轴对称综合提高.docx

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轴对称综合提高

一、知识脉络图

二、知识点拨

1.非等腰三角形中边角的不等关系：

在一个三角形中，如果两边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边对大角；如果两角不相等，那么它们所对的边也不相等，大角对大边．可利用图①和图②证明这两个事实．

2.平面直角坐标系中，关于坐标轴夹角平分线对称的点的坐标特征：

如图③，如果点A的坐标是（a，b），那么点A关于一、三象限角平分线对称的点B的坐标是（b，a），关于二、四象限角平分线对称的点C的坐标是（－b，－a）．点A在其他象限时这一规律仍然成立，只要两点关于一、三象限角平分线对称，其横、纵坐标互换位置；关于二、四象限角平分线对称，其横、纵坐标变号后互换位置．

能力提升类

例1已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD为BC边上的高，P点在AC上，E点在AD上，若PE＋EC的最小值为4，则△ABC的面积为（）

A.8B.16C.32D.64

一点通：

设点P关于AD的对称点为点P’，则点P’一定在AB上，且CP’⊥AB时P’E＋EC的值最小，即PE＋EC的值最小．所以在Rt△ACP’中∠BAC＝30°，AC＝2CP’＝8，所以AB＝8，CP’＝4．所以S△ABC＝

AB·CP’＝

×8×4＝16．

答案：

B

点评：

线段最短问题一般与轴对称有关，解答本题的关键是通过作某线段端点的对称点，将两条线段之和的最小问题转化为点到直线的距离问题．本题有两种作法：

一、作点P关于AD的对称点P’；二、作点C关于直线AD的对称点，由等腰三角形的对称性可知，这个点就是点B，连结BE即可．

例2已知点A（－2，4）、B（2，4）、C（－1，2）、D（1，2）、E（－3，1）、F（3，1）是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中能找出__________组对称三角形．

一点通：

本题考查平面直角坐标系中点的轴对称问题，很明显△ACE和△BDF关于y轴对称．本题的难点在于确定是否还有其他的对称三角形，因为这6个点可以组成很多三角形，还应注意，这样的对称三角形是把6个点分成两组，两组中不能有重复的点，如△ABC和△BAD虽然关于y轴对称，但不符合题意．

答案：

4，如图所示：

点评：

根据本题要求，解答时有一个规律：

首先在y轴左侧任选两点，然后选第三点组成三角形，第三点只能是y轴左侧剩下的那一点或它的对称点，即△ACE与△BDF，△ACF与△BDE等，共6组，其中△ACE与△BDF重复出现3次，所以一共有4组对称三角形．如果不按规律，则很容易造成漏解．

综合运用类

例3如图所示，把正方形纸片ABCD对折后打开，折痕为MN，再把顶点D折到MN上的一点P上，折痕为CE，把顶点A折到MN上的同一点，折痕为BF，请回答下列问题：

（1）线段PC、PB与正方形的边长有什么关系？

（2）∠CPB的度数是多少？

（3）还能知道哪些角的度数？

请指出来．

一点通：

此题利用轴对称图形的性质，首先得到折痕（对称轴）MN，又得到折痕EC、BF，它们所在的直线都是对称轴，即△CPE与△CDE关于CE所在的直线对称，△ABF与△PBF关于BF所在的直线对称，根据轴对称的性质可得到对应边相等，对应角相等，从而得出△PBC是等边三角形这个事实．

答案：

（1）由折叠的性质得：

线段PC、PB均等于正方形的边长，PC＝PB；

（2）由

（1）可知，PC＝PB＝BC，所以△PBC是等边三角形，所以∠CPB＝60°；（3）由

（1）、

（2）可知：

∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，∠5＝∠6＝30°，∠7＝∠8＝∠9＝∠10＝15°，∠MFP＝∠MEP＝30°，∠EPF＝120°，∠NPF＝∠NPE＝120°，等等．

点评：

此题提供了一种通过折叠裁剪等边三角形的方法，要记住哟！

例4已知：

如图所示，△ABC是等边三角形，P是三角形外的一点，且∠ABP＋∠ACP＝180°．求证：

PB＋PC＝PA．

一点通：

欲证PB＋PC＝PA，可考虑将BP、PC转移到同一条直线上，将问题转化为证明线段相等，由条件∠ABP＋∠ACP＝180°，此题较适合补短，即延长PC到D，使CD＝BP，连结AD，证明AP＝PD即可．也可以延长BP到点D，使PD＝PC，连结CD．

