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材料力学习题及答案
材料力学-学习指导及习题答案
第一章绪论
1-1图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。
试问在杆件的任一横截面m-mxx存在何种内力分量，并确定其大小。
解：
从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量Mx即扭
矩，其大小等于M
1-2如图所示，在杆件的斜截面m-mxx任一点A处的应力p=120MPa其方位角0=20°,试求该点处的正应力（T与切应力T。
解：
应力p与斜截面m-m的法线的夹角a=10°,故
（T=pcosa=120xcos10°=118.2MPa
t=psina=120Xsin10°=20.8MPa
1-3图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各
点处的正应力均为（Tmax=100MPa底边各点处的正应力均为零。
试问杆件横截面
上存在何种内力分量，并确定其大小。
图中之C点为截面形心。
解：
将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即
为轴力
FN=10（X106X0.04X0.1/2=200X103N=200kN
其力偶即为弯矩
Mz=20（X（50-33.33）X10-3=3.33kN•m
1-4板件的变形如图中虚线所示。
试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。
解:
第二章轴向拉压应力
2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值
解：
（a）FNAB二F,
（b）FNAB=F,
（c）FNAB=—2kN,
A
FNBC=O,
（町
2KN3RN2KN3KN—-__\——H-*--
ABCD
（C）
B
（b）
FNmax=F
FNBC=F,
FNmax=F
FN2BC=1kN,
FNCD=3kN,
FN,max=3kN
FNmax=1kN
（d）FNAB=1kN,FNBC—1kN,
2-2图示阶梯形截面杆AC承受轴向载荷F1=200kN与F2=100kN,AB段的
直径d仁40mm如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。
‘N1
二上耳即
2L
—耳+Z
£
4
4
4
4
由此求得-490mm
解：
因BC与AB段的正应力相同，故
=即_气-巩+%
兀甲忧占；兀申兀刀：
~4~4~~4
由此■求潯=490mm
2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2载荷F=50kN。
试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。
解:
横截面上的应力□-=—=WOMPa
A
斜截面上的正应力=crcos2a=lOOxcos250°=41.3MPa
斜截面上的切应力=^sin2or=50xsinl00c=49.2MPa
杆内的最大正应力％=（7=100MPa
杆内的最大切应力=|=50MPa
2-4（2-11）图示桁架，由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A承受载荷F=80kN作用。
杆1、杆2的直径分别为d仁30mm和d2=20mm两杆的材料相同，屈服极限（Ts=320MPa安全因数ns=2.0。
试校核桁架的强度。
解：
由A点的平衡方程
sin30°=J^sin47岛cos3T+岛cas45c=F
可求得
1、2两杆的轴力分别为
=党.564肌
=41.411kN
杆的许用应力
[b]=生二160MPa
由此可见，桁架满足强度条件。
2-5（2-14）图示桁架，承受载荷F作用。
试计算该载荷的许用值［F］。
设
各杆的横截面面积均为A,许用应力均为［刃
解：
由C点的平衡条件
由B点的平衡条件
1杆轴力为最大，由其强度条件
2-6（2-17）图示圆截面杆件，承受轴向拉力F作用。
设拉杆的直径为d,端
部墩头的直径为D,高度为h,试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。
已知
许用应力［（T］=120MPa许用切应力［t］=90MPa许用挤压应力［（Tbs］=240MPa
解：
由正应力强度条件由切应力强度条件
由挤压强度条件
式
（1）:
式⑶得式
（1）:
式
（2）得故D:
h:
d=1.225:
0.333:
1
2-7（2-18）图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。
试确定轴销B的直径d
已知载荷F1=50kNF2=35.4kN，许用切应力［t］=100MPa许用挤压应力[（Tbs]=240MPa
解：
摇臂ABC受F1、F2及B点支座反力FB三力作用，根据三力平衡汇交定
理知FB的方向如图（b）所示。
