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片1

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片3

§16.3二元函数的连续性

一•二元函数的连续（相对连续）概念

复习一元函数连续概念

/（X）在点x=处连续,E>lim/（x）=/（d）

XT"

oVf〉0,3^>0,VxGU（a,5）,有：

\f（x）-f（a）\<£与一元函数连续类似地，从几何直观，引入二元函数连续

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片21•连续的定义

定义1.设函数Z=f{x,y）的定义域为点集DUR]£）（勺，儿）是D的聚点或孤立点，动点P（x,y）wD；如Vw>0,3^>0,有:

|/（x,y）-/U00Jo）|<^成立，则称函数/关于集合D在点人连续。

（相对连续）特别地，当点仇是D的内点时，称函数.f在点花连续。

（全面连续）

定义2・f（x,y）在集合D上连续,o/在D内任一点关于D均连续。

说明：

1.定义1屮，P.eD有二种情况：

（1）花是D的孤立点时,则/必在人连续。

（2）当花是D的聚点时，

/在花连续Olim/（?

）=/（/>）；

否则，如果*是D的聚点,而

PgD

则称函数/在点人不连续（或称间断）。

2.lim/（P）存在，但不等于门人）吋，称花是/

的可去间断点。

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片4

函数/（兀刃在点（0,0）沿方向y=mr连续。

证明：

Ig嘛？

（"）二鳥临）舟

y=mxy=,nX7

=-^=/（0,0）1+nr

/.f（x,y）在（0,0）沿着直线y=皿是连续的.

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片5

例2讨论函数

X1+y2'

在（0,0）的连续性.

解取y=kx

lim2=lim—99

x-+k-x-

莫值随R的不同而变化，极限不存在.

故函数在（0,0）处不连续.

/（x,y）R

X2+），H0

十+十=0

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片6

1,0

证明函数/（X,刃在点（0,0）沿任何方向都连续，但并不全面连续。

（参见上节的例6）

例3设/（%,）■）=

证明：

由上节例6.

当点（x,y）沿着任何直线趋于原点（0,0）时,心刃TO=/（0,0）,

.•J在（0,0）点沿任何方向都连续，但lim/（x,y）不存在，

（x』）t（O.O）

••J在（0,0）点不全面连续

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片7

x3+v3

（x»（0,0）

x4-y

（x,y）=（O,O）

在（0,0）处的连续性.

解取X=/7COS0,y=°sin0

=|p（sin304-cos3^）|<2p

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片8

Vw〉0,3^=-|,当ovJ/+于<§时

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片9

故函数在（0,0）处连续.

函数的增量

定义3.设/^（x0,y0）,P（x,y）eD,记=x{）,Ay=y-y°,称为|'|变量在吒的增量，则

（1）.纣=△/■（>（）,儿）=/（兀刃-/（勺,儿）

=/Uo+山,儿+4v）-/U0o?

o）称为函数在点花的全增量.

（2）.固定y=y°,

△』（心儿）=f（XQ+心,儿）-/（珀），儿）

称为函娄好在点心关于甜〈J偏增量.

（3）.Av/（x0,y0）=/（x0,y0+△），）-/（心儿）称为函数/在点人关于）的偏增量.

rh此定义知，当几是D的聚点时

命题1.的（P）点人连续olimA/（xo,yo）=O

（A.v,Av）->（0,0）

（x・）g

命题2•—元函数f（兀,y（））点兀=兀0连续

。

肥gg豎警豎微_"TO小变动时，因变

命题3.-兀函数/（无,刃点y=儿连续量/•变动也很小

«nmAv/（x（）,.y（））=O.

命题4.在n兀,y）点£（心儿）连续

卩（兀,儿）点兀=兀0连续

=[/（x0,y）点）儿连续

命题4的逆命题不真.见例3

川点两数来介绍这儿个定理，可以看出多元函数与一元函数的连续性质一致。

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片2•连续函数的性质

与一元函数的连续性质一样，我们有

局部有界性定理.如果函数兀P）在*点连续，则玄>0,函数/（P）在U（P0,3）内有界。

局部保号性定理.如果函数门P）在人点连续，R./（^）>r>0（或/（^）0,X/PwU（£0）,有：

f（P）>r>0

（或/（P）

上述定理的证明方法与一元函数完全一致，我们仅证复介函数连续性.

