关于中学数学开放题的研究.docx
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关于中学数学开放题的研究
关于中学数学开放题的研究
影
摘要：
素质教育的核心是培养学生的创新能力，而学生的创新能力往往是在解决数学问题的过程中逐渐培养起来的，数学开放题正是为了培养学生这方面的能力而提出的。
因此对数学开放题的研究是很有意义的。
本文梳理了开放题在我国的发展历程，分析了开放题在教育教学中的作用，重点探讨了开放题的概念和分类，并指出以开放题为载体
关键词：
数学开放题；分类；编制；设计；开放式教学
数学开放题（Openendedproblem）是20世纪80年代日本数学家首先提出。
1971年以岛田茂为首的一个日本学者群体，其中包括桥本吉彦，泽田利夫等共27人，率先研究“开放式结尾（open-ended）问题”，于1977年发表了名为《算术、数学课的开放式问题----改善教学的新方案》的报告文集。
美国等国家也相继研究数学开放题。
在我国，1980年第4期《外国教育》杂志刊登了日本学者泽田利夫《从“未完结问题”提出的算术、数学课的教学的方案》一文，这是在我国首次介绍国际上研究数学开放题的文章，但是以后在长达12年的时间中，仅有少数学者如王慧斌、王凝、戴在平等有文章介绍一些有关数学开放题研究的动态。
下面重点介绍开放题在我国的发展：
一．开放题在我国的发展历程
1984年戴在平以三个开放题和几个封闭题在省镇海县三所学校（学生来源有显著差异）：
（1）省重点中学。
（2）镇级重点中学。
（3）乡村初级中学。
各取一个初三班级进行了一次测试。
结果如下：
学校
（1）
（2）
（3）
答对率（%）
封闭题
81
49
51
开放题
31
21
19
测试说明了知识和技能的堆砌与学生创造思维能力的发展没有必然的联系。
1990年，胡林瑞对省市屯溪二中51名初三和高三学生，用5道外国开放性数学题作一次测试，得出“高中生解这类题的能力并不比初中强，他们虽然多读了3年书，知识和技能上可能多些，但发散性创造性思维能力都无甚增长”的另人惊讶的结论。
他进一步分析：
“这也能说明在进行基础知识教学的同时，如不引导学生去进行‘发现’，不注意培养学生思维品质，而只要求学生‘记公式定理、套题型解法’，则有可能导致学生思维发展的停滞，聪明才智的被扼杀”
这些调查都说明，数学开放题对培养学生创造能力的必要性。
于是，这一认识推动着开放题的发展。
首先使开放题进入中学数学课堂的实验，是1993年3月—6月在省市、市和德清县的初中进行的，实验的题目分别是：
（1）如图，AD是直角三角形的歇遍BC上的高，AB=AC.
