数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练包含答案.docx

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数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练包含答案

数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练

一．选择题

1．如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（）

A．垂心B．重心C．内心D．外心

2．课本第5页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心”．现在我们继

续定义：

①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的

交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角

形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）

A．重心B．垂心C．内心D．外心

3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）

A．△ACD的重心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的垂心

4．如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：

OE：

OF等于（）

C．sinA：

sinB：

sinCD．cosA：

cosB：

cosC

5．在△ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠AFC＝45°，∠AGC＝60°，则∠ACF的度

数为（）

7．如图，已知H是△ABC的垂心，△ABC的外接圆半径为R，△BHC的外接圆半径为r，则R

C．

内心

D．外心

10．三个等圆O1，O2，O3有公共点H，点A、B、C是其他交点，则H是三角形ABC的（）

A．外心B．内心C．垂心D．重心

．填空题

11．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则

BC＝

12．如图，ADCFBE是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB＝90°，现需要利用这块残料在

△ABC的外部制作3个等边△ADC、△CBF、△ABE的内切圆⊙O1、⊙O2、⊙O3，若其中最大圆⊙O3的半径为0.5米，可使生产成本节约3元（节约成本与圆面积成正比），照此计

13．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则

AM＝

15．设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，△OAB，△OBC，△OCD，△ODA的重心分

别为E，F，G，H，则SEFGH：

SABCD＝．

16．如图，I是Rt△AB（C∠C＝90°）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已

若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于

三．解答题

18．如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R＝1，∠BAC＝60°，△ABC的垂心和外心分

别为H、O，连接OH、BC交于点P

（1）求凹四边形ABHC的面积；

2）求PO?

OH的值．

△DEF≌△KMN．

20．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，

21．如图，△ABC的三边满足关系BC＝（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，

求证：

（1）AI＝BD；

（2）OI＝AE．

22．如图，H是锐角△ABC的垂心，O为△ABC的外心，过O作OD⊥BC，垂足为D．

（1）求证：

AH＝2OD；

（2）若AO＝AH，求∠BAC的度数．

23．如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且∠FDE＝∠A，∠DEF＝∠B．又设△AFE，△BDF，△CED均为锐角三角形，它们的垂心依次为H1，H2，H3，求证：

1．∠H2DH3＝∠FH1E；

2．△H1H2H3≌△DEF．

24．如图，△ABC为锐角三角形，CF⊥AB于F，H为△ABC的垂心．M为AH的中点，点G在线段CM上，且CG⊥GB．

1）求证：

∠MFG＝∠GCF；

2）求证：

∠MCA＝∠HAG．

25．如图，已知H为锐角△ABC的垂心，D是使四边形AHCD为平行四边形的一点，过BC的

中点M作AB的垂线，垂足为N，K为MN的中点，过点A作BD的平行线交MN于点G，若

参考答案

一．选择题

1．解：

如图1，

过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F∵MN∥AB，OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）如图2，

过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'，由裁剪知，OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，

∴OD'＝OE'＝OF'，

∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，

∴点O是△ABC的内心，

故选：

C．

2．解：

内心是三角形的三条内角平分线的交点，而角平分线上的点到角的两边的距离相等，

所以在三角形的四“心”中，到三角形三边距离相等的是内心；到三个顶点的距离相等的是外心．

故选：

C．

3．解：

如图，连接OA、OB、OC、OD，

设每一个小方格的边长为1，

由勾股定理可求得OA＝OB＝OC＝，OD＝2，

∴O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，

∴点O为△ABC的外心，

∵OA＝OC≠OD，

∴点O即不是△ACD的重心，也不是△ACD的内心，故选：

B．

4．解：

如图，连接OA、OB、OC；

∵∠BOC＝2∠BAC＝2∠BOD，

∴∠BAC＝∠BOD；

同理可得：

∠BOF＝∠BCA，∠AOE＝∠ABC；

设⊙O的半径为R，则：

OD＝R?

cos∠BOD＝R?

cos∠A，

OE＝R?

cos∠AOE＝R?

cos∠B，

OF＝R?

cos∠BOF＝R?