由平衡条件由切应力强度条件
由挤压强度条件
d214.7ttiiti
故轴销B的直径
第三章轴向拉压变形
3-1图示硬铝试样，厚度8=2mm试验段板宽b=20mm标距l=70mm在轴向xxF=6kN的作用下，测得试验段伸长△l=0.15mm,板宽缩短△b=0.014mm试计算硬铝的弹性模量E与泊松比卩。
解：
由胡克定律3-2（3-5）图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。
从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为£仁4.0X10-4与£2=2.0X10-4。
试确定载荷F及其方位角0之值。
已知杆1与杆2的横截面面积A仁A2=200mm2弹性模量E仁E2=200GP。
解：
杆1与杆2的轴力（拉力）分别为
凡1=踽丄广16逍心=E迢妁=3kN
由A点的平衡条件
£丘30o-F^sin30°
（1）
£巧二0，T7cos5cos30°+cos30°（£
（1）2+
（2）2并开根，便得
"尿+总+2心甩（cos230°-sin230°）=212kN
式
（1）:
式⑵得
Fnisin30°-sin30°
.cos30°+氐cos30°
=04925,6=109°
3-3（3-6）图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。
试计算板的轴向变形。
已知板的厚度为3,长为I，左、右端的宽度分别为bl与b2,弹性模量为E。
—
解：
°SAM°E彳包二色ES^-b^h字II）
3-4（3-11）图示刚性xxAB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。
设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k,试求当载荷F作用时端点B的铅垂
位移。
B
解：
设钢丝绳的拉力为T,则由xxAB的平衡条件
YMa=O,7a+T（a+b）=F（2a+b）
T二F
钢丝绳伸长量由图（b）可以看出，C点铅垂位移为△1/3,D点铅垂位移为
2A1/3，则B点铅垂位移为△I，即3-5（3-12）试计算图示桁架节点A的水平与铅垂位移。
设各杆各截面的拉压刚度均为EA
解：
（a）各杆轴力及伸长（缩短量）分别为因为3杆不变形，故A点水平位移为零，铅垂位移等于B点铅垂位移加2杆的伸长量，即（b）各杆轴力及伸长分别为A点的水平与铅垂位移分别为（注意AC杆轴力虽然为零，但对A位移有约束）
Blpi,
—二M二西（J）
3-6（3-14）图a所示桁架，材料的应力-应变关系可用方程（Tn=B£表示（图b）,其中n和B为由实验测定的已知常数。
试求节点C的铅垂位移。
设各杆的横截面面积均为A。
（a）（b）
解：
2根杆的轴力都为
2根杆的伸长量都为则节点C的铅垂位移
COSCC2"K
3-7（3-16）图示结构，XXBD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料
均相同。
在xx的中点C承受集中载荷F作用。
试计算该点的水平与铅垂位移。
已
知载荷F=20kN各杆的横截面面积均为A=100mm2弹性模量E=200GPaxx长l=1000mm
解：
各杆轴力及变形分别为xxBD作刚体平动，其上B、C、D三点位移相
等3-8（3-17）图示桁架，在节点B和C作用一对大小相等、方向相反的载荷F。
设各杆各截面的拉压刚度均为EA试计算节点B和C间的相对位移△B/C。
解:
根据能量守恒定律，有
3-9（3-21）由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆，杆、管各载面的刚度分别为E1A1与E2A2复合杆承受轴向载荷F作用，试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形。
解：
设杆、管承受的压力分别为FN1、FN2,则
FN1+FN2二F
（1）
变形协调条件为杆、管伸长量相同，即联立求解方程
（1）、⑵，得杆、
管横截面上的正应力分别为杆的轴向变形3-10（3-23）图示结构，杆1与杆2的弹性模量均为E,横截面面积均为A,xxBC为刚体，载荷F=20kNxx应力
[（Tt]=160MPa,许用压应力[（Tc]=110MPa试确定各杆的横截面面积。
解：
设杆1所受压力为FN1,杆2所受拉力为FN2,则由xxBC的平衡条件得
+=
（1）
变形协调条件为杆1缩短量等于杆2伸长量，即联立求解方程
（1）、
（2）
得因为杆1、杆2的轴力相等，而许用压应力小于xx应力，故由杆1的压应力强
度条件得
j4>182fnm
3-11（3-25）图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应
力分别为[（T1]=40MPa[（T2]=60MPa[（T3]=120MPa弹性模量分别为E1=160GPa
E2=100GPaE3=200GPa若载荷F=160kNA1=A2=2A3试确定各杆的横截面面积。
解：
设杆1、杆2、杆3的轴力分别为FN1（压）、FN2（拉）、FN3（拉）,则由C
