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兰德纸草书长544cm，宽33cm,共载有85个问题，莫斯科纸草书长544cm，宽8cm，共载有25个问题。
5．古埃和人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号，古埃和人的记数系统是叠加制而不是位值制。
即，十进叠加记数制。
6．古埃和纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这一问题的方法是试位法。
7．古埃和人通过具体问题说明了高为h,底边长为a和b的正四棱台的体积公式是V=1/3（a*a+a*b+b*b）*h著名得数学史家贝尔形象的将这一古埃和数学杰出称为“最伟大的埃和金字塔”。
8．古巴比伦使用的文字称为楔形文字；
古巴比伦的记数采用60以下十进制，60以上60进位值制。
9．我们介绍古巴比伦和古埃和的数学，可以看出，他们的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。
古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对而言，他们的以60进位记数法为基础的的算术与代数较为领先。
而古埃和人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比较突出。
这些表明，数学从他的萌芽之日起，就是以实际需要为基础的，离开了实际需要，数学研究就缺少了直接动力，数学也就不能迅速发展了。
需要指出的是，在古巴比伦或古埃和的数学中，虽然出现了一些令人信服的数表和重要的公式，但他们的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观察的结果以和某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们察觉，更谈不上掌握了。
在古埃和和古巴比伦时代，数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量的问题的工具或者方法，其所给的仅仅是“如此去做”，而基本没有涉和到“为什么这样做”，这标志着他们的数学还远没有进入到理性思维的阶段，因此，从这个意义上来讲，数学作为一门学科还远远没有建立起来，正如美国著名数学史家M。
克莱因在《古今数学思想》一书中所说的那样，“按这个标准说，埃和人和巴比伦人好比粗陋的木匠，而希腊人则是大建筑师。
”真正科学意义下的理性数学，是由希腊人为我们提供的。
古希腊部分
10.希腊数学达到了欧洲数学的顶峰。
11.公元前6---3世纪期间希腊出现的最有影响的学派：
爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派、柏拉图学派。
12.泰勒斯——
（1）希腊七贤之首
（2）享有“希腊科学之父”创立了古希腊历史上第一个数学学派——爱奥尼亚学派
（3）发现命题：
a圆被任意直径二等分；
b等腰三角形的两底角相等；
c两条直线相交，对顶角相等；
d两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等；
e内接于圆的角必为直角。
其中“内接于圆的角必为直角”称为泰勒斯定理
（4）泰勒斯将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了数学的基础，使他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的荣誉。
被西方学者称为“测量学的鼻祖”。
13.毕达哥拉斯学派创始人为毕达哥拉斯。
有许多的几何成就，其信条却是“万物皆数”。
将1命名为“原因数”。
他们信奉和崇拜10，认为10是完美和谐的标志。
14.完全数：
一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和；
如28=1+2+4+7+14
盈数：
一个数大于其（除本身以外的）全部因子之和；
如10》1+2+5
亏数：
一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和；
如12《1+2+3+4+6
亲和数：
两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数；
如：
220的因子和1+2+4+5+10+20+22+44+55+110=284；
284的因子和1+2+4+71+142=220.
费马发现（17926和18416）笛卡尔发现第三对；
瑞士数学家欧拉发现了30到60对；
16岁男孩帕加尼尼1886年发现（1184和1210）
形数：
（形与数的结合物）图形中点的个数。
三角形形数=1/2n（n+1）；
正方形形数=n*n；
正五边形的形数n/2（3n-1）.