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片定理（四则运算法则）

12如果函数/（P）与g（P）都在儿点连续，

则/（P）士g（P）,f（P）・g（P）,4S（g（*）工0）g（P）

也都在人点连续。

定理（复合函数连续性）

若u=0（兀,刃和v=0（x,y）在点ASo,沟）全面连续,且％=0（勺,九）,心=0（勺,九），z=f（u9v）在点Q）（"o,心）处全面连续，

=>复合函数z=_/（0（x,y）,0（x,y））在片心（）,儿）点也全面连续。

证©」：

•・•/在点Q）连续，

V£>O,3?

7>0,当卜-w0|

;,|v-v0|<帀吋，有:

|/（w,v）-/（u0,v0）|<^

又©与鸭在点£）连续，

对上述>0,当卜一对

”一知|=9（九刃-0（牝，歹0）|v〃

|v一v0|=”（x,刃一0（兀0,>?

0）|<7

从而，有：

|/（0（3），0（x,y））-/（eOo，yo）‘0（Xo，）b））|=|/（w,v）-/（w0,v0）|<<£■

.・./（0（兀，刃,0（%,刃）在佗（兀0，儿）连续・

对于-•元函数，有一•切初等函数都在其定义域内连续。

对于多元初等函数，同样冇一切多元初等函数都在其定义域内连续。

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片二.二元初等函数及其连续性

14多元初等断数：

由多元多项式及基本初等函数

经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.

定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.

事实上，连续的一元函数也都是连续的多元

函数,例如/（x,y）=sinx在R?

上连续。

111多元函数连续的运算法则，以及基本初等

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片

函数的连续性，即得。

一般地，求lim/（P）时，如果/（P）是初等函数，且心是/（P）的定义域的内点，则/（P）在点佗处连续，于是limf（P）=/（£））.

户一＞心

例5求lim旦土1.

xtOX）-

r->0

解原式=lim——X）+'1——=iim1——'Mxy（yJxy+1+D锻3+1+1_1

—

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片

例6•讨论下列函数的连续性

sinxyn

一，”0

0,y=0

解：

当，工0时J（兀，沪竺空连续

当y=0时,%gR,研在（勺,0）点的连续性.

⑴.如果x（）h0,则

lim.f（x,y）=lim空凹=兀

（f）t（xo,O）（x$）厶（心。

）y°’

）=0）=0

lim/（x,y）=lim0=o

（x,y）-»（xo.O）•（xty）->（.R>,0）

尸0y=0

故lim/（x,y）不存在，

（.v,y）->（-ro.O）

（ii）.如果此时

■

sinxy（

0<|/（x,y）-/（0,0）|=y2

0,y=0

）vo

0,y=0

呵[/（a）-/（0,0）]=0,

（x,y）->（0.0）L」

E|J/（x,y）在（0,0）连续.

综上所述,f（x.y）在（心，0）点间断&o工0）;

其余点连续.

⑵（/+门（〃＞0）・

解:

（i）.畑,儿）主（0,0）时，，

/（兀,y）在（勺，旳）连续"k

（n）.当（勺，旳）=（0，°）时，

令x=rcos^,y=广sin0,则（x,y）T（0,0）o厂一＞0,而g,y）7（0,0）|=怦=網当2p-l＜0W,即pV时，|心刃_于（0,0）卜事

因此,lim/（x,y）=/（0,0）,

（儿y）T（o,o）

/在（0,0）连续.

当2〃-l>0Ht即p>丄时,选取&=0,即射线y=0,x〉0,

2in_l

则m，y）-/（o,o）=丙才严TI

+00,p>-

J（A.^o.o）/（X,-V）工即/在（°，。

）不连续•

综上所述，

在（0,0）点，当p<+时』连续；当p>*时,/不连续；

而其它点/皆连续.

