5.已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元,两商品的价钱分离为P1=20元和P2=30元,该消费者的效用函数为U=3X1X
,该消费者每年购置这两种商品的数量应各是若干?
每年从中获得的总效用是若干?
解答:
依据消费者的效用最大化的平衡条件
=
其中,由U=3X1X
可得
MU1=
=3X
MU2=
=6X1X2
于是,有
=
整理得 X2=
X1
(1)
将式
(1)代入预算约束条件20X1+30X2=540,得
20X1+30·
X1=540解得 X
=9
将X
=9代入式
(1)得X
=12
因此,该消费者每年购置这两种商品的数量应该为
将以上最优的商品组合代入效用函数,得
U*=3X
(X
)2=3×9×122=3888
它标明该消费者的最优商品购置组合给他带来的最大效用水平为3888.
6.假设某商品市场上只有A、B两个消费者,他们的需求函数各自为Q
=20-4P和Q
=30-5P.
(1)列出这两个消费者的需求表和市场需求表.
(2)依据
(1),画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线.
解答:
(1)由消费者A的需求函数Q
=20-4P,可编制消费者A的需求表;由消费者B的需求函数Q
=30-5P,可编制消费B的需求表.至于市场的需求表的编制可以使用两种办法,一种办法是应用已得到消费者A、B的需求表,将每一价钱水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表;另一种办法是先将消费者A和B的需求函数加总来求得市场需求函数,即市场需求函数Qd=Q
+Q
=(20-4P)+(30-5P)=50-9P,然后运用所得到的市场需求函数Qd=50-9P来编制市场需求表.这两种办法所得到的市场需求表是相同的.按以上办法编制的3张需求表如下所示.
消费者A的需求表
P
Q
0
20
1
16
2
12
3
8
4
4
5
0
消费者B的需求表
P
Q
0
30
1
25
2
20
3
15
4
10
5
5
6
0
市场的需求表
P
Qd=Qeq\o\al(d,A)+Qeq\o\al(d,B)
0
50
1
41
2
32
3
23
4
14
5
5
6
0
(2)由
(1)中的3张需求表,所画出的消费者A和B各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图3—4所示.
图3—4
在此,需要特别指出的是,市场需求曲线有一个折点,该点产生在价钱P=5和需求量Qd=5的坐标点位置.关于市场需求曲线的这一特征,可以从两个角度来说明:
一个角度是从图形来懂得,市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总,即在P≤5的规模,市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到;而当P>5时,只有消费者B的需求曲线产生作用,所以,他的需求曲线就是市场需求曲线.另一个角度是从需求函数看,在P≤5的规模,市场需求函数Qd=Qeq\o\al(d,A)+Qeq\o\al(d,B)=50-9P成立;而当P>5时,只有消费者B的需求函数才组成市场需求函数,即Qd=Qeq\o\al(d,B)=30-5P.
7.假定某消费者的效用函数为U=xeq\f(3,8)1xeq\f(5,8)2,两商品的价钱分离为P1,P2,消费者的收入为M.分离求该消费者关于商品1和商品2的需求函数.
解答:
依据消费者效用最大化的平衡条件
eq\f(MU1,MU2)=eq\f(P1,P2)
其中,由已知的效用函数U=xeq\f(3,8)1xeq\f(5,8)1可得
MU1=eq\f(dTU,dx1)=eq\f(3,8)x-eq\f(5,8)1xeq\f(5,8)2
MU2=eq\f(dTU,dx2)=eq\f(5,8)xeq\f(3,8)1x-eq\f(3,8)2
于是,有
eq\f(\f(3,8)x-\f(5,8)1x\f(5,8)2,\f(5,8)x\f(3,8)1x-\f(3,8)2)=eq\f(P1,P2)
整理得 eq\f(3x2,5x1)=eq\f(P1,P2)
即有 x2=eq\f(5P1x1,3P2)
(1)
将式
(1)代入约束条件P1x1+P2x2=M,有
P1x1+P2·eq\f(5P1x1,3P2)=M
解得 xeq\o\al(*,1)=eq\f(3M,8P1)
代入式
(1)得xeq\o\al(*,2)=eq\f(5M,8P2).
所以,该消费者关于两商品的需求函数为
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(*,1)=\f(3M,8P1)
x\o\al(*,2)=\f(5M,8P2)))
8.令某消费者的收入为M,两商品的价钱为P1、P2.假定该消费者的无差别曲线是线性的,且斜率为-a.求该消费者的最优商品消费组合.