梅森数：
2的n次方减1；
如果2的n次方减1是素数，则2的n-1次乘以（2的n次减1）是完全数
15.按照“万物皆数”的观点，毕达哥拉斯学派相信：
任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。
这在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段，称这样的两条线段为“可公度量”，即有公共的度量单位。
16.巧辩学派的三大尺规作图问题——只允许用圆规和直尺做一个正方形，使其与给定的圆面积相等；
（化圆为方）
给定立方体的一边，求作另一立方体之边，使后者体积两倍于前者体积；
（倍立方）
三等分任一已知角。
（三等分角）
17.2000多年来，三大问题的研究花费了人们的大量心血。
直至1831年，法国数学家万采尔首先证明了倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决，接着德国数学家林德曼于1882年又证明了∏的超越性，因而否定了用尺规化圆为方的可能性，这三大问题才彻底得以解决。
18.柏拉图学派杰出数学家欧多克索斯——
（1）数学成果成为欧几里得《几何原本》5、6、7卷的主要内容
（2）运用公理法建立了比例理论，处理了“不可公度量”即无理数问题
（3）引入了“量”的概念
（4）定义了两个量之比和比例即两个比相等的关系
（5）进一步完善了安蒂丰的“穷竭法”，并将“穷竭法”改造成为一种严格的证明方法
（6）研究了“中末比”问题；
解决了立方倍积的问题
19.欧多克索斯的学生梅奈赫莫斯（柏拉图学派）——圆锥曲线理论的创始人
20.亚里士多德（柏拉图学派）——
（1）建立了形式逻辑学，把形式逻辑学规范化系统化，使之上升为一门学科
（2）提出了矛盾律、排中律等思维的规律
（3）把逻辑学理解为论证的学问
（4）研究了三段论法的格和规则
（5）著作中有许多的几何定理：
多边形外角之和等于四直角；
在包围给定面积的所有平面图形中圆的周长最小。
21.亚历山大时期的数学发展有两个方向——
（1）沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向，继续致力于纯粹数学理论的研究，并使之系统化，其代表人物有欧几里得、阿波罗尼斯。
（2）以阿基米德为代表，致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的结合，在继承古典时期研究成果的基础上，不断开拓新的领域。
其中，阿基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人。
22.欧几里得——
（1）勤奋的学者，以满腔的热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。
为此，他首先收集整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并予以重新证明，使其达到无懈可击的地步。
然而，他做出了自己的伟大创造：
对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑的严密的按演绎方式组织命题和其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》，是在公元前300年左右完成的。
（2）对天文学和光学都有研究，其他纯数学著作《数据》、在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集，共95个问题；
《论图形的分割》，研究将图形分割后成比例的问题，共36个问题。
23.《几何原本》中第五公设——若一直线与两直线相交，且同侧所交两内角和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
24.《几何原本》——古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是月300年来希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。
自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。
它经历多次修订和翻译，自1482年第一次印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本，除了《圣经》外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。
但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的。
诚然，正如现代数学家所指出的那样，《几何原本》存在着一些结构上的缺陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值，他的影响之深远，使得欧几里得与几何学几乎成了同义词。
它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的瑰宝。
25．阿基米德——用力学的方法探索数学结论的基本思想是：
为了找出所求图形的面积和体积，可将它分成很多窄的平行条和厚的平行层，接着，将这些条或层挂在杠杆的一端，使它平衡与体积和重心为已知的图形，利用杠杆平衡原理和已知图形的面积、体积，便可探求出未知图形的面积和体积来。
26阿波罗尼斯——《圆锥曲线》P33页
27.希腊数学的衰落——自阿波尼洛斯之后开始走下坡路，但也有些数学成就。
代数的进展时产生了代数符号，第一次提出代数符号的是丢番图，其主要著作是《算术》，堪称古代数学的典籍。
丢番图引入了1——6次幂的符号。
丢番图是该时期解代数方程的大师，在《算术》中，绝大多数问题是不定方程，考察的范围是1——4次，在解题时，丢番图经常以高超的技巧利用公式。
28.托勒密在总结希帕恰斯和梅乃劳斯工作的基础上，写成三角学的最早系统性的论著《天文学大成》简称《大成》。
印度部分
29.摩诃毗罗——著《数学九章》，其内容只要是算术运算，开平方，和开立方，二次方程和组合问题，也讲到解二次不定方程等。
30.婆什伽罗——对天文学和数学都有研究，是古代印度最著名的数学家，著有《丽罗娃提》和《算法本原》。
这两部著作除了整理前人的成果之外还论述了有理数的四则运算、线性方程组和不定方程。
他指出二次方程有两个根，并对形如Cx*x+1=y*y的二次不定方程提出解法。
31.在印度数学中最值得称道的是印度数码和10进位值制记数法。
人们所说的阿拉伯数码实际上最早是由印度人发明的，这是她们对数学乃至整个人类文化的重要贡献。
32.印度人很早就引入了负数。
婆罗门笈多在628年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则，婆什伽罗又在《根
的计算》中又进一步讨论了负数，他把负数叫做“负债”或“损失”，并用在数码中加一点表示负数，在数码的
右下角加一点表示减号。
不过，当一个问题得出正负两个解时，他会解释说“负数解不合适，因为人们不赞成负
数，故应舍弃”。
阿拉伯部分
33.阿尔·
花拉子米——
（1）出生于花拉子米城，并以此得名，曾担任过阿拔斯王朝第五代哈里发的司书官，以博古通今著称。
他仔细研究过印度天文学，并根据印度天文表中的资料，编辑了阿拉伯最古老的天文表。
（2）他写的书涉和天文、历法、算术、代数等多个领域，其中最著名的是《代数学》。
这本书无论在内容还是风格上都代表了一个新的起点，首先把代数学作为一门有别于其他学科的、独立的数学分支来处理。
此书内容分为三个部分:
第一部分讲述现代意义下的初等代数；
第二部分论和各种实用算术问题；
第三部分列举了有关继承遗产的各种类型的问题。
（3）花拉子米知道二次方程有两个根，但是他只取正根，放弃负根和零根。
正因为系数和根都限取正数，所以无法将6种类型的方程联系起来。
