数制与编码.docx
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数制与编码
这一章主要讲述的内容是在数字设备中进行算术运算的基本知识--数制和一些常用的编码。
1、1进位计数制
一：
进位计数制
它的概念描述为：
把数划分为不同的位数，逐位累加，加到一定数量之后，再从零开始，同时向高位进位
进位计数制有三个要素：
数符、进位规律和进位基数。
什麽是进位基数呢？
即计数制中每个数位所使用的数码符号的总数，它又被称为进位模数。
我们经常把数用每位权值与该位的数码相乘展开。
当某位的数码为“1”时所表征的数值即该位的权值。
例1：
我们把十六进制数N=（1FA3.B3）H按权展开式子为？
N=1*163+15*162+10*161+3*160+11*16-1+3*16-2
二：
常用的进位计数制
我们用进位计数制的三要素来描述一下二进制、八进制、十进制和十六进制。
如下表所示：
常用进制
英文表示符号
数码符号
进位规律
进位基数
二进制
B
0、1
逢二进一
2
八进制
O
0、1、2、3、4、5、6、7
逢八进一
8
十进制
D
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
逢十进一
10
十六进制
H
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F
逢十六进一
16
1、2数制转换
一：
其它进制转换为十进制
方法是：
将其它进制按权位展开，然后各项相加，就得到相应的十进制数。
例1：
N=（10110.101）B=（？
）D
按权展开N=1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3
=16+4+2+0.5+0.125=（22.625）D
二：
将十进制转换成其它进制
方法是：
它是分两部分进行的即整数部分和小数部分。
整数部分：
（基数除法）
把我们要转换的数除以新的进制的基数，把余数作为新进制的最低位；
把上一次得的商在除以新的进制基数，把余数作为新进制的次低位；
继续上一步,直到最后的商为零,这时的余数就是新进制的最高位.
小数部分：
（基数乘法）
把要转换数的小数部分乘以新进制的基数，把得到的整数部分作为新进制小数部分的最高位
把上一步得的小数部分再乘以新进制的基数，把整数部分作为新进制小数部分的次高位；
继续上一步，直到小数部分变成零为止。
或者达到预定的要求也可以。
例2：
N=（68.125）D=（？
）O
整数部分 小数部分
（68.125）D=（104.1）O
三：
二进制与八进制、十六进制的相互转换
二进制转换为八进制、十六进制:
它们之间满足23和24的关系，因此把要转换的二进制从低位到高位每3位或4位一组，高位不足时在有效位前面添“0”，然后把每组二进制数转换成八进制或十六进制即可
八进制、十六进制转换为二进制时，把上面的过程逆过来即可。
例3：
N=（C1B）H=（？
）B
（C1B）H=1100/0001/1011=（110000011011）B
1、3二进制数的算术运算
一：
二进制的四则运算
二进制也可以进行四则运算，它的运算规则如下所示：
加运算
0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 逢2进1
减运算
1-1=0，1-0=1，0-0=1，0-1=1（向高位借1当2）
乘运算
0*0=0，0*1=0，1*0=0，1*1=1
除运算
二进制只有两个数（0，1），因此它的商是1或0.
例1：
求（1011101）B与（0010011）B之和
例2：
求（1101）B与（0101）B的乘积
通过例
（1）我们再来介绍两个概念：
半加和全加。
半加是最低位的加数和被加数相加时，不考虑低位向本位进位。
全加是加数和被加数相加时，我们还要考虑低位向本位的进位。
1、4数的原码、反码及补码
一：
数的表示形式
在生活中表示数的时候一般都是把正数前面加一个“+”，负数前面加一个“-”，但是在数字设备中，机器是不认识这些的，我们就把“+”用“0”表示，“-”用“1”表示。
原码、反码和补码。
这三种形式是怎样表示的呢？
如下所示：
真值
原码
反码
补码
例1：
求+12和-12八位原码、反码、补码形式
它们的原码分别为[+12]=00001100[-12]=100011
它们的反码分别为[+12]*=00001100
[-12]*=（28-1）+（-1100）=11110011
它们的补码分别为[+12]**=00001100
[-12]**=28+（-1100）=11110100
正数
+X
0X
0X
0X
负数
-X
1X
（2n-1）+X
2n+X
二：
原码、反码及补码的算术运算
因为这三种数码表示法的形成规则不同，所以算术运算方法也不相同。
原码：
与我们的日常中算术运算相同。
反码：
先转换为反码形式,再进行加减运算。
它的减法可以按A反+[-B]反的形式进行.
补码：
先转换为补码形式，再进行加减运算,其减法可以按A补+[-B]补进行.