答案：

延长PC到点D，使CD＝BP，连结AD．∵∠ABP＋∠ACP＝180°，∠ACP＋∠ACD＝180°，∴∠ABP＝∠ACD．在△ABP和△ACD中，

，∴△ABP≌△ACD（SAS），∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD．∵∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠CAD＋∠PAC＝60°，即∠PAD＝60°，∴△PAD是等边三角形．∴PC＋CD＝PD＝PA．∴PB＋PC＝PA．

点评：

求多条线段间的长度关系时有两条主要的思路，一是找出与所求线段相等的线段，等量代换；二是利用截长补短法．

思维拓展类

例5如图所示，在△ABC中，AB＝AC，F是AC上一点，在BA延长线上取一点E使AE＝AF，连结EF并延长，交BC于D，求证：

EF⊥BC．

一点通：

证明两线垂直，可证明其夹角为90°，已知条件中没有与90°有关的条件，本题解法较多，可分为两类：

一是不添加辅助线，利用平角或三角形内角和通过计算求∠BDE的度数．二是构造出直角．作等腰三角形的对称轴，如图①和图②，可构造直角；如图③、④，其原理一样，都是先作垂直，再证明有关线段的位置关系；如图⑤，把DE构造成一个等腰三角形的对称轴．

答案：

证法1：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EAF＝2∠B．∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE，∴∠BAC＝2∠E．∴∠EAF＋∠BAC＝180°，∴2∠E＋2∠B＝180°，∴∠E＋∠B＝90°，∴∠BDE＝90°，即EF⊥BC．

证法2：

过点A作AG⊥BC于G，如图①所示．∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠E，∴∠BAC＝∠AFE＋∠E＝2∠AFE．在等腰三角形ABC中，AG⊥BC，∴∠BAC＝2∠GAC，∴∠GAC＝∠AFE，∴AG∥ED，∵AG⊥BC，∴EF⊥BC．

证法3：

过点A作AH⊥EF于H，如图②所示．∵AE＝AF，AH⊥EF，∴∠EAH＝

∠EAF．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∠EAF＝∠B＋∠C，∴∠B＝

∠EAF．∴∠EAH＝∠B，∴AH∥BC，∵AH⊥EF，∴EF⊥BC．

证法4：

过点C作MC⊥BC于C，交BA的延长线于M，如图③所示．∵∠M＋∠B＝90°，∠ACB＋∠ACM＝90°，又∵∠B＝∠ACB，∴∠M＝∠ACM．∵∠AEF＝∠AFE，且∠AEF＋∠AFE＝∠M＋∠ACM＝180°－∠MAC，∴∠M＝∠AEF．∴EF∥MC，∴EF⊥BC．

证法5：

过E作EN⊥EF于E，交CA的延长线于N，如图④所示．∵EN⊥EF，∴∠NEA＋∠AEF＝90°，∠N＋∠EFN＝90°，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠N＝∠NEA．又∠B＝∠C，且∠B＋∠C＝∠N＋∠NEA＝180°－∠BAC，∴∠N＝∠C，∴NE∥BC，∵NE⊥EF，∴EF⊥BC．

证法6：

过点E作EP∥AC，交BC的延长线于点P，如图⑤所示．∵EP∥AC，∴∠P＝∠ACB，∵∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠P．∵∠PEF＝∠AFE，∠AFE＝∠AEF，∴∠PEF＝∠AEF，∴ED⊥BP，即EF⊥BC．

点评：

本题用多种方法证明了EF⊥BC，这些方法可分成两类：

一是由角之间的关系利用三角形内角和来证；二是利用等腰三角形的轴对称性构造具有垂直关系的线段．

例6如图所示，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP，EF⊥FP．

（1）在图1中，请你通过观察测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ，你认为

（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

一点通：

第

（1）问易解，第

（2）、（3）问先猜测结论再证明，因为图2和图3是平移变换过程中两个不同的状态，所以其结论和证明方法应该类似．从图2和图3来看，BQ和AP的数量关系和位置关系比较容易猜测，是相等且垂直的关系．关键是如何证明，BQ和AP相距较远，可考虑利用三角形全等来证；线段BQ和AP不相交，可延长BQ与AP相交，利用角之间的关系证明其夹角是90°．

答案：

（1）AB＝AP，AB⊥AP．

（2）BQ＝AP；BQ⊥AP．证明：

①由已知得EF＝FP，EF⊥FP，∴∠EPF＝45°，又AC⊥BC，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，∴CQ＝CP，又BC＝AC，∠BCQ＝∠ACP＝90°，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴BQ＝AP；②延长BQ交AP于点M，∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠CBQ＝∠CAP，又∠CBQ＋∠CQB＝90°，∠CQB＝∠AQM，∴∠CAP＋∠AQM＝90°，∴BQ⊥AP；