但在花拉子米的著作中，一个代数式中的项即可指数（包括无理数）也可指几何量，这正是优于希腊代数的地方。
（4）花拉子米采取演算与论证并举的方式来阐述解方程的过程。
（5）他在讨论了6种类型的方程后指出：
通过“复原”与“对消”两种变换，可将其他形式的一次、二次方程化为这6种标准方程。
（6）另一本著作《算术》介绍印度数码的计算方法，通过这本书，欧洲人才了解到印度的数码和记数系统。
（7）放弃了符号
（8）《算术》中给出了“0”，以和0在十进位制数值中的作用和其运算规则，书中除整数运算外，还包括分数和其运算。
在叙述主要用于天文学的60进制分数运算法则的同时，也给出了普通分数的运算，不过他在通分时取分母的乘积为公分母，似乎也不会约分。
34.奥玛·
海雅姆——
（1）有名的数学家和天文学家，也是著名的诗人和思想家。
（2）与人合作编写的中世纪最精密的哲拉里历。
（3）他的《代数学》比花拉子米的《代数学》有明显的进步。
在这部著作中，他详尽的研究了三次方程的根的几何作图法，提出了利用圆锥曲线图形求解的理论，这是阿拉伯数学最大的成就之一。
（4）在《代数学》中用圆锥曲线来解代数方程，是阿拉伯数学中最有创见的成就之一。
35.从8世纪到14世纪期间，在欧洲的数学发展处于低潮时期，阿拉伯人在数学方面年取得了显著的成绩，虽然其创造性和深刻性比不上希腊数学，但相对于当时的欧洲和地中海地域来说，他们算得上最有学问的人了，更重要的是，他们担负起精神财富飞保存着和传输者的使命，把印度和希腊的数学传播到欧洲，对欧洲乃至整个世界数学的发展作出了巨大的贡献。
中国古代数学部分
36.在中国第二个奴隶制王朝商代，甲骨文已经成熟，中国当时已采用了“十进位值制记数法”，并有十、百、千、万等专用的大数名称，这是对世界数学最伟大的贡献。
37.据汉时燕人韩婴所撰写的《韩诗外传》介绍，标志着乘除法运算法则成熟的“九九歌”在春秋时代已相当普和。
38.算筹是中国古代的计算工具，从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年，用算筹表示数有纵横两种摆法P51.
39.汉唐时期——中国传统数学体系形成的背景：
从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以和大量兴修水利工程和水陆交通的过程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力，数学也有了长足的发展，其主要标志是《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成。
40.比《九章算术》稍早且流传下来的一部重要著作是《周髀算经》。
该书原名《周髀》，大约成书于公元前2世纪
的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周。
唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书时将其列入《算经十书》，
并改名为《周髀算经》。
严格的讲它并不是一本数学著作，而是一本介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它
包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理和其在天文测量中的应用。
41.中国关于勾股定理的证明最早是由战国时期的数学家赵爽给出的。
赵爽是中国历史上首次对《周髀算经》进行认真研究和注释的学者。
他的主要工作是：
一为文字解释；
二为较详细的数学理论推演；
三是补图。
其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。
42.《九章算术》——
（1）标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章算术》的成书。
该书的作者和成书年代难以确切的考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元前1世纪初。
中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功。
也许正是这种原因，决定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系。
（2）采用问题集的形式，共246个问题，基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题。
这些问题分别隶属于：
方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。
（3）注重实际问题和长于计算的特点，对中国传统数学的发展有着极其深刻的影响，可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具有中国特色的算法体系的形成即始于《九章算术》。
其成书后，便成为中国传统数学的经典，特别是唐代以来，经官方认证该书成为“算经十书”中最重要的一部，成为后来数学家们学习、研究和著述的依据。
43.刘徽的数学贡献——
（1）刘徽的《九章算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法，发展《九章算术》的理论，完善《九章算术》的体系，作出了杰出的贡献。
（2）刘徽对《九章算术》中未加以论证的公式（方法）和原理加以证明或阐说，特别是对其中的经验公式或错误公式分别从理论上指出它的近似程度或错误原因，并提出一些理论推断。
对于几何概念和命题，则借助于图形和应用代数与几何相结合的方法，进行一般论证或演绎推理。
公元前263年，刘徽的《九章算术注》终于问世了，书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献。
（3）在算术方面，阐发了《九章算术》中的分数理论，他的分数的意义、表示方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平，并以接近于近代的成熟程度。
他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、盈不足方法等，成为中国传统算法理论的发展的重要基础，并传入印度、阿拉伯和欧洲，对于这些地区数学的发展发生了较大的影响。
（4）在代数方面，他第一个给出了方程的定义并揭发了方程组的同解原理，对于正负数，刘徽的定义可以说是经典性的。
他把正与负看作是相对存在的数的两种情况，从这一认识出发，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法。
他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方法与开立方法做出了直观解释。
此外，他由取平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数——斯蒂文的小数记法早了1300多年。
（5）在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。
他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明，这些方法包括“圆形割补法”、“代数法”、“极限法”以和“无穷小分割法”等，
（6）刘徽的割圆术的基本思想是“化圆为方”；
体积理论；
球体积计算；
勾股测量。
44.祖冲之继承了刘徽的思想，其最为突出的成就就是对圆周率值的推算。
《隋书·
律历志》记载着他对圆周率研究的成果∏≈3.1415926.由于中国古代习惯使用分数，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数值：
密率355/113；
约率22/7.