解答:
由于无差别曲线是一条直线,且其斜率的绝对值MRS12=-eq\f(dx2,dx1)=a,又由于预算线总是一条直线,且其斜率为-eq\f(P1,P2),所以,该消费者的最优商品组合有以下三种情况,其中第一、二种情况属于边角解,如图3—5所示.
第一种情况:
当MRS12>eq\f(P1,P2),即a>eq\f(P1,P2)时,如图3—5(a)所示,效用最大化的平衡点E位于横轴,它暗示此时的最优解是一个边角解,即xeq\o\al(,1)=eq\f(M,P1),xeq\o\al(*,2)=0.也就是说,消费者将全部收入都购置商品1,并由此达到最大的效用水平,该效用水平在图中用以实线暗示的无差别曲线标出.显然,该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平,例如那些用虚线暗示的无差别曲线的效用水平.
图3—5
第二种情况:
当MRS12<eq\f(P1,P2),即a<eq\f(P1,P2)时,如图3—5(b)所示,效用最大化的平衡点E位于纵轴,它暗示此时的最优解是一个边角解,即xeq\o\al(,1)=0,xeq\o\al(,2)=eq\f(M,P2).也就是说,消费者将全部收入都购置商品2,并由此达到最大的效用水平,该效用水平在图中用以实线暗示的无差别曲线标出.显然,该效用水平高于在既定的预算线上的其他任何一个商品组合所能达到的效用水平,例如那些用虚线暗示的无差别曲线的效用水平.
第三种情况:
当MRS12=eq\f(P1,P2),即a=eq\f(P1,P2)时,如图3—5(c)所示,无差别曲线与预算线重叠,效用最大化的平衡点可以是预算线上任何一点的商品组合,即最优解为xeq\o\al(,1)≥0,xeq\o\al(,2)≥0,且知足P1x1+P2x2=M.此时所达到的最大效用水平在图中用以实线暗示的无差别曲线标出,显然,该效用水平高于其他任何一条在既定预算约束条件下可以实现的用虚线暗示的无差别曲线的效用水平.
9.假定某消费者的效用函数为U=q+3M,其中,q为某商品的消费量,M为收入.求:
(1)该消费者的需求函数;
(2)该消费者的反需求函数;
(3)当p=eq\f(1,12),q=4时的消费者剩余.
解答:
(1)由题意可得,商品的边沿效用为
MU=eq\f(∂U,∂q)
泉币的边沿效用为
λ=eq\f(∂U,∂M)=3
于是,依据消费者平衡条件eq\f(MU,p)=λ,有
eq\,p)=3
整理得需求函数为q=eq\f(1,36p2).
(2)由需求函数q=eq\f(1,36p2),可得反需求函数为
p=eq\f(1,6\r(q))
(3)由反需求函数p=eq\f(1,6\r(q)),可得消费者剩余为
CS=∫eq\o\al(q,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6\r(q))))dq-pq=eq\f(1,3)qeq\f(1,2)eq\o\al(q,0)-pq=eq\f(1,3)qeq\f(1,2)-pq
将p=eq\f(1,12),q=4代入上式,则有消费者剩余
CS=eq\f(1,3)×4eq\f(1,2)-eq\f(1,12)×4=eq\f(1,3)
10.设某消费者的效用函数为柯传教格拉斯类型的,即U=xαyβ,商品x和商品y的价钱分离为Px和Py,消费者的收入为M,α和β为常数,且α+β=1.
(1)求该消费者关于商品x和商品y的需求函数.
(2)证明当商品x和y的价钱以及消费者的收入同时变动一个比例时,消费者对两商品的需求关系维持不变.
(3)证明消费者效用函数中的参数α和β分离为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额.
解答:
(1)由消费者的效用函数U=xαyβ,算得
eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(MUx=\f(∂U,∂x)=αxα-1yβ
MUy=\f(∂U,∂y)=βxαyβ-1))
消费者的预算约束方程为
Pxx+Pyy=M
(1)
依据消费者效用最大化的平衡条件
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(MUx,MUy)=\f(Px,Py)
Pxx+Pyy=M))
(2)
得 eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(αxα-1yβ,βxαyβ-1)=\f(Px,Py)
Pxx+Pyy=M))(3)
图3—6
解方程组(3),可得
x=αM/Px(4)
y=βM/Py(5)
式(4)和式(5)即为消费者关于商品x和商品y的需求函数.
上述需求函数的图形如图3—6所示.
(2)商品x和y的价钱以及消费者的收入同时变动一个比例,相当于消费者的预算线变成
λPxx+λPyy=λM(6)
其中λ为一非零常数.
