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西南财经大学

SouthwesternUniversityof

FinanceandEconomics

非线性时间序列

期末论文

论文题目：

ARCH模型的股票价格分析和预测

年级专业：

2014级应用统计

学号：

2140225200038

任课老师：

贺长礼

时间：

2014年12月26日

ARCH模型的股票价格分析和预测

一、ARCH模型的建立过程

ARCH模型是ARCH模型体系中理论较完善、应用最广泛的一种,即使某些时间序列更适合应用其它模型拟合,但一般还是先建立ARCH模型,并通过其进行深入地分析。

本文将以ARCH类模型为例作基本分析。

时间序列模型的建立通常有四个步骤:

第一步模型识别,第二步参数估计,

第三步阶数的确定,最后是模型检验。

ARCH模型建模也要先依据常见的时间序列的建模过程,其详细过程如下:

（1）建立均值效应模型并检验。

对整理得到的序列建立一个时间序列的计量经济模型,判别出数据中相关性的先后,对大部分收益率时间序列数据来说,就是从时间序列数据中把样本均值分离出来,接着对残差项,利用拉格朗日乘子法检验它是否存在ARCH效应。

（2）阶的确定。

如果检验统计量F,LM是显著的,则认为存在条件异方差性,用的偏自相关函数来确定ARCH模型的阶数。

（3）参数估计。

估计ARCH模型的参数,通常使用极大似然估计法。

（4）模型验证。

一般的ARCH模型,标准化抖动可以表示为,是一个独立同分布的随机变量且服从正态分布或标准化学生t分布。

因而,可以通过验证序列{}来判定所拟合的ARCH模型是否合适。

尤其是,可以用检验均值方程的方法来检验的Ljung-Box的统计量,的Ljung-Box的统计量还可以对波动率方程有效性进行检验。

的偏度、峰度图能检验分布假设的有效性。

二、ARCH模型在股票指数中的研究

（一）中小板指数的价格序列ARCH模型实证分析

1、数据选取

为说明ARCH模型在股价序列中的应用,本文选取中小板指数收盘价作比较详细的研究。

以下模型建立和选取采用的是2009年3月6日至2012年11月9日的中小板指数（399005.SZ）的收盘价,一共890个,本文用前885个数据来建立相应的模型,然后通过建立的模型预测第886到890的值,并将预测值和实际值作对比分析。

该数据来自于新浪财经网。

2、数据预处理

对于收集到的数据,先作时间序列图,并检验该组数据的自相关性。

检验结果如下:

图1中小板指数收盘价的时间序列图

图2中小板指数收盘价的自相关和偏自相关图

从上面的时序图和自相关图可以看出中小板指数的收盘价序列是一个非平稳的时间序列。

在实际的应用中,一般采用对数收益率的数据来拟合模型,对数收益率的公式如下:

其中表示时刻t的资产价格,表示t-1时刻的资产价格,表示相对收益。

对新建立的收益率序列作时间序列图,结果如下:

图3中小板指数收益率的时间序列图

从对数收益率图可以看出,收益率序列中出现了多个异常的峰值,可观察到对数收益率波动的集群现象,波动在一些时间段内较小,在有的时间段内非常大,体现出序列波动的条件异方差现象,这说明这些序列大多不是随机游动过程。

3、数据分析

首先，进行正态性检验，得到收益率序列的描述性统计量如下:

图3中小板指数收益率序列的描述性统计量

观察上述检验结果发现,样本期内的中小板指数收益率均值为0.000237,标准差为0.016817。

偏度为-0.542293,小于0,说明此序列数据有较长的左拖尾的现象。

左偏峰度为4.109599,而正态分布的峰度值3,中小板指数收益率的左偏峰度大于正态分布的峰度值,说明收益率具有尖峰和厚尾的特征。

Jarque-Bera统计量为88.67755,P值为0.000000,说明该对数收益率序列拒绝正态分布的假设。

接着,利用单位根的方法检验序列的平稳性。

图4中小板指数收益率ADF检验结果

ADF单位根检验的t统计量的值为-28.02253,小于在1%,5%,10%水平下的统计量值,且P值为0,说明收益率的序列拒绝随机游走的假设,从而说明这个时间序列是平稳的。

