在AC上取点E，∴PC＜（AC－AE）＋PB
使AE＝AB。
∴PC－PB＜AC－AB。
∵AE＝AB
AP＝AP
C
∠EAP＝∠BAE，
∴△EAP≌△BAP
A
PD
∴PE＝PB。
PC＜EC＋PE
B
第4页共22页
8.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：
AC-AB=2BE
证明：
∴点E一定在直线BD上，
在AC上取一点D，使得角DBC=角C在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD
∵∠ABC=3∠C∴点E也是BD的中点
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠3C-∠C=2∠C；∴BD=2BE
∵∠ADB=∠C+∠DBC=∠2C;∵BD=CD=AC-AB
∴AB=AD∴AC-AB=2BE
∴AC–AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平
分线，
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
9.如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：
AD⊥BC．
解：
延长AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
10.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：
∠OAB=∠OBA
证明：
∵OM平分∠POQ
∴∠POM＝∠QOM
∵MA⊥OP，MB⊥OQ
第5页共22页
∴∠MAO＝∠MBO＝90
∵OM＝OM
∴△AOM≌△BOM（AAS）
∴OA＝OB
∵ON＝ON
∴△AON≌△BON（SAS）
∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB＝180
∴∠ONA＝∠ONB＝90
∴OM⊥AB
11.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于
D．求证：
AD+BC=AB．
P
C
证明：
E
在AB上取F，使AF＝AD，连接EF
D
∵AE平分∠DAB
∴∠DAE=∠FAE
AB
在⊿ADE和⊿AFE中
AD＝AF
∠DAE=∠FAE
AE=AE
∴⊿ADE≌⊿AFE（SAS）
∴∠ADE=∠AFE
∵AB//CD
∴∠ADE+∠C=180o
∵∠AFE+∠BFE=180o
∴∠C=∠BFE
∵BE平分∠ABC
∠CBE=∠FBE
在⊿BFE和⊿BCE中
∠C=∠BFE
∠CBE=∠FBE
CE=CE
∴⊿BFE≌⊿BCE（AAS）
∴CB=BF
∴AB=AF+FB=AD+BC
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12.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，
AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：
MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成
立请给予证明；若不成立请说明理由．
（1）证：
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）
∴DE=BF．
在△DEM和△BFM中
∠DEM=∠BFM
∠DME=∠BMF
DE=BF
∴△DEM≌△BFM（AAS）
∴MB=M，DME=MF
（2）证：
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）
∴DE=BF．
在△DEM和△BFM中
∠DEM=∠BFM
∠DME=∠BMF
DE=BF
∴△DEM≌△BFM（AAS）
∴MB=M，DME=MF
13如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C
第7页共22页
点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：
BD=2CE．
F
证：
∵∠CEB=∠CAB=9°0
∠ADB=∠CDE
A
在△ABD中，∠ABD=180°-∠CAB-∠ADB
E
在△CED中，∠DCE=180°-∠CEB-∠CDE
D
∴∠ABD=∠DCE
BC
在△ABD和△ACF中
∠DAB=∠CAF
AB=AC
∠ABD=∠DCF
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=CF
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠FBE=∠CBE
在△FBE和△CBE中
∠FBE=∠CBE
BE=BE
∠BEF=∠BEC
∴△FBE≌△CBE（ASA）
∴CE=FECF=2CE
∴BD=2CE
13.如图：
DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求证：
△AED≌△BFC。
证明：
∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，
即DE=C，F
EF
DC
在△AED和△BFC中，
∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF
∴△AED≌△BFC（SAS）
AB
14.如图：
AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：
AM是△ABC的中线。
证明：
∵BE‖CF∵BE=CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∴△BEM≌△CFM
第8页共22页
∴BM=CM
A
∴AM是△ABC的中线
F
B
CM
E
15.AB=AC，DB=D，CF是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
证：
在△ABD与△ACD中
AB=AC∴△FBD≌△FCD（SAS）
BD=DC∴BF=FC
AD=AD
A
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠ADB=∠ADC
D
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BC
BD=DC
∠BDF=∠FDC
F
DF=DF
16.如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
AF=DE。
证：
∵CF=CE+EFAB=CD
EB=EF+FB∠ABF=∠DCE
又∵CE=FBBF=CE
∴CF=EB∴△ABF≌△CDE（SAS）
在△CDF与△ABE中∴AF=ED
AB=CD
A
B
AE=DF
F
BE=CF
∴△CDF≌△ABE（SSS）
∴∠DCB=∠ABF
E
在△ABF与△CDE中
C
D
17.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路
旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好
在一条直线上.
证明：
连接EF∵AB∥CD
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∴∠B=∠C∴△BEM≌△CFM（SAS）
∵M是BC中点∴CF=BE
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
18.已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
证：
连接ACDE=BF
∵在△ADC和△ABC中∴△ADE≌△ABF（SAS）
AD=AB∴AE=AF
DC=BC
AC=AC
∴△ADC≌△ABC（SSS）
D
∴∠B=∠D
E
∵E、F分别是DC、BC的中点
AC
又∵BC＝DC
F
∴DE=BF
B
∵在△ADE和△ABF中
AD=AB
∠D=∠B
19.如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
证明：
∵在△ADC和△ABC中∴△DEC≌△BEC（SAS）
∠BAC=∠DAC∴∠DEC=∠BEC
∠BCA=∠DCA
AC=AC
∴△ADC≌△ABC（AAS）
D
∵AB=AD，BC=CD
在△DEC与△BEC中
A
1
2
E
5
6
3
4
C
CE=CE
B
∠BCA=∠DCA
BC=CD
20.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：
DE=DF．
证明：
∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠FAD
第10页共22页
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
A
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
E
F
AD=AD
BDC
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
21.如图：
AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=M。
F求证：
MB=MC
证明：
∴MB=M．C
∵AB=AC
A
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB，MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=9°0
在△BME和△CMF中
E
F
∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=9°0ME=MF
∴△BME≌△CMF（AAS）
BMC
22.在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，
BEMN于E.
