分子、分母，分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比较简便。
例如
（2）分母相除，一次得商。
在两个带分数相除的算式中，当被除数和除数的整数与分母调换了位置，而它们的分子又相同时，根据分数除法法则，只要用原除数的分母除以被除数的分母，所得的数就是它们的商。
例如
（注：
用除法法则可以推出这种方法，此处略。
）
第八讲小数的速算与巧算
【知识精要】
凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。
用的时候主要看末位。
但是小数计算中“小数点”一定要对齐。
【例题精讲】
<一>凑整法
例1、计算5.6+2.38+4.4+0.62。
【分析】5.6与4.4刚好凑成10，2.38与0.62刚好凑成3，这样先凑整运算起来会更加简便。
【解答】原式=（5.6+4.4）+（2.38+0.62）
=10+3
=13
【评注】凑整，特别是“凑十”、“凑百”等，是加减法速算的重要方法。
例2、计算：
1.999+19.99+199.9+1999。
【分析】因为小数计算起来容易出错。
刚好1999接近整千数2000，其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。
再把多加的那部分减去。
【解答】1.999+19.99+199.9+1999
=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1
=2222-1.111
=2220.889
【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，我们也可以引申为读整法，譬如此题。
“1.999”刚好与“2”相差0.001，因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。
但是，一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。
“多减的”要“加上”！
第九讲乘法速算1
一．前数相同的：
1.1.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S=（10+B+D）×10+A×B
方法：
百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：
13×17
13+7=2--（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
3×7=21
-----------------------
221
即13×17=221
1.2.十位是1,个位不互补,即A=C=1,B+D≠10,S=（10+B+D）×10+A×B
方法：
乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：
15×17
15+7=22-（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
5×7=35
-----------------------
255
即15×17=255
1.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×（A+1）×10+A×B
方法:
十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积
例：
56×54
（5+1）×5=30--
6×4=24
----------------------
3024
1.4.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D≠10,S=A×（A+1）×10+A×B
方法1:
先头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然
例：
67×64
（6+1）×6=42
7×4=28
7+4=11
11-10=1
4228+60=4288
----------------------
4288
方法2：
两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
例：
67×64
6×6=36--
（4+7）×6=66-
4×7=28
----------------------
4288
第十讲乘法速算2
二、后数相同的：
2.1.个位是1，十位互补即B=D=1,A+C=10S=10A×10C+101
方法：
十位与十位相乘，得数为前积，加上101.。
--8×2=16--
101
-----------------------
1701
2.2.<不是很简便>个位是1，十位不互补即B=D=1,A+C≠10S=10A×10C+10C+10A+1
方法：
十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1.。
例：
71×91
70×90=63--
70+90=16-
1
----------------------
6461
2.3个位是5，十位互补即B=D=5,A+C=10S=10A×10C+25
方法：
十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上25。
例：
35×75
3×7+5=26--
25
----------------------
2625
2.4<不是很简便>个位是5，十位不互补即B=D=5,A+C≠10S=10A×10C+525
方法：
两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
例:
75×95
7×9=63--
（7+9）×5=80-
25
----------------------------
7125
2.5.个位相同，十位互补即B=D,A+C=10S=10A×10C+B100+B2
方法：
十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方。
例：
86×26
8×2+6=22--
36
-----------------------
2236
2.6.个位相同，十位非互补
方法：
十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方，再看看十位相加比10大几或小几，大几就加几个个位乘十，小几反之亦然
例：
73×43
7×4+3=31
9
7+4=11
3109+30=3139
-----------------------
3139
第十一讲乘法速算3
2.7.个位相同，十位非互补速算法2
方法：
头乘头，尾平方，再加上头加尾的结果乘尾再乘10
例：
73×43
7×4=28
9
2809+（7+4）×3×10=2809+11×30=2809+330=3139
-----------------------
3139
三、特殊类型的：
3.1、一因数数首尾相同，一因数十位与个位互补的两位数相乘。
方法：
互补的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。
例：
66×37
（3+1）×6=24--
6×7=42
----------------------
2442
第十二讲乘法速算4
3.2、一因数数首尾相同，一因数十位与个位非互补的两位数相乘。
方法：
杂乱的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看非互补的因数相加比10大几或小几，大几就加几个相同数的数字乘十，反之亦然
例：
38×44
（3+1）×4=16
8*4=32
1632
3+8=11
11-10=1
1632+40=1672
----------------------
1672
第十三讲乘法速算5
3.3、一因数数首尾互补，一因数十位与个位不相同的两位数相乘。
方法：
乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看不相同的因数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘十，反之亦然
例：
46×75
（4+1）*7=35
6*5=30
5-7=-2
2*4=8
3530-80=3450
----------------------
3450
3.4、一因数数首比尾小一，一因数十位与个位相加等于9的两位数相乘。
方法：
凑9的数首位加1乘以首数的补数，得数为前积，首比尾小一的数的尾数的补数乘以凑9的数首位加1为后积，没有十位用0补。
例：
56×36
10-6=4，3+1=4，36÷9也等于4
5*（10-6）=20
4*（10-6）=16
“注：
（10-6）也可以写作（3+1）和（36÷9）”
---------------
2016
3.5、两因数数首不同，尾互补的两位数相乘。
方法：
确定乘数与被乘数，反之亦然。
被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积，尾乘尾，得数为后积。
再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘十，反之亦然
例：
74×56
（7+1）*5=40
4*6=24
7-5=2
2*6=12
12*10=120
4024+120=4144
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4144
第十四讲乘法速算6
3.6、两因数首尾差一，尾数互补的算法
方法：
不用向第五个那么麻烦了，取大的头平方减一，得数为前积，大数的尾平方的补整百数为后积
例：
24×36
3>2
3*3-1=8
6^2=36
100-36=64
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864
3.7、近100的两位数算法
方法：
确定乘数与被乘数，反之亦然。
再用被乘数减去乘数补数，得数为前积，再把两数补数相乘，得数为后积（未满10补零，满百进一）
例：
93×91
100-91=9
93-9=84
100-93=7
7*9=63
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