点的平衡条件杆1、杆2的变形图如图（b）所示，变形协调条件为C点的垂直位移
等于杆3的伸长，即联立求解式
（1）、
（2）、（3）得
由三杆的强度条件
=22.63=26.13kN,=146.9kN
注意到条件A仁A2=2A3取A仁A2=2A3=2448mm2
3-12（3-30）图示组合杆，由直径为30mm勺钢杆套以外径为50mm内径为30mm
的铜管组成，二者由两个直径为10mm勺铆钉连接在一起。
铆接后，温度升高40°,试计算铆钉剪切面上的切应力。
钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与
Ec=100GPa线膨胀系数分别为als=12.5x10—6C—1与alc=16X10—6C
-1
解：
钢杆受拉、铜管受压，其轴力相等，设为FN变形协调条件为钢杆和铜
管的伸长量相等，即
讣T
片=93i4N
铆钉剪切面上的切应力
t=-2-=59.3MPa
A
3-13（3-32）图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A、E与［（T］，试确定该桁架的许用载荷［F］。
为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计xxl变为1+△。
试问当△为何值时许用载荷最大，其值［Fmax］为何。
解：
静力平衡条件为
（1）
cos30°=F⑵
变形协调条件
为联立求解式
（1）、
（2）、（3）得
杆3的轴力比杆1、杆2大，由杆3的强度条件
若将杆3的设计xxl变为1+△，要使许用载荷最大，只有三杆的应力都达到
［°］，此时变形协调条件为
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第四章扭转
4-1（4-3）图示空心圆截面轴，外径D=40mm内径d=20mm扭矩T=1kN?
m试
计算横截面上的最大、最小扭转切应力，以及A点处（pA=15mm的扭转切应力。
解：
因为T与pXX，所以
张二隘善二4244MPa
S心齐曲MPa
4-2（4-10）实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。
已知轴的转速n=100
r/min，传递功率P=10kW许用切应力[t]=80MPqd1/d2=0.6。
试确定实心轴的直径d,空心轴的内、外径d1和d2。
i-I
解：
扭矩由实心轴的切应力强度条件
由空心轴的切应力强度条件
―徑已——<80x10^得^>41.2mm
16
d2冥06<24.7mm
4-3（4-12）某传动轴，转速n=300r/min,轮1为主动轮，输入功率P仁50kV，
轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为P2=10kVyP3=P4=20kW
（1）试求轴内的最大扭矩；
（2）若将轮1与轮3的位置对调，试分析对轴的受力是否有利
解：
（1）轮1、2、3、4作用在轴上扭力矩分别为轴内的最大扭矩若将轮1与
轮3的位置对调，则最大扭矩变为
最大扭矩变小，当然对轴的受力有利
4-4（4-21）图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩作用。
试求支反力偶矩设扭转刚度为已知常数。
©（d）
解：
（a）由对称性可看出,
MA=MJB再由平衡可看出MA=MB=M
ma
（b）显然MA二M，变形协调条件为解得（c）
（d）由静力平衡方程得
变形协调条件为联立求解式
（1）、
（2）得
4-5（4-25）图示组合轴，由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起设作用在刚性平板上的扭力矩为M=2kNm套管与芯轴的切变模量分别为G1=40GP与G2=80GRa试求套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应力。
如2
解：
设套管与芯轴的扭矩分别为T1、T2,则
T1+T2二M=2kNm
（1）
变形协调条件为套管与芯轴的扭转角相等，即
联立求解式
（1）、⑵，得套管与芯轴的最大扭转切应力分别为
爲
1316
7T0.063
16
=40.8MPa
684
Ta=—=%
==54.4MPa
tiO.043
16
4-6（4-28）将截面尺寸分别为©1OOmM90mn与©90mM80mmt勺两钢管相套
合，并在内管两端施加扭力矩M0=2kNm后，将其两端与外管相焊接。
试问在去
掉扭力矩MO后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。
解：
去掉扭力矩MO后，两钢管相互扭，其扭矩相等，设为T,
设施加MO后内管扭转角为©0。
去掉M0后，内管带动外管回退扭转角©（此即外管扭转角），剩下的扭转角（©0-©1）即为内管扭转角，变形协调条件为
内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为
务IMK
=21.7MPa
165
it0.13
f9?
