《状元之路》届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分10函数的图像.docx
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《状元之路》届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分10函数的图像
开卷速查（十） 函数的图像
A级 基础巩固练
1．[2014·福建]若函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图像如图所示，则下列函数图像正确的是（ ）
A
B
C
D
解析：
因为函数y＝logax过点（3,1），所以1＝loga3，解得a＝3，所以y＝3－x不可能过点（1,3），排除A；y＝（－x）3＝－x3不可能过点（1,1），排除C；y＝log3（－x）不可能过点（－3，－1），排除D.故选B.
答案：
B
2．[2014·课标全国Ⅰ]如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图像大致为（ ）
A
B
C
D
解析：
由题意知，f（x）＝|cosx|·sinx，当x∈
时，f（x）＝cosx·sinx＝
sin2x；当x∈
时，f（x）＝－cosx·sinx＝－
sin2x，故选B.
答案：
B
3．[2014·浙江]在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x＞0），g（x）＝logax的图像可能是（ ）
A
B
C
D
解析：
当a＞1时，函数f（x）＝xa（x＞0）单调递增，函数g（x）＝logax单调递增，且过点（1,0），由幂函数的图像性质可知C错；当0＜a＜1时，函数f（x）＝xa（x＞0）单调递增，函数g（x）＝logax单调递减，且过点（1,0），排除A，又由幂函数的图像性质可知B错，因此选D.
答案：
D
4．函数f（x）＝sinx·ln|x|的部分图像为（ ）
A
B
C
D
解析：
∵f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且f（－x）＝sin（－x）·ln|－x|＝－sinx·ln|x|＝－f（x），∴f（x）为奇函数，其图像关于原点对称，排除C、D两选项．又∵f
（1）＝0，且当0＜x＜1时，f（x）＜0，∴排除B选项，故选A.
答案：
A
5．设D＝{（x，y）|（x－y）（x＋y）≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t（t∈[－1,1]）之间的部分的面积”为S，则函数S＝f（t）的图像的大致形状为（ ）
A
B
C
D
解析：
如图平面区域D为阴影部分，当t＝－1时，S＝0，排除D项；当t＝－
时，S>
Smax，排除A、B.
答案：
C
6．已知f（x）的定义域为R，且f（x）＝
若方程f（x）＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为（ ）
A．（－∞，1） B．（－∞，1]
C．（0,1） D.（－∞，＋∞）
解析：
x≤0时，f（x）＝2－x－1,0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，f（x）＝f（x－1）＝2－（x－1）－1，故x＞0时，f（x）是周期函数．如图：
欲使方程f（x）＝x＋a有两个不同的实数解，即函数f（x）的图像与直线y＝x＋a有两个不同的交点，故a＜1.
答案：
A
7．函数f（x）＝
图像的对称中心为__________．
解析：
f（x）＝
＝1＋
，把函数y＝
的图像向上平移1个单位，即得函数f（x）的图像．由y＝
的对称中心为（0,0），可得平移后的f（x）图像的对称中心为（0,1）．
答案：
（0,1）
8．如图，定义在[－1，＋∞）上的函数f（x）的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为__________．
解析：
当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，
则
得
∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a（x－2）2－1，
∵图像过点（4,0），
∴0＝a（4－2）2－1，得a＝
.
答案：
f（x）＝
9．已知函数f（x）＝
若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__________．
解析：
画出分段函数f（x）的图像如图所示，结合图像可以看出，若f（x）＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f（x）的图像与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为（0,1）．
答案：
（0,1）
10．已知函数f（x）＝|x2－4x＋3|.
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．
解析：
f（x）＝
作出图像如图所示．
（1）f（x）在[1,2]，[3，＋∞）上为增函数，在（－∞，1），（2,3）上是减函数．
（2）由图像可知，y＝f（x）与y＝m图像有四个不同的交点，则0＜m＜1，∴集合M＝{m|0＜m＜1}．
B级 能力提升练
11．设函数y＝f（x）的定义域为R，则函数y＝f（x－1）与y＝f（1－x）的图像关于（ ）
A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称 D.直线x＝1对称
解析：
f（x－1）的图像是f（x）的图像向右平移1个单位而得到的，又f（1－x）＝f[－（x－1）]的图像是f（－x）的图像也向右平移1个单位而得到的，因f（x）与f（－x）的图像关于y轴（即直线x＝0）对称，因此，f（x－1）与f[－（x－1）]的图像关于直线x＝1对称，故选D项．
答案：
D
12．[2014·湖南]已知函数f（x）＝x2＋ex－
（x＜0）与g（x）＝x2＋ln（x＋a）的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）
A.
B.（－∞，
）
C.
D.
解析：
由题意可得，当x＞0时，y＝f（－x）与y＝g（x）的图像有交点，即g（x）＝f（－x）有正解，即x2＋ln（x＋a）＝（－x）2＋e－x－
有正解，即e－x－ln（x＋a）－
＝0有正解，令F（x）＝e－x－ln（x＋a）－
，则F′（x）＝－e－x－
＜0，故函数F（x）＝e－x－ln（x＋a）－
在（0，＋∞）上是单调递减的，要使方程g（x）＝f（－x）有正解，则存在正数x使得F（x）≥0，即e－x－ln（x＋a）－
≥0，所以a≤ee－x－
－x，又y＝ee－0－
－x在（0，＋∞）上单调递减，所以a＜ee－x－
－0＝e
，故选B.
答案：
B
13．设函数f（x）＝x＋
（x∈（－∞，0）∪（0，＋∞））的图像为C1，C1关于点A（2,1）对称的图像为C2，C2对应的函数为g（x）．
（1）求函数y＝g（x）的解析式，并确定其定义域；
（2）若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标．
解析：
（1）设P（u，v）是y＝x＋
上任意一点，
∴v＝u＋
①.
设P关于A（2,1）对称的点为Q（x，y），
∴
⇒
代入①得2－y＝4－x＋
⇒y＝x－2＋
.
∴g（x）＝x－2＋
（x∈（－∞，4）∪（4，＋∞））．
（2）联立
⇒x2－（b＋6）x＋4b＋9＝0，
∴Δ＝（b＋6）2－4×（4b＋9）＝b2－4b＝0⇒b＝0或b＝4.
∴当b＝0时，交点为（3,0）；当b＝4时，交点为（5,4）．
14．已知函数f（x）＝x|m－x|（x∈R），且f（4）＝0.
（1）求实数m的值；
（2）作出函数f（x）的图像并判断其零点个数；
（3）根据图像指出f（x）的单调递减区间；
（4）根据图像写出不等式f（x）＞0的解集；
（5）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有三个不相等的实根}．
解析：
（1）∵f（4）＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
（2）∵f（x）＝x|m－x|＝x|4－x|＝
∴函数f（x）的图像如图：
由图像知f（x）有两个零点．
（3）从图像上观察可知：
f（x）的单调递减区间为[2,4]．
（4）从图像上观察可知：
不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜4，或x＞4}．
（5）由图像可知若y＝f（x）与y＝m的图像有三个不同的交点，则0＜m＜4，故集合M＝{m|0＜m＜4}．
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