过点A,D的圆与AB,AC分别交于点E,F.试尽可能地
找出其中图形的形状或大小之间的关系。
（2）钟面上有1，2，3，、、、，11，12，共12个数，
请在某些数的前面添上负号，使钟面上所有数
的和为零。
实验的结果是及其另人振奋的。
“学生的思维是相当活跃的”，在数学开放题教学中学生所得到的“结论中有一些颇具创造性，也相当深入，甚至是教师在课前所未想到的。
”“在数学教育发展过程中，出现开放题这一新的题型，反映了人们数学教学观念的转变。
即人们认识到数学教学不应建立在‘概念----定理-----例题---练习’的知识传授型模式之上，而应建立在对学生积极鼓励，引导学生进行探索的以学生为中心的创造型模式之上，这是数学教育界普遍接受现代认知心理学对数学学习过程的解释和知道的结果。
”
二．近年来，开放题发展的成就
近些年来，数学开放题作为一个具有时代特色的数学教育改革的亮点，已日益引起我国数学教育界的注意，逐渐形成为数学教学改革的一个热点。
其主要表现是：
1．国外有关数学开放题的信息进一步介绍到我国。
如：
胡启迪著文介绍1993年7月在日本举行的第17次国际数学教学心理大会上的一堂数学开放题观摩课，课题为“花圃设计问题”；以后，我国分别有雄辉，立公模拟这一课堂，并著文谈进行开放题教学的必要性；奠宙、孔凡海出席由国际数学教育委员会组织召开的第一界东亚国际数学教育大会（IC-MI-EARCOME_1）之后，著文介绍数学教育的情况，认为“数学开放题”、“数学开放教学方法”是“迄今为止亚洲人提出的唯一让世界普遍接受并关注的一个口号、观点和思想。
”
2．编制出一批具有中国特色的数学开放题。
开放题开始进入课本。
国外传入我国的数学开放题，其中趣味性、游戏性的题目占有较大比例。
进些年来，我国所创作的数学开放题则以与现行大纲与教材密切结合的为多。
目前，市、省和人民教育所编九年义务教育数学教材中都出现了为数不多的开放题，忻再义谈到市新编数学教材中的开放题时，认为“开放性问题的编制与使用应当有利于引导学生深刻理解所学得知识。
这就是说再编制与使用时要落实到（知识）电上。
”“应当有利于知识的综合应用。
这就是说在编制与使用时要注意将知识串成线。
”
3．数学开放题的教学实验广泛进行，形成一批优秀的教学设计。
近几年来，数学开放题教学实验已遍及、、、、、‘、、新疆等许多省、市、自治区的中学，出现了一批优秀的教学设计。
4．开放题开始进入数学中考试题和数学高考试题。
早在1982年市中考就出现过一个数学开放题：
已知圆o切于四边形ABCD，AB=AD,连接AC,BD,由这些条件你能推出那些结论？
（要求：
绘出工整的图，不写画法，图中除A,B,C,D,o五个字母之外，不在标注其他字母，不再添加任何辅助线，不写推理过程，推出五条给满分，推出六条以上者应给予加分）。
此题1996年曾被自治区中考重复采用。
80年代中考出现数学开放题的还有呼和浩特市（1998）。
90年代以来，省（1991、1992）、市（1993）、荆州市（1996）、黔西南州（1994）、崇文区（1995）、省（1995）、省（1996）和省（1997）的中考都出现过数学开放题。
1998年全国高等学校招生统一考试试题出现一个条件开放题。
第6届华罗庚金杯赛（1997）和市高中学生数学知识应用竞赛（1998）也出现了开放题。
开放题被选拔性考试采用，说明人民日益认识到数学开放题在测试能力水平，特别是测试创造能力水平中的重要作用。
5．数学开放题的研究成果大量涌现，研究队伍迅速扩大。
十几年来，具不完全统计，我国公开发表的有关数学开放题的论著已达到74篇之余，其中有专门文章述及开放题，中国数学会普及委员会等主办的杂志《中学生数学》从1998年第1期开始设立“数学开放题”专栏，奠宙等主编的《中学数学问题集》中也介绍了一些数学开放题。
1996年2月，“开放题------数学教学的新模式”立项为全国教育科学“九五”规划重点课题。