cos∠C，

故OD：

OE：

OF＝cos∠A：

cos∠B：

cos∠C，

∴＝2，

∴＝2，

作CE⊥AG于点E，连接EF，

∴△CEG是直角三角形，

∵∠EGC＝60°，

∴∠ECG＝30°，

那么EG＝CG＝GF，

∴GE＝GF，

∠FGE＝120°，

∴∠GFE＝∠FEG＝30°，而∠ECG＝30°，∴EF＝EC，

∵∠EFA＝45°﹣30°＝15°，∠FAD＝∠AGC﹣∠AFC＝15°，∴∠FAD＝∠EFA，

∴EF＝AE，

∴AE＝EC，

∵△AEC是等腰直角三角形，

∴∠ACE＝45°，

∴∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝30°+45°＝75故选：

D．

6．解：

结论：

△ABC的垂心也一定在该函数图象上；

理由：

∵A、B、C都在y＝上，

∴可设A、B、C的坐标依次是：

（a，）、（b，）、（c，）．

令H的坐标为（x，y）．

AB的斜率＝

BC的斜率＝

AH的斜率＝

，

容易得出：

∵AH⊥BC，

CH的斜率＝

＝

a?

CH⊥AB，

∴（k﹣ay）（c﹣x）＝（k﹣cy）（a﹣x），

∴ck﹣kx﹣acy+axy＝ak﹣kx﹣acy+cxy，

a﹣c）xy＝（a﹣c）k．

显然，a﹣c≠0，

∴xy＝k，即：

y＝．

延长AD交△ABC的外接圆于G，连接BG，CG，

∴△ABC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，

∴点H（x，y）在反比例函数

∵△ABC的外接圆半径为R，

∴△BGC的外接圆半径为R，

∵点H是△ABC的垂心，

∴AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，

∴∠CAD＝∠CBE，

∵∠CBG＝∠CAD，

∴∠CBE＝∠CBG，

同理：

∠BCF＝∠BCG，

在△BCH和△BCG中，，

∴△BCH≌△BCG（ASA），

∴△BHC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，

∵△BHC的外接圆半径为r，

∴△BGC的外接圆的半径为r，

∴R＝r，

∵以Rt△ABC的两条直角边AB，BC为边作等边△ABE和等边△BCF，

∴∠CBE＝90°+60°＝150°，∠FBE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，在△CBE与△FBE中，，

∴△CBE≌△FBE（SAS）；

∴CE＝FE，∠FEB＝∠CEB，

∴BE⊥CF于G，

∴EG是△MEF的边FM上的高，同理：

FH是△MEF的边EM上的高，∴点B是△MEF的三边的高，即：

点B是△MEF的垂心．

故选：

A．

9．解：

∵BE丄AC，CF丄AB，

∴四点B、C、E、F共圆（以BC为直径），

∴∠EBF＝∠FCE，

∵HD丄BD，HF丄BF，

∴四点B、D、H、F共圆（以BH为直径），

∴∠HBF＝∠FDH，

同理，四点C、D、H、E共圆，（以CH为直径），∠HDE＝∠HCE，

∴∠HDE＝∠HDF，

∴DA平分∠EDF即可．

同理可证EB平分∠DEF，FC平分∠EFD，

∴H是△DEF的角平分线的交点，

∴H是△DEF的内心．

故选：

C．

10．解：

延长AH交BC于E点，延长CH交AB于F点，如图，

∵三个等圆O1，O2，O3有公共点H，

∴∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧；∠2所对的弧CH与∠5所对的弧CH为同

弧；∠3所对的弧AH与∠6所对的弧AH为同弧，

∴∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6，

∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，

∴2∠2+2∠3+2∠4＝180°，2∠1+2∠3+2∠2＝180°，

∴∠2+∠3+∠4＝90°，∠1+∠3+∠2＝90°，

∴AE⊥BC，CF⊥AB，

∴点H为△ABC的垂心．

11．解：

设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，

∵CG是⊙O的直径，∴∠CBG＝∠CAG＝90°，

∴BG⊥BC，AG⊥AC．

∵H为△ABC的垂心，

∴AE⊥BC，BF⊥AC，

∴AE∥BG，AG∥BF，

∴四边形AGBH是平行四边形，

∴BG＝AH．

∵AL平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，根据垂径定理的推论可得：

OD⊥BC．∵AE⊥BC，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD．

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD．

∵AL垂直于OH，

∴∠ANO＝∠ANH＝90°．

在△ANO和△ANH中，

，

∴△ANO≌△ANH（ASA），

∴AO＝AH，

∴BG＝AH＝AO＝1．

在Rt△GBC中，

∵BG＝1，GC＝2，

∴BC＝＝．

故答案为：

．

12．解：

由勾股定理和相似图形的性质可知，⊙O1的面积+⊙O2的面积＝⊙O3的面积，

∵⊙O3可使生产成本节约3元，

∴1块这样的残料可使生产成本节约6元．

则10块这样的残料可使生产成本节约

6×10＝60元．

故答案为：

60．

13．解：

延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，如图，

∵BF为⊙的直径，

∴∠BAF＝90°，

∴sinF＝

∴AB＝10?

