轴对称提高训练经典版.doc
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轴对称提高
一、教学目标
掌握利用轴对称图形的性质解决最短路线问题的方法；等腰三角形性质的活用
二、教学重难点
重点：
轴对称的实际应用、等腰三角形性质
难点：
轴对称的应用、角平分线与垂直平分线的应用、等腰三角形相关计算与证明
三、基础知识梳理
轴对称的性质可运用于实际问题中的最短路线问题、球的反弹、光线反射等，解决办法是作对称点；
等腰三角形所有的性质包括：
等边对等角等角对等边、三线合一、轴对称性等，主要应用于求跟角平分线和中垂线结合的求解问题
四、典型例题分析
题型一：
角平分线及其中垂线的应用
例1.
（1）三角形内一点到三角形的三个顶点的距离相等的点是三角形________的交点．
（2）三角形内一点到三角形的三边的距离相等的点是三角形________的交点．
（3）
例2.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：
CD=3：
2，BC=15cm，则点D到AB的距离是__________．
例3.已知：
如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC．求证：
BC=AB+AD
例4.如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：
CP是△ABC的外角平分线．
练习：
1.如图,裁剪师傅将一块长方形布料ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，若∠BAF=60°，则∠DAE=
2.如图,在△ABC中，∠C=90°，AD的平分∠BAC交BC于D，点D到AB的距离为7cm，CD=
3.在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠A=40°，则∠CDB=，∠CBD=
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，若∠B=20°，
则∠DAC=
1题图2题图3题图4题图
5.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC=10cm，则△DBE的周长等于（）
A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm
④
①
②
③
6.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处
7.如图,△ABC中,∠BAC=110°,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,BC=10cm.
（1）求△ADE的周长;
（2）求∠DAE的度数.
题型二：
轴对称性质的应用——最短路线问题
例5.如图，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置．
（1）试问：
怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？
（2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？
例6.
例7.
（1）在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．
（2）在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
练习：
1.在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点．水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短（假设速度一定）?
小岛小岛
观测点
2.如图，在直线CD上有一动点P，P在CD上从右往左运动的过程中，找出
（1）点P到A、B距离之和最小时的位置；
（2）点P到A、B距离相等时的位置；
（3）点P到A、B的距离之差最大时P的位置。
题型三：
等腰三角形的性质
例8.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的三个内角的度数。
例9.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠A的度数
A
B
C
D
E
例10.如图，已知：
在中，，，，。
求：
的度数。
例11.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：
△BCE≌△ACD；
②求证：
CF=CH；
③判断△CFH的形状并说明理由．
例12.如图，在△ABC中，P是的BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQ=AR，则△ABC是等腰三角形吗？
请说明理由。
练习：
1.等腰三角形的一个角为45°，则它的底角为
等腰三角形的一个角为96°，则它的底角为
2.等腰三角形的两个内角之比是1∶2，那么这个等腰三角形的顶角度数为___________.
3.等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为_____.
4.如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数
A
B
C
D
E
5.如图，中，，试说明：
．
6.如图，已知：
在中，，。
求：
的度数。
7.如图，已知：
是等边三角形，分别在AC、BC边上取点E、F，使，BE、AF相交于点D.求证：
.
8.如图1，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过D作EF//BC,交AB于E,交AC于F,易证:
EF=BE+CF.
当D为∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线的交点（如图2）时，或当D为∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角平分线的交点（如图3）时，其它条件都不变，EF、BE、CF的关系又如何？
请对图2进行证明.
A
B
C
D
E
F
H
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
五、课后练习
1．（2012•东城区二模）已知：
等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．
（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；
（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．
2．如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F，
求证：
DE=DF．
3．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：
（1）△ABC≌△DCB；
（2）点M在BC的垂直平分线上．
4．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：
BF=AC+AF．
5．已知△ABC的角平分线AP与边BC的垂直平分线PM相交于点P，作PK⊥AB，PL⊥AC，垂足分别是K、L，
求证：
BK=CL．
6．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹）
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N，求BM的长．
8．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：
BN=CM．
9．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．
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