然后,检验收益率数据的自相关性

中小板指数收益率序列的自相关和偏自相关图

上图左边两列是自相关和偏自相关的图,本研究中使用的是Ljung-Box的Q统计量。

观察最后一列的P值,可以看到在置信水平5%下,序列存在5阶、6阶、10阶等阶数的自相关。

4、模型建立

对收益率序列作过如上分析后,开始建立相应的模型,序列存在自相关,在多次的建模尝试中,滞后5阶的自回归方程具有显著性,故先建立AR（5）模型。

图5中小板指数收益率序列的自回归结果

用Ljung-BoxQ统计量对均值方程拟合后的残差及残差平方做自相关检验,结果如下:

图6收益率残差的自相关和偏自相关图

图7收益率残差平方的自相关和偏自相关图

分析比较上述结果得残差在置信水平为5%时,不存在显著自相关,但是残差平方有显著的自相关性。

对以上均值方程进行ARCH效应检验,采用ARCHLM检验

图8中小板指数收益率的ARCH效应检验

F统计量和LM统计量所对应的概率值都

小于0.05,说明落在了临界值的右边,即为原假设的拒绝域,则残差平方的序列存在自相关,即模型的残差序列存在自回归异方差。

通过分析,该序列应在AR（5）均值方程的基础上建立ARCH模型。

图8AR（5）-ARCH

（2）模型估计结果

以上显示的计算结果,第一部分给出了均值方程的估计结果,第二部分是ARCH

（2）方程的参数估计值,第三部分是均值方程的评价统计量,第四部分给出了均值方程对应的特征根倒数值。

均值方程的表达式为:

ARCH

（2）方程的表达式为:

对以上建立的AR（5）-ARCH

（2）模型的残差再进行ARCHLM检验,结果如下

图9AR（5）-ARCH

（2）模型残差的ARCH效应检验

因为F,LM统计量的的值对应的概率都大于0.05,说明统计量的值都落在了原假设的接受域,即误差项已不存在自回归性异方差。

5、模型预测

建模最主要的目的之一就是用来预测未来值,通过预测得到的观测值来分析市场走势,能够指引投资者做出合理正确的投资。

预测分为静态预测和动态预测。

静态预测是利用滞后因变量的实际值而不是预测值计算一步向前预测,动态预测是从样本的第一期开始计算多步预测。

由于动态预测的效果会接近于线性,下面仅给出AR（5）-ARCH

（2）模型的静态预测结果,并计算绝对误差和相对误差。

表1AR（5）-ARCH

（2）模型静态预测结果

时间

实际值

预测值

绝对误差

相对误差（%）

2012-11-5

4202.155

4236.07

33.92

0.81

2012-11-6

4176.904

4202.22

26.332

0.63

2012-11-7

4175.032

4175.35

0.32

0.01

2012-11-8

4074.996

4169.24

94.24

2.31

2012-11-9

4054.247

4075.82

21.57

0.53

分析比较上表数据,预测数据与实际数据的相对误差都比较小,其中只有2012年11月8日的指数在作预测时的相对误差值较大,这说明市场中存在一些其他因素的影响。

通过上表,比较实际值和预测值可以发现,实际值呈现递减的趋势,得到的预测值也是递减的,这说明建立ARCH模型在预测的时候可以很好地预测股价指数收盘价的趋势。

但是,仔细观察数据可以发现,预测值存在滞后现象,这个现象在运用本文的模型时,不能很好地解决这一问题,在今后的研究中将会成为一个研究重点。

此外,从上表数据分析绝对误差的时,误差的值相对而言较大,这也恰好说明市场中各个因素的干扰使得中小板指数的波动不会特别遵循某一特定的规律或者模型,市场的投资者需要时刻关注股市动态和其他市场信息。