1998年11月4日至8日，课题组发起在金汇学校召开了“‘数学开放题及其教学’学术研讨会”，这次会议对于扩大国际交流、加强我国研究工作者和中小学教师之间的合作，起了较大的作用。
现课题组已经在准备集思广益基础上出版了《数学开放题丛书》，这一愿望实现啦！
20多年来，开放题（Openendedproblem）这一概念一直沿用并在许多国家使用。
目前来看，中国是发展最快的国家，编制的题目最多，围很广，质量也比较高。
基于以上对开放题发展概况的初步了解，激发我对这一问题研究的兴趣，我将深入研究，使之对我将来的学习和工作产生深远影响。
数学开放题在中学数学教学中具有重要作用，这是我研究的动力
三．开放题在教育教学中的作用
素质教育的核心是培养创新精神和实践能力，数学开放题型给学生进行创造性学习提供了一个宽松、自由的环境。
它的重要作用主要表现在以下几方面：
1．真正体现建构观的教学思想
在数学开放题型教学中，宽松的课堂气氛有助于激励学生主动参与教学活动。
开放题型具有一定的挑战性，能形成强烈的认知冲突，诱发学生的学习兴趣和学习动力。
它涉及的知识是学生已具备的，但解题策略是非常规的，没有固定模式可循，要求学生建构自己的思路与策略。
在解决问题过程中要求学生把原来的知识、技能重新组合，形成解决目前问题的一种整体技能，以提高学生的建构能力，形成良好的认知结构，使学生在整个教学过程中侧重于解决问题的思路和策略，侧重于思考的过程而不是仅追求简单的答案，使学生充分展示自我，人人都得到不同程度的发展。
2．有利于学生创新意识和创新思维的培养
传统的封闭题答案是唯一的，学生往往找到一个答案后就不再也不必要进一步思考了。
而在开放题型的解题过程中，没有固定的，现成的模式可循，学生必须充分调动自己的知识储备，用多种思维方式进行思考和探索，因而开放题型可以培养学生的不断进取的精神，可以强化学生的创新意识。
开放型的教学，可以消除教师思维对学生的限制，给学生提供思考并应用知识进行创新的环境。
同时，开放题型没有固定的答案和模式，在探索多种结果和解题策略中，学生必须进行多角度、多方位、多层次的思考，把问题进一步引深、拓广，进一步进行推理演算和深层次分析，从而发展了学生思维的广阔性和深刻性，提高了学生的创新能力。
3．有助于培养学生的非智力因素
开放题型的教学讲究师生平等，教师对学生思维预先设置的限制减少了，为学生提供了具有开放性和选择性的发挥空间，便于学生发挥自己的个性，有利于促进学生的兴趣、动机、情感、意志、性格等非智力因素的发展。
开放题具有这么多作用一定好好研究，造福教学。
看了大量资料和琢磨发现两个问题：
开放题这一概念，目前还没有完全形成一致的意见；题型编制的很好，但在实际教学中仍存在问题，未能达到预期美好效果。
因此，我力求在资料阅读和教学活动的点点经验基础上，归纳总结出一个开放题的概念，还要对教学活动中部分学生存在的问题说说自己的看法观点，希望可以对有关从事教育工作人员的工作有点帮助。
工夫尚浅，以期抛砖引玉。
四．开放题的概念
“数学开放题”并非是业经审定的规数学名词，关于开放题的概念，现在国没有统一的认识，主要有下列几种：
（1）“凡是具有完备的条件和固定的答案习题，我们称为封闭题，而答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题”（戴再平）；
（2）“具有多种不同的解法，或者有多种可能的解答称之开放题”（毓信）；（3）根据前联学者B.A.奥加涅相的要素分析法,数学习题是个系统:
{Y,O,P,Z}.其中Y表示习题的条件,O表示解题的依据,P表示解题的方法,Z表示习题的结论.上述系统的四个要素中有三个是未知的习题称为问题性题;有两个是未知的习题为探索性题,数学开放题大多数属于问题性题,也有的可能属于探索性题.
国也有学者把凡是问”是不是?
”的题目和探索性题目都归入开放题,这似乎是数学开放题的概念过分泛化.