小结讨论多元函数的连续性的方法。

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片三.一致连续件

复习z=f在区域D上连续

00人丘D丸>0,">0,VPeD,只要°（尸,佗）<5,有:

|/（P）-/（佗）|"

定义:

z=f在区域D匕一致连续

o\/£>0,弓5>0,VP,£gD,只要°（P,佗）<厶有：

|/（P）-g）|v£

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四•有界闭区域上连续函数的性质

1.有界性与最值性

定理（有界性与最人、最小值定理）若函数/在有界闭区域DuR?

上连续函数,

=>.f在D上有界，口能取得最大值与最小值。

证明：

先证/在》上有界.若不然，则

%正整数，必北代D使：

/（几）>弘乃=1,2,…

lim.f（即二

•・・&｝uD/.&｝为有界点列,1±1魏尔斯托拉斯定理,

｛匕｝存在收敛子列｛仇｝，

是闭区间上连续函数性质的直接推广，证明亦相似。

此定理中，闭域可换为闭集.

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片设!

吧亿=心由D为闭域，从而佗WD,

22又•・•/在D上连续，二在几连续，于是，有:

吧心J=g）

矛盾，•••/是D上的有界函数.再证』在D上能取到最大，最小值.设m=inf/（D）,M=sup/（D）.

即证，范wD,使:

f（Q）=M同理证，辺5使:

畑）=加

反证，设VPwD,有:

f（P）

\M-f（P）>0.

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片记F（P）=1,则F在Z）上连续，

23M-f（P）

由前面的证明知,F在》上有界，

而M=sup/（£>）,且

即VE〉O,m/wD,使：

M_£

取0二丄>0二代WD,使：

M—丄

于是，lim/（£J=M,limF（匕）=+co

n->oo几一>8

与尸在。

上有界矛盾，故广在D上能取到最大值.//

2.一致连续性

定理（一致连续性定理）设函数/在有界闭域QuR?

上连续

在£>上一致连续，

证明：

用聚点定理来证,（反证）

役f在D上连续而不一致连续，则日勺>0,

但是|/（^f）-/（a）|>^心1,2,…

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片

•••D为有界闭域,•••D中点列｛代｝存在收敛子列｛化｝,设昨"5

在｛Q｝中取出与｛化｝下标相同的子列｛爲｝,则

05。

（仇'0"J

•:

帆Q厂帆人=Po5由/在人连续，得:

与|/（^）-/（e,J|>^o>o,矛盾.

故f在D上一致连续.

3.介值性与零点定理

定理（零点定理）

设函数/在区域DcR2±连续,如果片，人为D中任意两点，月J（片）<0

不妨设片，巴为D的内点，

•・T为区域，则可用有限段都在D中的折线连结片和如果有某一个连结点诉対应的函数值为0,则是理得证,

否则，必存在某直线段,

/在它的两端点A/】与的函数值异号，&f（Ml）<0,f（M2）>0,其中M｝（x｝,y｝）,M2（x2,y2）,

则直线w,m2的方程为:

r=x*+心-西），0

在直线段a/.m2±,/可表示为：

g（f）=/（xi+7（>2-州），）1+r（y2-）'i）），0

g（f）是［0,1］上的一元连续函数,且g（0）v0vg（l）

由一元连续函数的零点定理，丸丘（0,1）,使g（r（J=0,

u=0时』卩零点定理.

记无=x,4-/（）（勺一石）,儿=牙+/。

（儿一X）

则有丘（兀o，y°）S使得：

/（佗）=g（G=O//

定理（介值定理）

设函数/在区域DcR2±连续，如果片,£为》中任意两点,且/（片）化）,则对任何满足不等式/（片）<“V（PJ

的实数“,必存在点恥£>,使得/化））=“。

证明：

令F（P）=f（P）-ju,由零点定理，即证.

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多元函数的连续

定义设斤元函数.f（P）的定义域为点集D,P.是其聚点且如果lim/（P）=/（^）则称〃元函数/（P）在点坨处连续.

设仇是函数/（P）的定义域的聚点，如果/（P）在点£）处不连续，则称f是函数/（P）的间断点.

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