总体而言,短期预测的效果还是比较令人满意的,基于理想解法体系的模型评价和选择有一定的科学合理性。

三、数据

日期

收盘价

日期

收盘价

日期

收盘价

日期

收盘价

2009/3/6

3436.158

2010/1/29

5437.427

2011/1/5

6865.589

2011/12/6

4751.682

2009/3/9

3304.051

2010/2/1

5335.211

2011/1/6

6804.593

2011/12/7

4771.694

2009/3/10

3362.122

2010/2/2

5299.596

2011/1/7

6770.147

2011/12/8

4774.838

2009/3/11

3328.485

2010/2/3

5381.761

2011/1/10

6584.035

2011/12/9

4719.58

2009/3/12

3326.025

2010/2/4

5369.634

2011/1/11

6516.86

2011/12/12

4661.977

2009/3/13

3330.04

2010/2/5

5269.245

2011/1/12

6541.56

2011/12/13

4547.822

2009/3/16

3364.475

2010/2/8

5272.914

2011/1/13

6556.845

2011/12/14

4468.311

2009/3/17

3484.185

2010/2/9

5284.018

2011/1/14

6434.863

2011/12/15

4399.234

2009/3/18

3525.9

2010/2/10

5360.553

2011/1/17

6139.999

2011/12/16

4508.059

2009/3/19

3594.929

2010/2/11

5355.429

2011/1/18

6164.286

2011/12/19

4500.315

2009/3/20

3588.388

2010/2/12

5436.517

2011/1/19

6314.32

2011/12/20

4479.565

2009/3/23

3655.086

2010/2/22

5412.955

2011/1/20

6080.93

2011/12/21

4364.789

2009/3/24

3681.457

2010/2/23

5430.76

2011/1/21

6101.094

2011/12/22

4331.155

2009/3/25

3609.182

2010/2/24

5554.244

2011/1/24

5910.35

2011/12/23

4350.944

2009/3/26

3681.999

2010/2/25

5652.171

2011/1/25

5845.759

2011/12/26

4305.486

2009/3/27

3712.679

2010/2/26

5660.489

2011/1/26

5967.19

2011/12/27

4201.853

2009/3/30

3707.19

2010/3/1

5723.48

2011/1/27

6076.094

2011/12/28

4189.723

2009/3/31

3747.492

2010/3/2

5732.683

2011/1/28

6121.61

2011/12/29

4209.291

2009/4/1

3816.436

2010/3/3

5792.34

2011/1/31

6180.679

2011/12/30

4295.862

2009/4/2

3882.307

2010/3/4

5611.221

2011/2/1

6196.807

2012/1/4

4181.814

2009/4/3

3868.745

2010/3/5

5604.17

2011/2/9

6117.707

2012/1/5

4034.529

2009/4/7

3890.155

2010/3/8

5670.77

2011/2/10

6295.204

2012/1/6

4042.323

2009/4/8

3777.348

2010/3/9

5669.553

2011/2/11

6397.45

2012/1/9

4167.504

2009/4/9

3829.828

2010/3/10

5612.815

2011/2/14

6508.335

2012/1/10

4339.788

2009/4/10

3973.584

2010/3/11

5577.96

2011/2/15

6497.98

2012/1/11

4321.276

2009/4/13

4062.184

2010/3/12

5489.164

2011/2/16

6592.233

2012/1/12

4299.971

2009/4/14

4126.036

2010/3/15

5436.192

2011/2/17

6632.653

2012/1/13

4146.568

2009/4/15

4146.211

2010/3/16

5477.506

2011/2/18

6565.293

2012/1/16

3986.387

2009/4/16

4144.936

2010/3/17

5623.08

2011/2/21

6681.131

2012/1/17

4187.766

2009/4/17

4081.76

2010/3/18

5612.68

2011/2/22

6515.81

2012/1/18

4062.326

2009/4/20

4196.897

2010/3/19

5652.578

2011/2/23

6580.126