近年来,对“开放题”一词的接顶还未有统一的认识,有些学者讨论只局限于正确答案不唯一的问题,综观各类中学数学报刊上的论文,对”开放题”一词的使用大多是广义的,一些答案唯一的非常规问题也常常被称为”开放题”.在教学实践中,有些广义的开放题也确实颇具教育价值.为了更好指导教学实践.本文对”开放题”的也使用广义的.虽然给广义的”开放题”下一个定义并非易事,我仍要给出自己的观点:
开放题有多种表现形式:
从题字面来看,有的条件不完全,有的结论没有,这样两种情况,条件不固定或结论不固定,解题结果与做题者的思考方向有关,所以题型表现与传统题不同,即称开放题.（这就是戴先生表达的观点,他的概念我是很喜欢的.）;从思维方面讲,那些有不同解法,或有多种可能答案及一些答案唯一的非常规问题等,它们不同于传统题,使学生思维,思考方式诸多方面得到锻炼,学生的思维月活跃,表现出的个体差异越大.因此,这样的题也叫开放题.
以上是我粗略想法,请专家老师给予指正,争取进步.
备注:
概念中所提到的传统题,是有固定解法模式的题型,解答它们有各自模板,一套即可.如:
解一元二次方程,四则运算等.
五．开放题的分类
数学开放题的常见题型可归纳成下表:
按命题要素
的发散倾向
按解题目标
的操作模式
按学习过程
的训练价值
按问题答案
的结构类型
条件开放型规律探索型知识巩固型有限可列型
策略开放型量化设计型信息迁移型有限混沌型
结论开放型分类讨论型知识发生型无限分离型
综合开放型构造对象型无限连续型
背景开放型数学建模型
设计型问题探求型
情景研究型
下面举例说明各类的形式:
（一）按命题要素的发散倾向分类
1条件开放:
给出题目结论,让解题者分析探索使结论成立因具备的条件,而满足结论的条件往往不唯一,它要求解题者善于从题目的结论出发,逆向追索,多途寻因.
例1（2004年省市）如图,平行四边形ABCD中,AE,CF分别是使四边形AECF为菱形,则添加的一个条件
可以是________________________________
（只要写出一个即可.图中不能再添加别的”点”
或者”线”）
析题本题是一道考查菱形判定的开放题,答案不唯一.挖掘本题的一个隐含条件;”四边形ABCD是平行四边形”是解决本题的关键.添加的条件可以是AE=AF;AC垂直EF;或2结论开放：
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往是多样性。
它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，得出结论。
例2（2004年市中考题）如图，这两个圆
相交于点A,B,顺次连接o1,A，o2，B，四点，得四边形O1AO2B.根据我们学习矩形，菱形，正方形性质时所获得的经验，探索图中的四边形有哪些性质？
（用文字语言写出4条性质）
性质1：
----------------------------------------------------------------；
性质2：
-----------------------------------------------------；
性质3：
-----------------------------------------------------；
性质4：
------------------------------------------------------。
。
。
。
析题：
学习矩形，菱形，正方形的性质是从角、
边、对角线、对称性、面积等方向去研究的。
本题就是考察
我们这一学习过程，考查我们在学习时能否形成自己的思维方式，并用到解决新问题的过程中。
本题的答案是开放的。
性质可以是：
有一对角相等；有两组邻边相等；对边之和相等；对角线互相垂直；有一条对角线平分一组对角；是轴对称图形；其面积等于两条对角线成绩的一半，这个四边形也具有一般四边形的性质，如不稳定性；角和为360度；外角和为360度等。
3条件、结论都开放：
条件、结论都不固定，需要答题者认定条件和结论，然后组合成一个新命题，在按题目具体要求进行解答。
例3（2004年市）如图，在三角形AFD和三角形BEC中，
点A,E,F,C在同一直线上，有下面四个论断；
（1）AD=CB,
（2）AE=CF,（3）为结论，编出一道题，并写出解答过程。
析题：
本题可以自编多种题目，这些试题为学生主体意识的形成和创新潜能的发挥提供了更广阔的空间。
考题提供了四个论断，让考生创编一道“知其三可推其一”的真命题，因此依据论断和题设要求，可组成四个命题。
其中一个命题满足SSA，是个假命题。
其余三个是真命题，先列举一个：
已知：
AE=CF,AD=BC
证明：
因为AE=CF,所以AF=CE
又因为AD//BC,所以所以三角形ADF全等CBE，则得AD=BC
4背景开放，考查实践应用意识
例4（2004年市）我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系可以写为a=S/b（S为常数，S!
