初中数学竞赛正方形和梯形docxWord文件下载.docx
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七.
（2）有一个角是直角的菱形是正方形．
梯形的相关定义：
（1）梯形的定义：
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
（2）梯形的腰：
梯形中不平行的两边叫梯形的腰．
（3）梯形的高：
梯形两底间的距离角梯形的高．
（4）等腰梯形：
两腰相等的梯形叫等腰梯形,
（5）直角梯形：
有一个角是直角的梯形叫等腰梯形．
等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形是轴对称图形，上下底中点所在的直线是对称轴．
（2）等腰梯形同一底边上的两个角相等．
（3）等腰梯形的两条对角线相等．
等腰梯形的判定：
（1）同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．
梯形的中位线：
（1）定义：
连结梯形两腰中点的线段叫做三角形的中位线．
（2）梯形的中位线定理：
梯形的中位线平行于梯形的上下底，且等于上下底之和的一半．
典型例题
一.正方形
【例1】如图，正方形ABCD中，△EBC是正三角形，求∠EAD的度数．
AD
E
BC
【例2】如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PEBC于E，PFCD
于F，求证：
APEF．
【例3】如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，BF⊥CE于G交AD于F，求证：
CE=BF．
AFD
【例4】如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交于F，求证：
CFDE．
【例5】如图，在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G为FH的中点，求证：
ECCG。
【例6】如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE3，CE2，点P在BD上，求PE与PC和的最小值．
二.梯形
【例7】已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分ABC．
（1）求证：
ABAD．
（2）若AD2，C60，求梯形的周长．
【例8】如图，已知直角梯形ABCD，AD∥BC，腰DC的长为10cm，D120，则
该梯形另一腰AB的长是多少
【例9】等腰梯形的一角为120，上底为10，下底为30，则它的腰长是多少
【例10】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，OBOC，求
证：
ABCD．
【例11】如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD3cm，BC7cm，求等腰梯形的面积．
【例12】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ADBC，AB10，CD4，延长BD至E，
使DEBD，作EFAB交BA的延长线于点F，求AF的长度．
【例13】如图，梯形ABCD中，AB17，BC29，CD10，DA8，求对角线BD之长。
【例14】如图，在直角梯形
ABCD中，
AD∥BC，
A
90
，
C
45，CD的中垂线
MN
交BC边于
P，交
AB延长线于
N，求证：
AD
BN。
M
P
三.梯形的中位线
【例15】如图，等腰梯形ABCD中，对角线ACBD，垂足为E，DFBC于F，MN
是梯形的中位线，求证：
DFMN．
【例16】如图，梯形ABCD的中位线MN梯形ABCD的周长为a，四边形
值．
与对角线AC、BD分别交于点P、Q，设
PQCD的周长为b．若AB2CD，试求b的
a
【例17】如图，△ABC外一条直线l，D、E、F分别是各边中点AA1、FF1、DD1、
EE1都垂直l于A1、F1、D1、E1，求证：
AA1EE1FF1DD1．
【例18】如图，直角梯形ABCD中，C90，AD//BC，ADBCAB，E是CD的中
点．若AD2，BC8，求ABE的面积．
【例19】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC
BD，且AC
5cm，BD12cm，
求梯形的中位线的长度。
D
四.综合提高
【例20】如图，等腰直角△ABC中，ACB
90，D是BC的中点，CE
AD于F交AB
于E，求证：
CDFBDE．
【例21】如图所示，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于O，
ACD60，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．
【例22】
（1）求证：
△PQS是等边三角形；
【例23】
（2）若AB5，CD3，求PQS的面积．
【例24】如图，E是正方形ABCD边AB边上任意一点，过E作DE的垂线交正方形的外角CBF的平分线于N，求证：
DEEN．
【例25】Q是正方形ABCD的边CD的中点，作BAP2QAD，P在CD上．求证：
APCPCB．
【例26】
如图，在梯形
中，
，两条对角线相交于
，且
ABCD
AD//BC
EAB
AC
ABAC
BDBC，求证：
CD
CE．
【例27】如图所示，ABCD是正方形，E为BF上的一点，四边形AEFC恰好是一个
菱形，则求EAB．
F
DC
AB
【例28】如图，AD是△ABC的中线，分别以AB、AC为边向外作正方形ABEF、ACMN．
【例29】求证：
AD1FN．
2
【例30】如图，直角梯形ABCD中，B
C90，AB
BC．M为BC边上一点，且
DMC45．求证：
ADAM．
【例31】四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是菱形，E、F、B在一直线上．求证：
AE、AF三等分CAB．
【例32】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ACBD．求证：
AC2BD2（ABDC）2．
【例33】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，D
90，M为BC上一点，且BM
MCCD，
DAM50，求AMC．
【例34】K是正方形ABCD的边AB的中点，点L分对角线AC的比为AL:
LC3，证
明：
KLD90．
【例35】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，求证：
AMAD．
BFC
【例
36如图，直角梯形
AD∥BC
AB
BC
ABBC
，E是AB上一点，
】
AEAD，CEB
75，求
ECD．
【例37】正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上的点，且AFBCCF．求证：
BAF2BAE．
【例38】
【例39】正方形ABCD对角线交于O，BAC的平分线交BD于G，交BC于F，求证：
CF
OG．
【例40】如图，在直角梯形ABCD中，BC90，ABBC．M为BC边上一点，
且DMC45．求证：
【例41】在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，满足EFBEDF，
AE、AF分别与对角线BD交于M、N．求证：
（1）EAF45；
（2）MN2BM2DN2．
【例42】已知△ABC，向外作正方形ABEF和ACGH，直线AK垂直BC于K，反向延长交FH于M，求证：
M是FH的中点．
【例43】如图
（1），在RtABC中，ABAC，点D、E是线段AC上两动点，且ADEC，
AMBD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于
点F．
（1）试判断△DEF的形状，并加以证明．
（2）若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，
并说明理由．
作业
1.判断下列说法正确的是（）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C．两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形
D．两条对角线互相垂直的矩形是正方形
2.下列哪个图形不是轴对称图形（）
A．等腰梯形
B．等腰三角形
C．矩形
D．平行四边形
3.等腰梯形四个内角之比可能是（）
A．1:
2:
3:
4
B．3:
3
C．1:
1:
2
D．1:
4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，ADBC，BDDC，ACBD于M．
求证：
CM1（ABDC）．
5.如图所示，正方形ABCD对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与
AO、BO交于M、N．试探讨BM与CN之间的关系，写出你所得到的结论的证
明过程．
O
MN
6.如图，在正方形ABCD中,E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：
AFBE．
7.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是BC的中点，且MAMD，求证：
四边形ABCD是等腰梯形．
8.如图，设EF∥正方形ABCD的对角线AC，在DA延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF交于H，求证：
AH正方形的边长．
GAD
H
9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD，求证：
DBCACB．
10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，A90，E是AB的中点，且CED90．求
E到CD的距离等于EA．
11.在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），D90，BCCD12，E在CD上，
ABE45，若AE10，求CE的长．
12.如图，MON90，在MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射
线OM、ON上，点B1是ON上任意一点，在MON的内部做正方形AB1C1D1．连结CC1，猜一猜C1CN的度数是多少并证明你的结论；
13.如图，在梯形
CD，BC
CD
2AD，E是CD上一点，
且
ABE
45，
．求
CE的长．
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