45.祖冲之父子所用的方法论证严谨，推到完善，无懈可击；
同时，祖暅还将其推到过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用的不可分量原理，总结提炼成一般的命题：
“缘幂势既同，则机不容异”，即夹在两个平行平面的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体体积相等。
它被称为“祖暅原理”，这实际上也是西方数学界所谓的“卡瓦列里原理”。
这一原理在西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列里发现，比祖暅晚1100多年。
46.《算经十书》包括：
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《缉古算经》。
47.增乘开方包括：
缩根、估根、减根、倍根。
48.贾宪的“增乘开方”尽管已经可以用于解高次方程，但贾宪本人却只是单纯地用它来处理开放
问题，而且在他以和以前的中国数学家的论述中，由开方引出的方程其系数都是正数。
虽然12世纪
北宋学者刘益对方程系数必须为正的限制已经有所突破，并在他所著的《议古根源》一书中允许方程
的系数为负数，但由于该书的亡失，其方法并没有流传下来。
将“增乘开方”推广到高次方程一般情
况的是南宋时期的数学家秦九韶。
49.中国剩余定理P71
50.“天元术”和“四元术”是什么？
由谁发明的？
P75
（1）“天元术”的产生标志着中国传统数学发展到一个新的高度，这就是半符号代数的产生。
由于高次方程数值解法的发展，必然引起人们对列方程方法的探求。
据研究，这一先进的数学方法产生于12世纪，李冶的《测圆海镜》《益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作。
（2）元代数学家朱世杰推广了“天元术”，提出了用“四元术”来解四元方程，可以说这是中国古代筹算术数学的顶峰。
（3）朱世杰：
杰出的数学家和数学教育家，精通《九章算术》。
著有《算学启蒙》，《四元玉鉴》。
其中《四元玉鉴》主要内容之一就是对多元方程的研究，给出了四元高次方程的一种固定记法，见书P76.
（4）“四元术”中最精彩的就是所谓的“相消法”，即由该方程组经过变形得到一个一元的高次方程。
其主要步骤是：
剔而消之、互隐通分消之、内外相消三步。
朱世杰的相消法是中国数学史上一项杰出的成就。
在西方，由方程f（x,y）=0与g（x,y）=0消去一个未知数的方法是法国的贝佐特于1764年给出初步方案，1779年在《代数方程的一般理论》一书中才正式发表，比朱世杰晚了近500年，因此，美国科学史家萨顿称朱世杰是贯穿古今的一位最杰出的数学家。
（5）这个时期比较著名的数学家还有博学多才的沈括，著有《梦溪笔谈》，被李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。
51.中国传统数学的特点P79——
（1）追求实用
（2）注重算法
（3）寓理于算
欧洲文艺复兴时期的数学
1.这个时期最出色的数学家是意大利的列昂那多·
斐波那契。
1202年，斐波那契综合阿拉伯和希腊资料著成一部重要著作在《算盘书》，共15章，主要介绍算术与代数，内容非常丰富。
包括：
印度-阿拉伯数码的读法与写法；
整数与分数的计算；
平方根与立方根的求法；
线性方程组和二次方程的解法等，给出了数学在实物交易、合股、比例法和测量几何中的应用。
2.16世纪最为壮观的数学成就就是意大利的数学家们关于三、四次方程解法的研究。
3.在三次方程被解决不久后，一般四次方程的代数解法也被发现了。
1540年，意大利数学家达科伊向卡当提出了一个可以导致四次方程求解的问题（把10分成3个数，使他们成连比，且前两数的乘积为6），这个问题最终由卡当的学生斐拉里解决。
卡当在《大法》一书中也详细的介绍了这个被称为“斐拉里方法”的解法。
4.用字母表示数，尽管在今天已经是初中代数的一个最基本的内容，但在数学发展史上却是一件划时代的事情，他给数学思维插上了翅膀，使得原来在算术中许多需要极高技巧的算法变成了简单的机械性的操作，也为数
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