部分教学大纲.docx
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部分教学大纲
部分教学大纲
目录
《数学分析》……………………………………………………………………3
《高等代数》……………………………………………………………………13
《几何学》………………………………………………………………………20
《概率论与数理统计》…………………………………………………………24
《初等数学研究》………………………………………………………………28
《学科教学论》…………………………………………………………………33
《常微分方程》…………………………………………………………………40
《近世代数》……………………………………………………………………43
《复变函数》……………………………………………………………………46《实变函数》……………………………………………………………………50
《分析学专题选讲》……………………………………………………………54
《代数学专题选讲》……………………………………………………………58
《近代数学专题选讲
（一）》……………………………………………………62
《近代数学专题选讲
（二）》……………………………………………………67
《点集拓扑学》…………………………………………………………………70
《微分几何》……………………………………………………………………74
《泛函分析》……………………………………………………………………77
《群论》…………………………………………………………………………80
《图论》…………………………………………………………………………84
《运筹学方法》…………………………………………………………………87
《数学模型》……………………………………………………………………92
《计算方法》……………………………………………………………………95
《初等数论》……………………………………………………………………99
《解题研究》…………………………………………………………………102
《数学方法论》………………………………………………………………106
《数学史》……………………………………………………………………110
《离散数学》…………………………………………………………………114
《论文写作》…………………………………………………………………118
《竞赛数学》…………………………………………………………………121
《数学分析》课程教学大纲
一、说明
适用专业
数学与应用数学
先修课程
高中数学
总学时
312
总学分
17
（一）本课题的目的要求和任务
数学分析是高等学校数学与应用数学专业必修的一门重要基础课程，是学习后继课程，如复变函数、微分方程、概率论与数理统计、实变函数与泛函分析等课程的必备基础。
同时，对学生今后的学习、研究起着关键的作用。
通过教学应达到以下目的和要求
（1）正确理解和掌握数学分析的基本概念，基本理论，尤其是极限理论、一元函数微积分学、多元函数微积分学以及无穷级数等方面的基本知识、基本技能。
（2）灵活掌握数学分析中论证方法，提高分析问题和解决问题的能力。
（3）能用数学分析的基本理论，对数学中的有关重要事实、现象和公式给出理论上的解释与处理。
（二）内容选取和实施中应注意的问题
（1）极限理论、一元函数微积分学、多元函数微积分学在保持理论体系完整的前提下，合理地组织教学和安排内容。
（2）实数集与函数一章中的函数的定义、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等有关内容，因中学已介绍可略讲，应突出本课程的需要，力求避免不必要的重复。
（3）本课程应精讲基本内容，注意教学方法，阐明基本概念和基本规律，突出重点，提高教学效果。
（4）为了培养学生分析问题和解决问题的能力，应讲解适当的例题或安排一定的习题课，同时布置适量的思考题，促使学生牢固掌握所学知识。
（5）大纲中带“*”号的内容，供选学，教学时根据实际情况决定讲或不讲。
（三）教学方法
1、以课堂教学为主，适量布置课外作业，坚持课后辅导答疑，并适当增加习题课，使学生的疑难问题能及时得到解决；
2、适度利用现代化的教学手段，如多媒体电子课件、网络资源等，提高教学效果。
（四）考核方式
1、期中测验成绩占总学期成绩的10%；
2、作业、课堂笔记、课堂讨论等方面的分数占总学期成绩的10%；
3、期末考试成绩占总学期成绩的80%；
4、期末试卷严格实行教考分离。
考试卷从卷库中抽取，流水阅卷，批阅规范，严格执行评分标准。
（五）教学内容与学时分配
教学章节
教学内容
学时安排
备注
1
实数集与函数
6
2
数列极限
12
3
函数极限
20
4
函数的连续性
18
5
导数与微分
20