4'
16
[uoj
1165
=17.25MPa
n-0.093~16~
4-7（4-29）图示二轴，用突缘与螺栓xx，各螺栓的材料、直径相同，并均匀
地排列在直径为D=100m啲圆周上，突缘的厚度为8=10mm轴所承受的扭力矩为
M=5.0kN•m螺栓的许用切应力[t]=100MPa许用挤压应力[（Tbs]=300MPa试确定螺栓的直径d。
解：
设每个螺栓承受的剪力为FS,则由切应力强度条件由挤压强度条件
故螺栓的直径
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第五章弯曲应力
1（5—1）、平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？
xx受力及Ox坐标取向如图所示。
试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。
da
B~
dAf
X—
dx
dx
c字-
dj
~=Fdx
Dpa.
--F
dx
dx
解：
B正确。
平衡微分方程中的正负号由该xxOx坐标取向及分布载荷q（x）的方向决定。
截面弯矩和剪力的方向是不随坐标变化的，我们在处理这类问题时都按正方向画出。
但是剪力和弯矩的增量面和坐标轴的取向有关，这样在对xx的微段列平衡方程式
时就有所不同，参考下图。
当Ox坐标取向相反，向右时，相应（b）,A是正确的。
但无论A、B弯矩的二阶导数在q向上时，均为正，反之，为负。
仗）
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2（5—2）、对于承受均布载荷q的简支xx，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？
试判断下列四种答案中哪一种是错误的。
解：
A是错误的。
xx截面上的弯矩的正负号，与xx的坐标系无关，该xx上的弯矩为正，因此A是错误的。
弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同，和y轴的方向有关，弯矩二阶导数为正时，曲线开口向着y轴的正向。
q（x）向下时，无论x轴的方向如何，弯矩二阶导数均为负，曲线开口向着y轴的负向，因此B、CD都是正确的。
3（5—3）、应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图，并确定|FQ|max
和|M|max。
（本题和下题内力图中，内力大小只标注相应的系数。
）
解:
0125
4（5—4）、试作下列刚架的弯矩图，并确定|M|max
解:
5（5-5）、静定xx承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。
若已知A端弯矩M（0）=0，试确定xx上的载荷（包括支座反力）及xx的弯矩图
解:
A
q=1
6（5—6）、已知静定梁的剪力图和弯矩图，试确定梁上的载荷（包括支座反力）
解：
g=0
7（5—7）、静定xx承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示若已知E端弯矩为零。
请：
（1）在Ox坐标中写出弯矩的表达式；
（2）试确定梁上的载荷及梁的弯矩图。
解:
12
M3C=一一qx“+4弹（兀_切「
2
1*M血二+4胆a+a）
］彳
M珑二-—qx+@ox-l帥盘
L-I
8（5-10）在图示xx上，作用有集度为m=m（x的分布力偶。
试建立力偶矩集度、剪力及弯矩间的微分关系。
解：
用坐标分别为x与x+dx的横截面，从梁中切取一微段，如图（b）。
平衡
方程为
9（5-11）对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度q或扭力矩集度m）
与相应内力（轴力或扭矩）间的微分关系
解：
（a）用坐标分别为x与x+dx的横截面，从杆中切取一微段，如图（c）
平衡方程为
（b）用坐标分别为x与x+dx的横截面，从杆中切取一微段，如图（d）。
平衡方程为
10（5-18）直径为d的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上。
试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。
已知材料的弹性模量为E。
-
Ja-2泌-2+
22
11（5-23）图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面xx。
试问:
（1）如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值;
⑵如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值;