=0）。
请你仿照上例另举一个在日常生活，生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式。
实例：
-——————————————————————；
函数关系式：
————————————————————。
析题：
实例1，三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式可以写为：
y=2S/x.（S为常数,S!
=0）
实例2，甲，乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，这时汽车到达乙地所用时间y（小时）是汽车平均速度x（千米/时）的反比例函数，其函数关系式为y=100/x。
。
。
。
5策略开放，考查综合运用能力
例5（2004年省）一次数学活动课，老师组织学生到野外测量一个池塘的宽度（即A,B间的距离）。
在讨论探究测量方案时，同学们发现有多种方法，现请你根据所学知识，设计出两种测量方案，要求画出测量示意图，并简要说明测量方法和计算依据。
例案：
在A处测出的适当位置取点C，量出AC，BC的长度；
运用勾股定理，得AB=sqrt（（BC^2）-（AC^2））
析题：
对于这道测量实验题，需要考生把课本知识和课外活动有机结合起来，多角度、多层次、多途径来思考同一问题。
本题还可以应用三角函数知识或相似三角形或全等三角形来测量。
6设计（实验）型：
需要用数学进行计划性预测和规划的问题。
案例：
暑假已到，某初中的小明与两位同学相约，到附近旅游城市（、）3日游，得到父母的同意，并答应给他们800元钱，规定旅游时间不得超过3天。
回的时间不超过晚上10点。
再给出到两个城市的火车、轮船、汽车时间表和票价，旅游点的门票价，要求学生作出旅游计划，鼓励进一步查询其他资料。
（二）按解题目标的操作模式分类
一个数学问题系统由“解题主题，题设条件，解题依据，解题目标”四个要素组成，解题目标规定了解题主体在解答问题时所必须进行的操作，如证明某个结论，探索某中规律，构造某种对象，等等。
把这种操作概括成几种常见模式进行讨论，这有利于解题规律的讨论研究。
常见开放题的解题目标有以下几种模式：
1．规律探索型这是一类要求寻找规律（数值规律、图形规律等）的题型。
在既定的条件或关系下探讨多种结论，寻求使既定结论成立的充分条件，高考中的探索心房问题，均可归属此类。
在解答此类题时常用的思维方法有：
观察与实验，归纳与演绎，数学归纳法等。
例6正方形的截面可以是什么形状？
不可能是什么形状？
（图形规律）
例7一个四边形是平行四边形的充分条件是什么？
（条件探索）
例8是否存在三边长和面积均为自然数的锐角三角形？
（存在性规律）
2．量化设计型将一般问题数值化是数学应用中常见的问题。
度的量化描述，统计数据的解释，图形设计及其有关量化计算等，这些都是量化设计型的开放体。
例9在某次卡拉OK大赛中，10个评委对A，B，C三位选手的评分如下表，试确定这三位选手的名次。
评委
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
A
9.7
9.2
8.9
8.3
7.9
9.0
8.7
7.8
9.3
8.7
B
9.1
9.0
9.0
8.9
8.2
9.5
8.0
8.1
9.1
8.4
C
9.3
9.6
8.8
9.0
8.5
8.9
8.9
9.0
7.9
9.2
（统计数据的解释）
例10有一块长4米，宽3米的园地，现要在园地上辟一个花圃，使花圃的面积是原园地的一半，问如何设计？
（图形设计及其有关量化计算）
3分类讨论型分类是一种基本的数学方法，常见的分类讨论型开放题有：