（3）成立，证明：

①∵∠EPF＝45°，∴∠CPQ＝45°，又AC⊥BC，∴∠CQP＝∠CPQ＝45°，∴CQ＝CP，又BC＝AC，∠BCQ＝∠ACP＝90°，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴BQ＝AP；②延长QB交AP于点N，则∠PBN＝∠CBQ，∵∠BQC＋∠CBQ＝90°，∴∠APC＋∠PBN＝90°，∴BQ⊥AP．

点评：

这是一道与平移变换有关的图形探索问题，解答这类问题时，应重点分析变换过程中变化的量和不变的量．在本题中Rt△BCQ≌Rt△ACP是一种始终不变的关系，它也正是BQ＝AP、BQ⊥AP的原因．

一、等腰三角形中常用到的辅助线

1.通常作底边的高、中线或顶角平分线；

2.底边有中点时，常常连底边上的中线；

3.截长补短法．在证明多条线段的和差关系时常用此法，特别是在已知条件中有角平分线时，一般是在长边上截取短边，构造全等三角形．

以上添加辅助线的最终目的是：

通过等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线、全等三角形把分散的边角关系进行集中．

二、几何证明题的分析方法

从已知条件入手，运用定义、定理、公理逐步推出结论的方法叫做综合法．从要证明的结论出发，根据定义、性质、定理、公理，寻找能使结论成立的条件，一直追溯到能使结论成立的条件与已知条件吻合的方法叫做分析法．在解几何问题时，两种方法常结合使用，使问题顺利解决．

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

（1）该性质揭示了30°角直角三角形的边的数量关系的特殊性．

（2）此性质的前提是“在直角三角形中”．在解题时，如果只知道一个三角形有一个角为30°，就说这个角的对边等于某邻边的一半，是错误的．

（3）该性质主要应用于计算和证明线段的倍分关系．

（4）该性质的逆命题也是真命题，即：

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°．

（答题时间：

60分钟）

一、选择题

1.一个人站在平面镜前，哪一面镜子里是他的像？

（）

2.如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

3.等腰三角形中，有一个角是50°，则它的一条腰上的高与底边的夹角是（）

A.25°B.40°

C.25°或40°D.以上都不对

*4.在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB，O是坐标原点，点A的坐标是（a，b），底边AB的中线在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标为（）

A.（b，a）B.（－a，－b）C.（a，－b）D.－（a，b）

5.如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（）

A.3个B.2个C.1个D.不存在

6.如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：

①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

7.小明把一张长方形的纸对折2次，描上一个四边形，再剪去这个图形（镂空），展开长方形纸，得到如下图案，设折痕为l1、l2、l3，观察图形并填空：

四边形①与四边形②关于__________成轴对称；折痕l2既是__________与__________的对称轴；又是__________与__________的对称轴；从整体看也是__________与__________的对称轴．

8.在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为（－1，3）、（－2，－4）、（1，3）、（2，－4），则线段AB与CD的位置关系是__________．

9.如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM＝ON＝MN，那么∠APQ＋∠CQP＝__________．

10.如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD＝158°，则∠EDF等于＝__________．

三、综合运用

11.如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任一点，且AB＞AC，求证：

AB－AC＞PB－PC．

12.一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行有无触礁的危险．

13.已知：

如图，△ABC中，BC边中垂线ED交BC于E，交BA延长线于D，过C作CF⊥BD于F，交DE于G，DF＝

BC，试证明：

∠FCB＝

∠B．

14.如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，求证：

BC＝BD＋AD．

四、拓展探索

15.

（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数．）

（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

一、选择题

1.B解析：

注意观察裤子上的图案，在抱球的那一侧．

2.B解析：

由题意可知，∠BAE＋2∠C＝90°，所以∠C＝40°．

3.C解析：

如果这个角是顶角，那么底角是

（180°－50°）＝65°，此时一腰上的高与底边的夹角是90°－65°＝25°；如果这个角是底角，那么一腰上的高与底边的夹角是90°－50°＝40°．

4.A解析：

利用本讲专家点拨中的规律方法可求．

5.B解析：

如图所示，过点B作BP1⊥AB交直线l于点P1，则∠AP1B＝30°．作AP2⊥l于点P2，则∠AP2B＝30°．P1、P2是满足条件的点．

6.D解析：

根据题意，①∠PBC＝15°易证；可通过同旁内角互补证得②AD∥BC；延长CP交AB于点Q，可通过三角形内角和证明∠CQB＝90°，即③PC⊥AB；因为AD∥BC，所以过点P与AD垂直的直线必与BC垂直，这条直线也同时平分AD和BC，所以有④四边形ABCD是轴对称图形．