6
微分中值定理及应用
20
7
实数的完备性
8
8
不定积分
16
9
定积分
22
10
定积分的应用
10
11
反常积分
8
12
数项级数
14
13
函数列与函数项级数
12
14
幂级数
12
15
傅里叶级数集合
10
16
多元函数的极限与连续
16
17
多元函数微分学
20
18
隐函数定理及其应用
14
19
含参量积分
12
20
曲线积分
10
21
重积分
22
22
曲面积分
10
注：
1、分三学期授完，第一学期：
第一至第六章；第二学期：
第七至第十五章；第三学期；第十六至第二十二章。
2、在保证完成教学大纲所规定的基本内容的前提下，对讲授次序，课时分配，教学内容及教学的方法可以灵活掌握，适当调整。
（二）大纲内容
第一章实数集与函数
1、实数及性质，绝对值与不等式，区间与邻域。
2、实数集的确界，确界原理。
3、函数定义、函数的表示法、函数的四则运算、复合函数、反函数、初等函数。
4、具有某些特性的函数：
有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。
说明和要求：
1、了解实数集及其性质，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式。
2、掌握区间、邻域、确界、函数、复合函数和反函数的概念，函数的简单性质，会求数集的上、下确界，掌握确界原理。
3、了解函数的几种表示法，及其分析中常用的一些函数,如分段函数、符号函数、狄里克雷函数、黎曼函数等的表示法。
4、本章重点是区间、邻域、确界、函数、复合函数和反函数的概念，确界原理。
难点是确界原理。
第二章数列极限
1、数列极限的概念：
数列极限定义及其几何意义，无穷小数列。
2、收敛数列性质：
唯一性、有界性、保号性，保不等式性，无穷小数列收敛性。
3、收敛数列的四则运算。
4、数列的收敛判别法：
迫敛法、单调有界法则、柯西准则。
5、重要极限：
说明和要求:
1、理解数列极限的概念，能够应用“ε-N”语言进行极限证明和处理极限问题。
2、能正确叙述和证明数列极限的唯一性，保号性、及不等式等性质。
3、能应用极限定义、四则运算、极限存在的判别法，柯西收敛准则，熟练地求出数列极限和证明数列存在极限。
4、本章重点是数列极限，难点是求出数列极限和证明数列存在极限。
第三章函数极限
1、函数极限的概念：
趋于无穷大时函数极限，
趋于某一定数时函数极限，单侧极限，极限与单侧极限的关系。
2、函数极限的性质：
唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，极限的四则运算法则。
3、函数极限存在判别法：
迫敛性定理、单调有界定理，归结原则、柯西准则。
4、两个重要极限：
5、无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的比较。
6曲线的渐近线
说明和要求：
1、掌握函数极限的概念，无穷小量与无穷大量及其阶的比较。
2、能够运用“ε-δ”与“ε-M”的语言处理函数极限问题。
3、能正确叙述和证明函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
4、能应用定义、四则运算、极限存在判别法熟练地求出或证明函数的极限。
用等价无穷小量替代求极限。
5、了解归结原则的内容。
6、本章重点是函数极限。
难点是运用“ε-δ”与“ε-M”的语言处理函数极限问题。
应用函数极限的性质证明相关问题。
用等价无穷小量替代求极限。
第四章函数的连续性
1、连续性概念：
函数在一点的连续性，左连续与右连续，函数在一点处连续的充分必要条件，间断点及其分类，区间上的连续函数。
2、连续函数的性质：
连续函数的局部性质，复合函数的连续性，闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，一致连续性。
3、初等函数的连续性。
说明和要求：
1、弄清连续、间断的概念，并能对间断点进行分类，对可去间断点能进行连续延拓。
2、能正确叙述和应用连续函数的性质。
3、了解初等函数的连续性。
4、本章重点是函数的连续性。
难点是应用连续函数的性质。
第五章导数与微分
1、导数概念：
导数的定义及其几何意义，左导数，右导数的定义，费马定理，导函数，可导与连续的关系。
2、求导法则：
导数的四则运算、反函数的导数，复合函数的导数，基本求导法则与公式。
3、参变量函数的导数。
4、微分：
微分概念，微分的运算法则，一阶微分形式不变性，微分近似计算中个应用。
5、高阶导数与高阶微分：
高阶导数，高阶微分。
说明和要求：
1、掌握导数与微分的概念，它的几何意义。
2、能熟练地应用导数运算性质和求导法则（特别是复合函数求导法则）求函数的导数，一阶微分。
3、能求函数的高阶导数。