三：
溢出及补码运算中溢出的判断
溢出可以描述为运算结果大于数字设备的表示范围。
这种现象应当作故障处理。
判断溢出是根据最高位的进位来判断的。
1、5编码
一：
二——十进制（BCD）码
用二进制码表示的十进制数，就称为BCD码。
它具有二进制的形式，还具有十进制的特点它可作为人们与数字系统的联系的一种间表示。
BCD码分为有权和无权编码。
（1）有权BCD码：
每一位十进制数符均用一组四位二进制码来表示，而且二进制码的每一位都有固定权值.下面我们用表列出几种常见的编码:
十进制数
常见的编码
8421
5421
2421
631-1
余3码
7321
0
0000
0000
0000
0000
0011
0000
1
0001
0001
0001
0010
0100
0001
2
0010
0010
1000
0101
0101
0010
3
0011
0011
1001
0100
0110
0011
6
0110
1001
1100
1000
1001
0111
8
1000
1011
1110
1101
1011
1001
9
1001
1100
1111
1100
1100
1010
（2）无权BCD码：
二进制码中每一位都没有固定的权值。
二：
奇偶校验码
在数据的存取、运算和传送过程中，难免会发生错误，把“1”错成“0”或把“0”错成“1”。
奇偶校验码是一种能检验这种错误的代码。
它分为两部分；信息位和奇偶校验位。
有奇数个“1”称为奇校验，有偶数个“1”则称为偶校验。
这个问题先介绍常见的十进制数，然后介绍二进制、十六进制，再介绍各进制数的相互转换，最后讲述十进制的二进制编码形式。
一、十进制数：
按照进位方式进行计数的制度称进位计数制。
进位计数制中有两个基本要素：
基数和权值。
十进制数的基数是10（0～9），权值是10ｉ（ｉ是数字所处位置的序号）。
特点是逢10进1。
例：
（567.8）10＝5×102+6×101+7×100+8×10-1
二、二进制数:
计算机内部使用的数值符号只有两个:
0和1。
外界的各种信息（数字、符号、图像）到了计算机内部都由0、1两个数字组成。
二进制数的基数是2，权值是2ｉ，特点是逢2进1。
例：
（101101.1）2＝1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1
＝32+8+4+1+0.5=45.5
三、十六进制数:
二进制数的缺点是位数多,不易书写和记忆,为此我们常采取十六进制数.
十六进制数的基数是16（0～9,A～F），位权是16ｉ。
特点是逢十六进一。
例:
（2B.A）16＝２×16+11×1+10/16＝（43.625）10
4B7+84C＝（D03）16
四、数制转换：
1.任意Ｒ进制数转换成十进制数：
只需将其按权展开的多项式求和。
例：
（11011.01）2＝1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2＝（27.25）10
（FC）16＝15×161+12×160＝（252）10
2.十进制数转换成二进制数：
分为整数部分和小数部分。
整数部分采取“除基取余法”：
将要转换的十进制整数除以2，取余数作为二进制整数的最低位Ｋ0，将商继续除以2，再取商的余数作为次低位Ｋ1，这样不断除，直到商为0，最后的余数作为二进制整数的最高位Ｋn。
举例:
小数部分采用“乘基取整”法：
将要转换的十进制小数乘以2，取积的整数部分作为二进制小数的最高位Ｋ-1，继续将积的小数部分乘以2，再取积的的整数部分作为二进制小数次高位Ｋ-2,……这样继续相乘，直到积的小数部分为0或达到所需精度为止，最后一位积的整数部分作为二进制小数最低位的系数Ｋ-m，这些系数的排列：
0、Ｋ-1、Ｋ-2……Ｋ-m，便构成了对应的二进制数。
举例:
对于既有整数部分，又有小数部分的十进制数，可按上述方法分别转换然后组合在一起。
例：
将十进制数（43.6875）10转换成对应的二进制数。
解:
由以上两例得 （43）10＝（101011）2
（0.6875）10＝（0.1011）2
所以 （43.6875）10＝（101011.1011）2
3.二进制数与十六进制数的相互转换：
十六进制数与二进制数之间存在简单的转换关系，每一位十六进数对应４位二进制数。
显示
二进制数向十六进制数转换，只要以小数点为界，分别向左、向右4位一组，每组对应一位十六进制数，可得到对应的十六进制数，两头不足4位时，用0补足。
举例
要将十六进制数转换成二进制数，只需将一位十六进制数转换成对应4位二进制数。
举例
五、ＢＣＤ码（Ｂｉｎａｒｙ Ｃｏｄｅｄ Ｄｅｃｉｍａｌｓ）：
在计算机中，经常要将十进制数用二进制编码来表示，这就是ＢＣＤ码。
它表面上具有二进制数的形式，又具有十进制数的特点。
一般ＢＣＤ码都以4位二进制数来表示１位十进制数。
常用的ＢＣＤ码有8421码、2421码、余3码，编码如下表所示。
显示表
1.8421ＢＣＤ码
是一种有权码，即每位二进制数都有固定的权，每个ＢＣＤ码从高到低分别是8、4、2、1，它是一种最自然、最简单的ＢＣＤ码。
注意:
举例
2.2421ＢＣＤ码
是一种有权码，每个ＢＣＤ码中从高到低分别是2、4、2、1，2421ＢＣＤ码的编码方案不是唯一的。
例:
（110001000010）2421BCD＝（642）D
3.余3ＢＣＤ码：
是无权码。
每一个余3ＢＣＤ码都比8421ＢＣＤ码的编码多3。
例：
（010001011000）余3码＝（125）D
六、可靠性编码：
代码在形成和传输过程中，因为外界干扰而发生错误。
为了尽可能减少错误的发生，或者在发生错误后能及时发现并矫正，在实际中采取可靠性编码技术，常用的有格雷码和奇偶校验码。
1.格雷码：
（又称循环码）
特点：
任意两个相邻的代码中仅有一位二进制数不同，这样在数码递增或递减过程中，只有一位发生变化，不会出现中间代码，减少了出错的可能性。
举例
2.奇偶校验码：
特点：
利用奇偶校验码可以发现代码在传输过程中发生的一位出错（0→1或1→0）。
奇偶校验码由信息位和校验位两部分组成，信息位是要传输的信息本身，校验位是为了检查错误而添加在信息位后的冗余位。
奇偶校验码分奇校验和偶校验两种，它们产生校验位的规则是不同的。
对于奇校验，增加一位校验位后使得信息位和校验位中“1”的个数总和是奇数；反之若“1”的个数总和是偶数则为偶校验。
以“９”为例：
信息在发送时如采用奇校验，在接收时对信息位和校验位中“1”的个数进行判断，如仍是奇数，说明信息传送未出错，如是偶数，则信息传送出现差错。
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