sinF＝10?

sin∠ACB，

又∵点M为△ABC的垂心，

∴AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，

∴△AEM∽△ADB，

，即AM＝

在Rt△AEC中，∠EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，

故答案为5．

14．解：

如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥BC于N，

∵BF是⊙O的直径，

∴∠BCF＝∠BAF＝90°，

∴ON∥FC，

∵OB＝OF，

∴ON是△BCF的中位线，

∴CF＝2ON．

∴BN＝CN＝BC＝5，

在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，

∴ON＝＝，

∴CF＝2ON＝2，

∵H是△ABC的垂心，

∴AH⊥BC，

∵CF⊥BC，

∴AH∥CF，

同理可得：

CH∥AF，

∴四边形AHCF是平行四边形，

∴AH＝CF＝2

∵H是△ABC的垂心，

∴AH⊥BC，

∵ON⊥BC，

∴AH∥ON，

∴∠OAH＝∠NOM，

∵OH⊥AM，

∴∠AOH＝∠ONM＝90°，

∴△AOH∽△ONM，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴OM＝．

15．解：

如图：

∵E、F分别是△OAB与△OBC的重心，

∴，

∴，

∴EF∥AC，

同理：

FG∥BD，HG∥AC，HE∥BD，

∴ERU，QRUSF，USG，TTHQU，EFGH是平行四边形，

∵

∵

同理：

16．解：

如图，过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，ID＝

IH＝IG＝r，

得

由△ABC∽△EIG∽△IFH，

，＝，

解得a＝

由勾股定理，得c2＝a2+

解得r＝又ab＝2S△ABC＝r（a+b+c），

＝r（

）2

∴∠DBI＝

∠ABC，

∵A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，

∴ID＝A1D＝IA1，∠BDI＝90°，

∵点B在△A1B1C1的外接圆上，

∴IB＝IA1，

∴ID＝IB，

∴∠IBD＝30°，

∴∠ABC＝60°．

故答案为：

60°．

三．解答题（共8小题）

CH交AB于F，延

18．解：

（1）如图：

连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG、CO，延长长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥BC于M．

∵BG是直径，

∴GA⊥AB，GC⊥BC，

∵H为垂心，

∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，

∴GA∥CH，GC∥AH，

∴AGCH是平行四边形，

∴AG＝GC，

∵∠BAC＝60°，OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝30°，

∴OM＝OB＝，BM＝，

∴BC＝，

又∵OM＝CG，

∴AH＝2OM＝1，

CN＝×AH×BC＝

设凹四边形的面积为S，则S＝S△AHB+S△AHC＝×AH×BN+×AH×

（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠BAC＝60°，

∴∠ACF＝30°，

∴∠CHE＝60°，

∴∠BHC＝120°，

∴B、C、H、O四点共圆，∵∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠CHP＝∠OBC＝30°，∴∠OHC＝∠OCP＝150°，∴△OHC∽△OCP，∴OH?