概念的划分，性质的归类，方法的整理以及分域讨论等。
例11设a>0,解关于的z方程:
（对参数分域讨论）
例12试用尽可能多的方法对以下单项式进行分类：
3（a^3）x;bxy；5（x^2）；-4（b^2）y
2a（y^2）；-（b^2）（x^2）。
4构造对象型这是一类要求构造满足一定条件的数学对象（即举例）的开放题。
包括举正例和举反例。
例13设函数f（x）=a（x^2）+bx+c,A={x|f（x）>0},B={-5,-1,4,7},试写出一些函数f（x）,使B中恰有一个元素不是集合A中的元素。
5．数学建模型培养学生的数学应用意识是数学素质教育的重要组成部分，随着数学教育观的转变，数学建模型开放题必将被越来越多的人所重视。
这类开放题常见的有：
社会经济问题；生活游戏问题；物理自然问题和科研生产问题。
例14“降水量”是指水平地面单位面积上的降水深度。
如果用一圆柱形容器水平放置于露天，一场降雨后，容器的雨水高度就是该次降水的“降水量”。
但是，普通降雨的降水量只以毫米为单位，所以用圆柱形容器直接测量的方法精度不高。
试设计一种用于测量降水量的量具形状。
（科研生产问题）
6．问题探求型这是一类要求学生提问题的开放题。
“提出一个问题，等于解决问题的一半”（爱因斯坦），有时候提出一个问题比解决一个问题更重要。
因此，我们不能始终让学生被动地解题，也应该让学生有机会主动地编题。
例15试尽可能多地提出与等式“（3^2）+（4^2）=（5^2）”有关的问题。
7．情境研究型这类题型只用一般性的语言来描述问题的背景，即问题情境，甚至连条件也要学生自己去寻找，对学生的综合素质要求高。
（三）按学习过程的训练价值分类
不同的数学习题，有不同的训练价值：
有的巩固知识，起同化作用；有的在解体过程中能引起解体者原有认知结构的改组，其顺应作用。
1．知识巩固型这类问题用于巩固知识，强化技能，主要引起同化。
例16试尽可能多的写出值为1的三角式。
例17试尽可能多的写出“复数z为纯虚数”的充要条件。
2。
信息迁移型如例14，这类问题给出一个新的情境，要求学生理解并用旧知识解决。
丰富并改善原有认知结构，兼有同化作用。
3．知识发生型这类问题能引起新知识的发现或对旧知识的一种新的领悟，起顺应作用。
例18一个三棱柱分割成三个三棱柱，并计算其体积。
在学习了棱柱体积后解答此题，将引起三棱柱体积公式的发现。
必须说明的是，训练价值没有一个明确的分类标准。
由于对同一个开放题可以在不同的层次水平上进行解答，即使是同一个问题，对不同解题主体训练价值也是不同的。
所以这种分类是相对的。
（四）按问题答案的结构类型分类
开放题的魅力主要来自于其答案的多样化，研究问题答案的结构是对问题的一个总体把握，也是研究问题的首要任务。
另一方面，针对不同的答案结构，从解题策略的选择到教学方法的选择也不尽相同，因此研究问题的答案结构也是开放题教学研究的重要工作。
数学开放题的答案一般有以下几种结构类型：
1．有限可列型如例12，这类问题的答案可以一一列举。
解题的主要任务是将其所有答案一一列举出来（如果不考虑问题发展性，这就是解题的最终目标）。
2．有限混沌型有的问题尽管从理论上可以肯定其答案是有限的，但是在中学知识围却是无法将其一一列出，其答案结构是混沌的。
对于这种问题，追求答案的完美性，没有多大意思；相反，学生在解题过程中的活动与思考多带来的收获，却是更有意义。
当然，对完美答案的追求仍可作为一种理想，一棵种子植入学生的心灵，说不定在某一天你收到了毕业多年的学生寄来得一个完美答案。
而其不懈努力、刻苦钻研的动力也许就是因为你没有给他一个完美答案！
例19当矩形的长宽比为多少时
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