4、利用微分进行近似计算。
5、本章重点是导数与微分，难点是复合函数求导。
第六章微分中值定理及其应用
1、中值定理：
罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。
2、不定式极限：
0/0型不定式极限，∞/∞型不定式极限，其它类型不定式极限。
3、泰勒公式：
泰勒定理，带皮亚诺型、拉格朗日型余项的泰勒公式，某些应用。
4、函数的单调性与极值：
函数的单调性，极值，最大值与最小值。
5、函数的凸性与拐点：
函数的凸性，拐点。
6、函数图象讨论：
函数作图。
说明和要求：
1、掌握中值定理的内容与证明。
2、能熟练地应用洛必达法则求不定式极限。
3、能把某些函数按泰勒公式展开。
4、能熟练地求出连续函数的极值与闭区间上的最大值、最小值。
5、能应用函数单调性证明一些不等式。
6、了解凸函数的概念，并能应用凸函数概念证明相关不等式。
7、能对函数图象进行讨论，并较正确地作出函数的图形。
8、本章重点是中值定理，不定式极限，函数的性质。
难点是中值定理;不定式极限;以及利用中值定理证明相关不等式。
第七章实数的完备性
1、实数完备性的基本定理：
闭区间套定理与柯西收敛准则，聚点定理与有限覆盖定理。
2、闭区间上连续函数性质的证明。
说明和要求：
1、了解实数连续性的几个基本定理。
2、能够证明闭区间上的连续函数的基本性质。
3、本章重点是实数完备性的基本定理。
难点是证明闭区间上的连续函数的基本性质。
第八章不定积分
1、不定积分的概念与基本积分公式：
原函数与不定积分，基本积分表，不定积分的线性运算法则。
2、换元积分法与分部积分法：
换元积分法，分部积分法。
3、有理函数和可化为有理函数的不定积分：
有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分。
说明和要求：
1、理解原函数与不定积分概念。
2、熟练掌握换元积分法与分部积分法。
3、掌握有理函数和三角函数有理式积分法。
4、会计算某些无理根式的不定积分。
5、本章重点是不定积分。
难点是有理函数和三角函数有理式积分法，某些无理根式的不定积分。
第九章定积分
1、定积分的概念：
问题的提出，定积分的定义。
2、牛顿-莱布尼茨公式
3、可积条件：
可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。
4、定积分的性质：
线性性质，积分区间可加性，单调性，绝对可积性，积分中值定理。
5、微积分学基本定理·定积分计算：
微积分学基本定理，换元积分法与分部积分法，泰勒公式的积分型余项。
说明和要求：
1、理解定积分的概念，可积的必要条件，了解可积的充要条件。
2、掌握三类可积函数。
3、掌握定积分与可变上限定积分的性质。
4、能熟练地应用牛顿——莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法计算某些定积分。
6、本章重点是应用牛顿——莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。
难点是可积的充要条件，定积分与可变上限定积分的性质。
第十章定积分的应用
1、平面图形的面积。
2、由平行截面面积求立体体积。
3、平面曲线的弧长与曲率。
4、旋转曲面的面积：
微元法，旋转曲面的面积。
5、定积分在物理上的应用：
压力，功等。
说明和要求：
1、重点掌握定积分的几何应用。
2、掌握定积分在物理上的某些应用。
3、在应用中逐步掌握“微元法”。
4、本章重点是定积分的几何应用。
难点是微元法。
第十一章反常积分
1、反常积分的概念。
2、无穷积分的性质与收敛判别。
3、瑕积分的性质与收敛判别。
说明和要求：
1、掌握反常积分的收敛、绝对收敛、条件收敛的概念，并能判别反常积分的敛散性。
2、本章重点是反常积分。
难点是判别反常积分的敛散性。
第十二章数项级数
1、数项级数的收敛性：
无穷级数收敛、发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质。
2、正项级数：
正项级数收敛性的一般判别原则，比较原则，比式判别法与根式判别法，积分判别法。
3、一般项级数：
交错级数，莱布尼茨判别法，绝对收敛与条件收敛，绝对收敛级数的性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
说明和要求：
1、理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。
2、能正确叙述收敛级数的性质（包括绝对收敛与条件收敛的性质）。
3、能够应用正项级数与任意项级数敛散性判别法判断级数敛散性。
4、掌握几何级数与P级数的敛散性。