OP＝OC2＝1．

19．证明：

如图：

∵OD⊥BC，FM⊥BC，

∴OD∥FM，

∵OF⊥AB，DM⊥AB，

∴OF∥DM，

∵DMFO是平行四边形，

同理OFKE，ODNE均为平行四边形，

∴MD∥KE，MD＝KE，

∴MDEK也是平行四边形，

∴DE＝MK，

同理DF＝KN，EF＝MN

∴△DEF≌△KMN（SSS）．

20．证明：

如图，延长AP交⊙O2于点Q，

连接AH，BD，QB，QC，QH．

因为AB为⊙O1的直径，

所以∠ADB＝∠BDQ＝90°．（5分）

故BQ为⊙O2的直径．

于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10分）

又因为点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．

所以AH∥CQ，AC∥HQ，

四边形ACQH为平行四边形．（15分）

所以点P为CH的中点．（20分）

21．证明：

（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，如图，

∴AG＝（AB+AC﹣BC），

而BC＝（AB+AC），

∴AG＝BC，

又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，

∴∠EAD＝90°，

∴O点在DE上，即ED为⊙O的直径，

而BD弧＝DC弧，

∴AG＝BH，

而∠BAD＝∠DAC＝∠DBC，

∴Rt△AGI≌Rt△BHD，

∴AI＝BD；

（2）∵∠BID＝∠BAI+∠ABI，而∠BAI＝∠DBC，∠ABI＝∠CBI，

∴∠DBI＝∠BID，

∴ID＝DB，而AI＝BD，

∴AI＝ID，

∴OI为三角形AED的中位线，

∴BE⊥AC，

∴OI＝AE．

BH并延长交AC于E，

过O作OF⊥AC于

F，

则F为AC的中点，

连接CH，取CH中点N，连接FN，DN，

则FN∥AM，AH＝2FN，DN∥BE，

∵AM⊥BC，OD⊥BC，

∴OD∥AM，

∴FN∥OD，

∵BE⊥AC，OF⊥AC，

∴BE∥OF，

∵OD⊥BC，

∴D为BC中点，

∵N为CH中点，

∴DN∥BE，

∴DN∥OF，

∴四边形ODNF是平行四边形，

∴OD＝FN，

∵AH＝2FN，

∴AH＝2OD．

（2）解：

如图2，连接OB，OC，

∴OA＝OB，

∵OA＝AH，

∴OB＝AH，

由

（1）知，AH＝2OD，

＝

＝

∴OB＝2OD，

在Rt△ODB中，cos∠BOD＝

∴∠BOM＝60°，

∵OD⊥BC，

∴∠BOC＝2∠BOD＝120°，

∴∠BAC＝∠BOC＝60°．

23．证明：

（1）∵H2是△BDF的垂心，

∴DH2⊥BF，

∴∠H2DB＝90°﹣∠B，

同理：

∠H3DC＝90°﹣∠C，

∴∠H2DH3＝180°﹣∠H2DB﹣∠H3DC＝∠B+∠C，

∵H1是△AEF的垂心，

∴∠H1EF＝90°﹣∠AFE，∠H1FE＝90°﹣∠AEF，

∴∠EH1F＝180°﹣∠H1EF﹣∠H1FE＝180°﹣（90°﹣∠AFE）﹣（90°﹣∠AEF）＝180°﹣∠A＝∠B+∠C，

∴∠H2DH3＝∠FH1E；

（2）如图，由

（1）知，∠FH1E＝∠B+∠C，

∵∠FDE＝∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠FH1E+∠EDF＝180°，

∴H1在△DEF的外接圆上，同理：

H2，H3也在△DEF的外接圆上，

∴D，H2，F，H1，E，H3六点共圆，

由

（1）知，∠EH1F＝∠H2DH3，

∴EF＝H2H3，

同理：

DF＝H1H3，DE＝H1H2，

∴△DEF≌△H1H2H3（SSS）．

24．证明：

（1）如图延长AH交BC于T．∵H是△ABC的垂心，

∴∠THC＝∠HFA＝90°，

∵∠THC＝∠AHF，

∴∠HCT＝∠FAH，

在Rt△AFH中，∵AM＝MH，

∴FM＝AM＝MH，

∴∠FAH＝∠MFA，

∴∠MFA＝∠HCT，

∵BG⊥CM，

∴∠BFC＝∠BGC＝90°，

∴B、C、G、F四点共圆，

∴∠AFG＝∠BCG，

∴∠AFM+∠MFG＝∠HCT+∠MCF，

∴∠MFG＝∠GCF．

（2）∵∠FMG＝∠FMC，∠MFG＝∠MCF，

∴△MFG∽△MCF，

∴MF2＝MG?

MC，

∵MA＝MF，

∴MA2＝MG?

MC，

∵∠AMG＝∠AMC，

∴△MAG∽△MCA，

∴∠MCA＝∠HAG．

25．证明：

如图，

设BK交CG于E，连接AG，AK，∵A，K，M，C四点共圆，

∴∠ACB＝∠AKG（外角等于内对角），

∵H是△ABC的垂心，

∴AH⊥BC，CH⊥AB，

∵四边形AHCD是平行四边形，

∴CH∥AD，AH∥CD，

∴CD⊥BC，AD⊥AB，

∴∠BCD＝∠BAD＝90°，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∴点A，B，C，D四点共圆，

∴∠5＝∠ACB＝∠AKG，

∵AH⊥BC，MN⊥AB，AD⊥AB，∴∠1＝∠2＝∠4，

∵AG∥BD，

∴∠3＝∠4＝∠2，

在△ANG和△ANK中，，

∴△ANG≌△ANK，

∴GN＝KN＝MK，

∴MK＝KG，

∵直线BKE截得△GMC，

由梅涅劳斯定理得：

∵点M是CB中点，

∴CB＝2BM，

∴GE＝EC，

∴直线BK平分线段CG．