解：
（1）欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数
取极大值，为此令
便得
o即—--=002
（2）欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令
+存|（宀计（S。
便得
12（5-24）图示xx，由能18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A底
边的纵向正应变£=3.0X10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。
已知钢的弹性模
量E=200GPaa=1m
解：
梁的剪力图及弯矩图如图所示，从弯矩图可见:
13（5-32）图示槽形截面铸铁xx，F=10kNMe=70kNmxx应力
[（Tt]=35MPa，许用压应力[（Tc]=120MPa。
试校核梁的强度
IcZ-ill
IO
解：
先求形心坐标，将图示截面看成一大矩形减去一小矩形惯性矩
弯矩图如图所示，C截面的左、右截面为危险截面。
在C左截面，其最大拉、压应力分别为
在C右截面，其最大拉、压应力分别为故
14（5-35）图示xx，由四块尺寸相同的木板胶接而成，试校核其强度。
已知载
荷F=4kN,xx跨度l=400mnr，截面宽度b=50mm高度h=80mm木板的许用应力
[（T]=7MPa胶缝的许用切应力[T]=5MPa
解：
从内力图可见木板的最大正应力
由剪应力互等定理知：
胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力
^=l^=10Mpa<[r]
2bh
可见，该xx满足强度条件。
15（5-41）图示xx，承受偏斜的集中载荷F作用，试计算梁内的最大弯曲正应
力。
已知F=10kN,l=1m,b=90mmh=180mm
解:
16（5-42）图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800NF2=1.6kN,
l=1m，许用应力[（T]=160MPa试分别按下列要求确定截面尺寸：
h
（1）截面为矩形，h=2b;
（2）截面为圆形。
解：
（1）危险截面位于固定端⑵
17（5-45）一铸铁xx，其截面如图所示，已知许用压应力为xx应力的4倍,
即[°c]=4[（Tt]。
试从强度方面考虑，宽度b为何值最佳。
解:
My.
込硼；_Is__[^t]_1
又因y1+y2=400mm故y仁80mmy2=320mm将截面对形心轴z取静矩,
.7=6（^x50-30x340x150=0aA=510mm
18（5-54）图示直径为d的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e的载荷F作用。
试证明：
当e解:
/T=
tmax",3
兀a
32
19（5-55）图示杆件，同时承受横向力与偏心压力作用，试确定F的许用值
已知xx应力[（Tt]=30MPa,许用压应力[（Tc]=90MPa。
解：
故F的许用值为4.85kN
6173F
S025F
=—士昨士“
%晦0.18x0,060.06x0.18a0.18x0.062
66
由6173F<[at]=30xl06得4.85kN由8025F^[rrc]=90xlO
得FM112kN
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第七章应力、应变状态分析
7-1（7-1b）已知应力状态如图所示（应力单位为），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。
解：
与截面的应力分别为：
••・
,,
40+040-0
•:
耳=HIT+芒丄込（一60。
-20sin（-60°）
厶>_■
MPa
40-0.
th=sin（-60°）+20cos（-60°）
二TO筋+10二-7.3MPa
-30+10-30-10
k
22
cos（45°）-20^45°）
7-2（7-2b）已知应力状态如图所示（应力单位为），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。
解:
与截面的应力分别为：
=-10-10J2-10^2=-3i28MPa
%二—1°皿（4的+20込（45》
=-2072+20^2=0
7-3（7-2d）已知应力状态如图所示（应力单位为），试用图解法计算图中指
定截面的正应力与切应力。
解：
如图，得：
指定截面的正应力
切应力
7-4（7-7）已知某点A
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