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①ADC≌CEB；
②DEADBE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成
立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=9°0，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=9°0．
∴∠CAD=∠BCE．
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB．
第11页共22页
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE+CD=AD+．BE
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=C﹣ECD=AD﹣BE
23.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF
F
EA
M
BC
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）如图，根据
（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=9°0，
在△BDM中，∠BMD=18°0-∠ABF-∠BDM=18°0-90°=90°，
∴EC⊥BF．
24.如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=A，CCN=A。
B求证：
（1）AM=A；N
（2）AM⊥AN。
第12页共22页
A
N
4
3
F
E
M2
1
BC
证明：
（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=A，CCN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=9°0
∴AM⊥AN
25.已知：
如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF．
求证：
AB∥CD．
证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC
DC
∴∠CED=∠AFB=90o
F
又∵AB=CD，BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）
E
AB
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
第13页共22页
1、如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
试问BE与DF平行吗？
为什么？
2、如图，△ABC中，∠A=36°，∠ABC=40°，BE平分∠ABC，∠E=18。
试证明CE平分∠ACD.
3、已知：
如图∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F吗？
试说明理由EF
D
2
HG
1
4、如图AB∥CD∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE；
CAB
5、已知AB∥CD，直线a交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，P是直线CD上的一个动点，
（点P不与F重合）
（1）当点P在射线FC上移动时，∠FMP+∠FPM=∠AEF成立吗？
请说明理由。
（2）当点P在射线FD上移动时，∠FMP+∠FPM与∠AEF有什么关系？
并说明你的理由。
第14页共22页
6、如图，E、F分别AB、CD是上一点，2D，1与C
互余，ECAF.试说明AB//CD
7、如图，已知ABC，ADBC于D，E为AB上一点，EFBC于F，DG//BA交CA于G.
求证12.
8、如图5-29，已知：
AB//CD，求证：
B+D+BED=360（至少用三种方法）
AB
E
CD
9、如图，已知AB∥CD，∠1：
∠2：
∠3=1：
2：
3，求证：
BA平分∠EBF
E
A
2
1
3
CFD
10、已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD,求证：
∠EGF=90°
AEB
1
H
3
4
G
2
CF
D
26.如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证：
AB∥CD。
A
B
D
C
27.如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：
∠AGD=∠ACB。
第15页共22页
A
D
G
/
F
2
3
BEC
28.已知∠1=∠2，∠1=∠3，求证：
CD∥OB。
A
PC
3D
/
2
OB
29.如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：
CD∥OP。
D
P
/
2
CO
B
30.已知∠1=∠2，∠2=∠3，求证：
CD∥EB。
C
D3
2
/
OB
E
31.如图∠1=∠2，求证：
∠3=∠4。
/3
AB
CD
42
32.已知∠A=∠E，FG∥DE，求证：
∠CFG=∠B。
A
B
第16页共22页
C
G
F
E
D
0，求证：
a∥b，c∥d。
18.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=180
cd
1
a
b
23
33.如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：
EF平分∠BED。
A
D
F
E
BC
0，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350，求证：
l
20、已知，如图，∠1=45
1∥l2，l3∥l5，l2∥l4。
l
3
l
1
1
l
2
23
44
l
5
0，求证：
AB∥CD。
21、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=90
AB
2
1
E
3
4
CD
22、如图，∠A=2∠B，∠D=2∠C，求证：
AB∥CD。
CD
O
第17页共22页
A
B
23、如图，EF∥GH，AB、AD、CB、CD是∠EAC、∠FAC、∠GCA、∠HCA的平分线，求证：
∠
BAD=∠B=∠C=∠D。
A
F
E
BD
GH
C
24、已知，如图，B、E、C在同一直线上，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A+∠D=90
0
，求证：
AE⊥
DE，AB∥CD。
A
D
BC
E
25、如图，已知，BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=65
0，∠EDF=500，，求
证：
BC∥AE。
E
C
D
AB
26、已知，∠D=90
0，∠1=∠2，EF⊥CD，求证：
∠3=∠B。
AD
1
3
EF
2
BC
27、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠B=∠3，AC∥DE，求证：
AD∥BC。
A
1
3
D
2
BC
E
28．已知：
BC＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠D，F是CD中点，求证：
∠
1＝∠2
第18页共22页
29．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：
BC＝AB＋DC。
30．已知：
AB＝CD，∠A＝∠D，求证：
∠B＝∠C.
31．如图：
DF＝CE，AD＝BC，∠D＝∠C。
求证：
△AED≌△BFC。
32．如图：
AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE＝CF。
求证：
AM是△
ABC的中线。
33．AB＝AC，DB＝DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF＝CF
34．如图：
AB＝CD，AE＝DF，CE＝FB。
求证：
AF＝DE。
第19页共22页
35．已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
36．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证:
∠5＝∠6．
37．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜
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