5、本章的重点是无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念，级数敛散性判别法。
难点是判断级数敛散性
第十三章函数列与函数项级数
1、函数列与函数项级数的收敛性与一致收敛性：
函数列的极限函数，数项级数的和函数，函数列与函数项级数的一致收敛概念，函数项级数的一致收敛性判别法——一致收敛柯西准则，维尔斯特拉斯优级数判别法。
2、一致收敛函数列与函数项级数的性质，连续性，可积性（逐项积分），可微性（逐项可微）。
说明和要求：
1、掌握收敛域，极限函数、和函数和一致收敛等概念。
2、掌握极限函数与和函数的分析性质及其证明。
3、能够比较熟练地判断某些函数项级数与函数列的一致收敛性。
4、本章的重点是函数列与函数项级数的收敛性与一致收敛性，一致收敛函数列与函数项级数的性质，连续性，可积性（逐项积分），可微性（逐项可微）。
难点是函数项级数的一致收敛。
第十四章幂级数
1、幂级数：
收敛半径与收敛区间，幂级数的性质，一致收敛性，连续性，可积性（逐项积分），可微性（逐项微分）；幂级数的运算。
2、函数的幂级数展开：
泰勒级数及展开的条件，初等函数的幂级数展开式。
3、求幂级数和函数。
说明和要求：
1、了解幂级数，函数的泰勒级数等概念。
2、掌握幂级数的性质。
3、会求幂级数的收敛半径与某些幂级数的收敛域。
4、会将某些函数展开成幂级数，会用间接法求函数的泰勒展开式。
5、会求幂级数的和函数。
6、本章的重点是幂级数收敛半径与收敛区间，幂级数的性质，函数的幂级数展开，求幂级数和函数。
难点是求幂级数的和函数
第十五章傅里叶级数
1、傅里叶级数：
三角级数，正交函数系，以2π为周期的函数的傅里叶级数，收敛定理。
2、以2
为周期的函数的傅里叶级数，偶函数与奇函数的傅里叶级数。
3、收敛定理的证明。
说明和要求：
1、掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念。
2、能正确叙述傅里叶级数收敛性的判别法。
3、能将某些函数展成傅里叶级数及正弦、余弦级数。
4、本章重点是傅里叶级数，以2π为周期的函数的傅里叶级数。
难点是将某些函数展成傅里叶级数及正弦、余弦级数。
第十六章多元函数的极限与连续
1、平面点集与多元函数：
平面点集，邻域、内点、界点、聚点，开集、闭集，区域、闭区域，
的完备性定理，二元函数，n元函数。
2、二元函数的极限：
二元函数的极限；累次极限。
3、二元函数的连续性：
二元函数连续性概念，有界闭域上连续函数的性质（有界性，介值性，取最大值与最小值，一致连续性）。
说明和要求：
1、正确理解平面点集的基本概念，多元函数的极限，累次极限及连续性等概念。
2、了解闭区域套定理，有限覆盖定理及多元连续函数的性质。
3、本章的重点是二元函数的极限，二元函数的连续性。
难点是二元函数的连续性。
第十七章多元函数的微分学
1、可微性：
多元函数可微性与全微分，偏导数，可微性的条件，可微性的几何意义与应用。
2、复合函数微分法：
复合函数的求导法则，复合函数的全微分。
3、方向导数与梯度。
4、泰勒公式与极值问题：
高阶偏导数，中值定理和泰勒公式，极值问题。
说明和要求：
1、掌握偏导数，全微分，方向导数和梯度等概念，能熟练地计算多元函数偏导函数和全微分，可微性的几何意义与应用。
2、弄清多元函数可微、偏导数存在、连续之间的关系。
3、掌握混合偏导数与求导顺序无关的条件。
4、会求二元函数的极值。
5、本章的重点是偏导数，全微分，方向导数和梯度等概念，计算多元函数偏导函数、混合偏导数和全微分，二元函数的极值。
难点是混合偏导数。
第十八章隐函数定理及应用
1、隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导。
2、隐函数组概念，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。
3、几何应用；平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线。
4、条件极值。
说明和要求：
1、理解隐函数和隐函数组的概念，掌握隐函数（组）存在定理的条件和结论。
2、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线。
3、会用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。
4、本章的重点是隐函数，隐函数求导，隐函数组，隐函数组求导，反函数组与坐标变换，几何应用，拉格朗日乘数法求函数的条件极值。
难点是隐函数求导，隐函数组求导，几何应用。
第十九章含参变量积分
1、含参变量正常积分。
2、含参量反常积分。
3、欧拉积分。
说明和要求：
1、掌握含参量正常积分的概念，含参量正常积分的性质。