2012/1/19

4124.631

2009/4/21

4196.679

2010/3/22

5681.599

2011/2/24

6642.046

2012/1/20

4210.464

2009/4/22

4000.699

2010/3/23

5664.158

2011/2/25

6661.009

2012/1/30

4184.388

2009/4/23

4024.727

2010/3/24

5688.706

2011/2/28

6732.994

2012/1/31

4188.037

2009/4/24

4039.209

2010/3/25

5624.395

2011/3/1

6758.663

2012/2/1

4175.301

2009/4/27

3889.426

2010/3/26

5700.083

2011/3/2

6719.864

2012/2/2

4252.122

2009/4/28

3900.381

2010/3/29

5750.719

2011/3/3

6585.856

2012/2/3

4330.386

2009/4/29

3982.051

2010/3/30

5806.978

2011/3/4

6633.425

2012/2/6

4369.139

2009/4/30

4030.396

2010/3/31

5829.449

2011/3/7

6717.399

2012/2/7

4292.981

2009/5/4

4147.893

2010/4/1

5922.597

2011/3/8

6735.213

2012/2/8

4416.617

2009/5/5

4175.751

2010/4/2

5945.902

2011/3/9

6760.111

2012/2/9

4447.219

2009/5/6

4274.564

2010/4/6

5938.025

2011/3/10

6734.333

2012/2/10

4460.054

2009/5/7

4253.008

2010/4/7

5968.442

2011/3/11

6712.639

2012/2/13

4513.718

2009/5/8

4204.582

2010/4/8

5978.708

2011/3/14

6770.313

2012/2/14

4513.803

2009/5/11

4051.4

2010/4/9

6092.072

2011/3/15

6724.036

2012/2/15

4567.384

2009/5/12

4135.019

2010/4/12

6156.137

2011/3/16

6812.78

2012/2/16

4539.916

2009/5/13

4195.349

2010/4/13

6057.48

2011/3/17

6697.396

2012/2/17

4517.567

2009/5/14

4187.925

2010/4/14

6108.889

2011/3/18

6734.257

2012/2/20

4528.262

2009/5/15

4229.919

2010/4/15

6033.523

2011/3/21

6673.241

2012/2/21

4583.17

2009/5/18

4243.324

2010/4/16

6045.675

2011/3/22

6631.214

2012/2/22

4694.009

2009/5/19

4266.124

2010/4/19

5823.501

2011/3/23

6714.998

2012/2/23

4726.8

2009/5/20

4270.243

2010/4/20

5879.563

2011/3/24

6707.258

2012/2/24

4772.895

2009/5/21

4192.179

2010/4/21

6074.505

2011/3/25

6743.758

2012/2/27

4790.465

2009/5/22

4175.683

2010/4/22

6109.617

2011/3/28

6653.061

2012/2/28

4749.399

2009/5/25

4200.467

2010/4/23

6047.323

2011/3/29

6499.911

2012/2/29

4690.789

2009/5/26

4211.779

2010/4/26

6078.245

2011/3/30

6444.912

2012/3/1

4709.185

2009/5/27

4209.59

2010/4/27

5913.657

2011/3/31

6397.669

2012/3/2

4794.896

2009/6/1

4269.227

2010/4/28

5912.179

2011/4/1

6456.601

2012/3/5

4781.816

2009/6/2

4279.922

2010/4/29

5741.833

2011/4/6

6405.636

2012/3/6

4743.686

2009/6/3

4290.504

2010/4/30

5602.974

2011/4/7

6442.492

2012/3/7

4747.955

2009/6/4

4279.711

2010/5/4

5590.526

2011/4/8

6514.463

2012/3/8

4806.259

2009/6/5

4271.272

2010/5/5

5752.047

2011/4/11

6441.647

2012/3/9

4902.872

2009/6/8

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