二、填空题

7.l1；①④；②③；①和②③和④

8.关于y轴对称

9.240°解析：

因为OM＝ON＝MN，所以△OMN是等边三角形，所以∠MON＝60°，所以∠AOM＝120°．∠APQ、∠CQP、∠AOM是△OPQ的三个外角，其和是360°，所以∠APQ＋∠CQP＝360°－120°＝240°．

10.68°解析：

在Rt△BDE和Rt△CFD中，∠B＝∠C，所以∠BDE＝∠CFD＝180°－∠AFD＝22°，所以∠EDF＝90°－22°＝68°．

三、综合运用

11.证明：

在AB上取一点E，使AE＝AC，连结PE，易得△AEP≌△ACP，所以PE＝PC．在△BEP中，BE＋PE＞PB，即（AB－AC）＋PC＞PB，所以AB－AC＞PB－PC．

12.解：

依题意画图，则AB＝7海里，过点P作PC⊥AB于C，则由题意可知∠PBC＝30°，∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°－15°＝15°，∴∠PAB＝∠APB，∴PB＝AB＝7（海里）．∴PC＝

PB＝

×7＝3.5（海里）．∵PC＜3.8海里，∴该船一直向东航行有触礁的危险．

13.证明：

如图①，连结CD，∵DE垂直平分BC，∴CE＝

BC，∵DF＝

BC，∴CE＝DF．由CF⊥BD，DE⊥BC得∠DFG＝∠CEG＝90°，又∠FGD＝∠EGC，∴△FGD≌△EGC（AAS）∴EG＝FG，DG＝CG，∴DG＋EG＝CG＋FG，即DE＝CF．在△BCF和△BDE中，

，∴△BFC≌△BED（AAS），∴BD＝BC．∴DF＝

BC＝

BD，∴CF是BD的中垂线，∴∠BCF＝

∠BCD．又∵DE是BC的中垂线，∴∠B＝∠BCD，∴∠BCF＝

∠B．或连结BG，如图②，证得△FGD≌△EGC，有FG＝EG，∴BG是∠DBC的平分线，∴∠GBC＝

∠DBC．又∵DE是BC的中垂线，∴∠GBC＝∠FCB，即∠FCB＝

∠DBC．

14.证明：

本题可采用“截长”或“补短”两种方法．如图①，在BC上截取BF＝BA，BE＝BD．在△ABC中，∵∠A＝100°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝40°．∵BD平分∠ABC，在△ABD和△FBD中，

，∴△ABD≌△FBD（SAS）．∴AD＝DF，∠DBF＝

∠ABC＝20°，∠BFD＝∠A＝100°．在△BDE中，BD＝BE，∠DBC＝20°，∴∠BED＝

（180°－20°）＝80°，∠DFE＝180°－∠BFD＝80°，即∠BED＝∠DFE，∴DE＝DF．又∵∠C＝40°，∴∠CDE＝∠BED－∠C＝40°，∴EC＝DE．即EC＝DE＝DF＝AD．∴BC＝BE＋EC＝BD＋AD．或如图②，延长BD到点E，使BE＝BC，连结CE，在BC上取一点F，使BF＝BA，易证△ABD≌△FBD，得AD＝DF，再证△CDE≌△CDF，得DE＝DF，故BE＝BC＝BD＋AD．

四、拓展探索

15.解：

（1）如图所示：

（共有两种不同的分割法）

（2）设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交AC边于D．在△DBC中，（ⅰ）若∠C是顶角，如图①所示，则∠ADB＞90°，∠CBD＝∠CDB＝

（180°－x）＝90°－

x，∠A＝180°－x－y，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－（90°－

x）．∴3x＋4y＝540°，则∠ABC＝135°－

∠C．（ⅱ）若∠C是底角，则有两种情况．

第一种情况：

如图②所示，当DB＝DC时，则∠DBC＝∠C＝x，在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x．（a）由AB＝AD，得2x＝y－x，此时有y＝3x，即∠ABC＝3∠C．（b）由AB＝BD，得∠A＝∠ADB，即180°－x－y＝2x，此时3x＋y＝180°，即∠ABC＝180°－3∠C．（c）由AD＝BD，得∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－x，此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为不大于45°的任意锐角．

第二种情况：

如图③所示，当BD＝BC时，∠BDC＝∠C＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，从而∠A＝∠ABD＝

∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．所以当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述．∠ABC与C可能存在四种关系：

∠ABC＝135°－

∠C；∠ABC＝3∠C；∠ABC＝180°－3∠C；∠ABC＝90°，∠C为不大于45°的任意角．