此时消费者效用最大化的平衡条件变成
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(αxα-1yβ,βxαyβ-1)=\f(Px,Py)
λPxx+λPyy=λM))(7)
由于λ≠0,故方程组(7)化为
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(αxα-1yβ,βxαyβ-1)=\f(Px,Py)
Pxx+Pyy=M))(8)
显然,方程组(8)就是方程组(3),故其解就是式(4)和式(5).
这标明,消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变.
(3)由消费者的需求函数式(4)和式(5),可得
α=Pxx/M(9)
β=Pyy/M(10)
关系式(9)的右边正是商品x的消费支出占消费者收入的份额.关系式(10)的右边正是商品y的消费支出占消费者收入的份额.故结论被证实.
U=X1X2,两商品的价钱分离为P1=4,P2=2,消费者的收入是M=80.现在假定商品1的价钱下降为P1=2.
求:
(1)由商品1的价钱P1下降所导致的总效应,使得该消费者对商品1的购置量产生若干变更?
(2)由商品1的价钱P1下降所导致的替代效应,使得该消费者对商品1的购置量产生若干变更?
(3)由商品1的价钱P1下降所导致的收入效应,使得该消费者对商品1的购置量产生若干变更?
解答:
应用图3—7解答此题.在图3—7中,当P1=4,P2=2时,消费者的预算线为AB,效用最大化的平衡点为a.当P1=2,P2=2时,消费者的预算线为AB′,效用最大化的平衡点为b.
图3—7
(1)先斟酌平衡点a.依据效用最大化的平衡条件MRS12=eq\f(P1,P2),其中,MRS12=eq\f(MU1,MU2)=eq\f(X2,X1),eq\f(P1,P2)=eq\f(4,2)=2,于是有eq\f(X2,X1)=2,X1=eq\f(1,2)X2.将X1=eq\f(1,2)X2代入预算约束等式4X1+2X2=80,有
4·eq\f(1,2)X2+2X2=80
解得 X2=20
进一步得 X1=10
则最优效用水平为
U1=X1X2=10×20=200
再斟酌平衡点b.当商品1的价钱下降为P1=2时,与上面同理,依据效用最大化的平衡条件MRS12=eq\f(P1,P2),有eq\f(X2,X1)=eq\f(2,2),X1=X2.将X1=X2代入预算约束等式2X1+2X2=80,解得X1=20,X2=20.
从a点到b点商品1的数量变更为ΔX1=20-10=10,这就是P1变更引起的商品1消费量变更的总效应.
(2)为了剖析替代效应,作一条平行于预算线AB′且相切于无差别曲线U1的抵偿预算线FG,切点为c点.
在平衡点c,依据MRS12=eq\f(P1,P2)的平衡条件,有eq\f(X2,X1)=eq\f(2,2),X1=X2.将X1=X2代入效用约束等式U1=X1X2=200,解得X1=14,X2=14(保存整数).
从a点到c点的商品1的数量变更为ΔX1=14-10=4,这就是P1变更引起的商品1消费量变更的替代效应.
(3)至此可得,从c点到b点的商品1的数量变更为ΔX1=20-14=6,这就是P1变更引起的商品1消费量变更的收入效应.当然,由于总效应=替代效应+收入效应,故收入效应也可由总效应ΔX1=10减去替代效应ΔX1=4得到,仍为6.
12.某消费者是一个风险躲避者,他面对是否介入一场赌钱的选择:
如果他介入这场赌钱,他将以5%的概率获得10000元,以95%的概率获得10元;如果他不介入这场赌钱,他将拥有509.5元.那么,他会介入这场赌钱吗?
为什么?
解答:
该风险躲避的消费者不会介入这场赌钱.因为如果该消费者不介入这场赌钱,那么,在无风险条件下,他可拥有一笔确定的泉币财富量509.5元,其数额刚好等于风险条件下的财富量的期望值10000×5%+10×95%=509.5元.由于他是一个风险躲避者,所以在他看来,作为无风险条件下的一笔确定收入509.5元的效用水平,一定大于风险条件下这场赌钱所带来的期望效用.
13.基数效用论者是如何推导需求曲线的?
解答:
要点如下:
(1)基数效用论者提出的商品的边沿效用递减纪律是其推导需求曲线的基本.他们指出,在其他条件不变的前提下,随着消费者对某商品消费数量的持续增加,该商品的边沿效用是递减的,所以,消费者对每增加一单位商品所愿意支付的最高价钱(即需求价钱)也是递减的,即消费者对该商品的需求曲线是向右下方倾斜的.
(2)在只斟酌一种商品的前提下,消费者实现效用最大化的平衡条件是eq\f(MU,P)=λ.由此平衡条件出发,可以盘算出需求价钱,并推导与懂得
(1)中的消费者的向右下方倾斜的需求曲线.