2、掌握含参量反常积分的概念，含参量反常积分的一致收敛性的概念，含参量反常积分的一致收敛判别法，含参量反常积分的性质。
3、掌握
函数与
函数，
函数与
函数的关系
4、本章的重点是含参变量积分，含参量反常积分的收敛与一致收敛，含参变量积分的性质，
函数与
函数。
难点是含参量反常积分的收敛与一致收敛，含参变量积分的性质。
第二十章曲线积分
1、第一型曲线积分的概念和计算。
2、第二型曲线积分的概念和计算。
说明和要求：
1、掌握第一型、第二型曲线积分概念和计算方法。
2、本章的重点是第一型曲线积分，第二型曲线积分。
难点是计算第一型曲线积分，第二型曲线积分的。
第二十一章重积分
1、二重积分的概念：
平面图形的面积，二重积分的定义及其存在性，二重积分的性质。
2、直角坐标系下的二重积分计算。
3、格林公式曲线积分与路线无关性。
4、二重积分的变量变换。
5、三重积分：
三重积分的概念，化三重积分为累次积分，三重积分的换元法。
6、重积分的应用：
曲面的面积，重心等
说明和要求：
1、掌握二重积分与三重积分的定义和性质。
2、能熟练运用适当方法计算二重积分和三重积分。
3、掌握格林公式，曲线积分与路线无关的条件和应用。
4、熟悉重积分在几何上的应用。
5、本章的重点是二重积分的概念和性质，二重积分的计算，格林公式，曲线积分与路线无关的条件，三重积分的定义与计算，重积分在几何上的应用。
难点是二重积分的计算，格林公式，曲线积分与路线无关的条件，三重积分的计算。
第二十二章曲面积分
1、第一型曲面积分的概念和计算。
2、第二型曲面积分的概念和计算。
3、高斯公式与斯托克斯公式。
说明和要求：
1、掌握曲面积分的概念和计算方法。
2、掌握高斯公式，熟悉斯托克斯公式。
3本章的重点是第一型曲面积分，第二型曲面积分，高斯公式与斯托克斯公式。
难点是计算第一型曲面积分，第二型曲面积分。
三、教材和主要参考书目
教材：
华东师范大学数学系编.《数学分析》（第三版）上、下册，北京：
高等教育出版社；2003。
教学参考书：
1、华东师范大学数学系编.《数学分析》（第二版）上、下册，北京：
高等教育出版社；1980。
2、刘玉琏等编.《数学分析》（第四版）上、下册，北京：
高等教育出版社；2003。
3、陈传璋等编，《数学分析》，北京：
高等教育出版社
4、北京大学编，《数学分析》，北京：
高等教育出版社
修订人：
朱成莲审核人：
柏传志
修订日期：
2007年4月
《高等代数》课程教学大纲
一、说明
适用专业
数学与应用数学
先修课程
初等数学
总学时
186学时
总学分
10学分
（一）本课程的目的、要求
本课程是学习其它数学学科和其它自然科学学科的必备基础，也是数学与应用数学专业（师范）的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，而且对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。
通过本课程的学习，应达到下列目标和要求：
（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。
（2）使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
（3）使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。
（4）逐步培养学生对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。
（5）使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。
（二）内容选取和实施中注意的问题
本课程以一元多项式理论作为“缓冲”，以行列式、矩阵、线性方程组等内容为主体，完成由初等数学到高等数学的顺利过渡，并着力培养学生的代数计算能力、逻辑思维能力和运用知识解决实际问题的能力；最后以向量空间的基本理论进一步提高学生的抽象思维能力。
近年来，计算机技术的普遍应用和飞速发展促进了边缘学科的兴起和各学科的互相渗透，其中不少学科都要用到代数工具，另外本专业的许多后继课程也要用到代数知识，因此在本课程的教学中，要充分体现出其它学科对代数知识的需求，处理好课与这些相关学科的衔接，同时也要为后续课程提供必需的代数基本理论和基本方法。
本课程在一年级开设，由于学生在中学时期形成的思维方式和学习方法多半不再适用，因此在教学过程中还要注意学习方法的指导，引导学生养成正确的代数思维方式和良好的学习方法。
（三）教学方法
以课堂讲授为主要教学手段，理论课与习题课交互进行。
理论课上注意对学生思维能力地培养，习题课中加强对学生推理能力与计算能力的训练。
同时，合理使用计算机多媒体辅助教学。
（四）考核方式
期末考核采用闭卷考试的方式进行。
学期总成绩的评定:
期末考试占80％，
升级会员 