14.用图说明序数效用论者对消费者平衡条件的剖析,以及在此基本上对需求曲线的推导.
解答:
要点如下:
(1)本题涉及的两个基天职析对象是无差别曲线和预算线.无差别曲线是用来暗示消费者偏好相同的两种商品的全部组合的,其斜率的绝对值可以用商品的边沿替代率MRS来暗示.预算线暗示在消费者收入和商品价钱给定的条件下,消费者全部收入所能购置到的两种商品的全部组合,其斜率为-eq\f(P1,P2).
(2)消费者效用最大化的平衡点产生在一条给定的预算线与无数条无差别曲线中的一条相切的切点上,于是,消费者效用最大化的平衡条件为:
MRS12=eq\f(P1,P2),或者eq\f(MU1,P1)=eq\f(MU2,P2).
(3)在
(2)的基本上进行比较静态剖析,即令一种商品的价钱产生变更,即可以得到该商品的价钱—消费曲线.价钱—消费曲线是在其他条件不变的前提下,与某一种商品的不合价钱水平相接洽的消费者效用最大化的平衡点的轨迹.如图3—8(a)所示.
图3—8
(4)在(3)的基本上,将一种商品的不合价钱水平和相应的最优消费量即需求量之间的一一对应关系描写在同一坐标平面上,就可以得到需求曲线,如图3—8(b)所示.显然有:
需求曲线一般斜率为负,暗示商品的价钱和需求量成反偏向变更;并且,在需求曲线上与每一价钱水平相对应的需求量都是可以在该价钱水平给消费者带来最大效用的最优消费数量.
15.分离用图剖析正常物品、低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应,并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征.
解答:
要点如下:
(1)当一种商品的价钱产生变更时所引起的该商品需求量的变更可以分化为两个部分,它们分离是替代效应和收入效应.替代效应是指仅斟酌商品相对价钱变更所导致的该商品需求量的变更,而不斟酌实际收入水平(即效用水平)变更对需求量的影响.收入效应则相反,它仅斟酌实际收入水平(即效用水平)变更导致的该商品需求量的变更,而不斟酌相对价钱变更对需求量的影响.
(2)无论是剖析正常物品照样低档物品,甚至吉芬物品的替代效应和收入效应,都需要运用的一个重要剖析对象即抵偿预算线.在图3—9中,以正常物品的情况为例加以说明.图3—9中,初始的消费者效用最大化的平衡点为a点,相应的正常物品(即商品1)的需求为x11.价钱P1下降以后的效用最大化的平衡点为b点,相应的需求量为x12.即P1下降的总效应为x11x12,且为增加量,故有总效应与价钱成反偏向变更.
图3—9
然后,作一条平行于预算线AB′且与原有的无差别曲线U1相切的抵偿预算线FG(以虚线暗示),相应的效用最大化的平衡点为c点,并且注意,此时b点的位置一定处于c点的右边.于是,依据
(1)中的阐述,则可以得到:
给定的代表原有效用水平的无差别曲线U1与代表P1变更前后的不合相对价钱的(即斜率不合的)预算线AB、FG分离相切的a、c两点,暗示的是替代效应,即替代效应为x11x13,且为增加量,故有替代效应与价钱成反偏向变更;代表不合效用水平的无差别曲线U1和U2分离与两条代表相同相对价钱的(即斜率相同的)预算线FG、AB′相切的c、b两点,暗示的是收入效应,即收入效应为x13x12,且为增加量,故有收入效应与价钱成反偏向变更.
最后,由于正常物品的替代效应和收入效应都分离与价钱成反偏向变更,所以,正常物品的总效应与价钱一定成反偏向变更,由此可知,正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的.
(3)关于低档物品和吉芬物品.在此略去关于这两类商品的具体的图示剖析.需要指出的要点是,这两类商品的替代效应都与价钱成反偏向变更,而收入效应都与价钱成同偏向变更,其中,大多半低档物品的替代效应大于收入效应,而低档物品中的特殊商品吉芬物品的收入效应大于替代效应.于是,大多半低档物品的总效应与价钱成反偏向变更,相应的需求曲线向右下方倾斜,低档物品中少数的特殊商品即吉芬物品的总效应与价钱成同偏向的变更,相应的需求曲线向右上方倾斜.
(4)基于(3)的剖析,所以,在读者自己应用与图3—9相似的图形来剖析低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应时,在一般的低档物品的情况下,一定要使b点落在a、c两点之间,而在吉芬物品的情况下,则一定要使b点落在a点的左边.唯有