勾股定理教案.docx

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勾股定理教案

动态教案模板

学科数学授课年级八年级学校教师姓名

章课题

第十八章勾股定理

总课时

第课时

节课题

18．1勾股定理

（1）

课型

新授课

授课时间

3月19日

教学三维目标

知识与技能：

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

过程与方法：

经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。

情感、态度价值观：

培养学生严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值。

教学用具

教学重点

勾股定理的内容及证明。

教学难点

勾股定理的证明。

教学过程

师生双边活动

动态调整升级

一、引入新课：

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，

那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

二、讲授新课：

方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明。

S正方形＝C

S正方形＝4ab＋（a－b）

方法二；

已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

ab＋c2

右边S=（a+b）2

左边和右边面积相等，即

4×

ab＋c2=（a+b）2

化简可得。

方法三：

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90º,

∴∠AED+∠BEC=90º.

∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于

又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于

∴

勾股定理的证明方法，达300余种。

请学生利用业余时间探究。

三、课堂练习：

1．勾股定理的具体内容是：

。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

参考答案

四、小结：

请同学们总结下本节课里你有哪些收获？

学生说出结论，教师补充。

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

进一步让学生确信勾股定理的正确性。

板书设计

18．1勾股定理

（1）

例1

例2

作业布置

教材第69页1、2题。

教学反思及学情反馈

对于分式的值不理解学生思维的定势是分数它是固定的值而分式的值它是变量既然是变量那么就可能出现值为零的情况的，那么这个值是如何出现的就得取定变量X的值的。

在例题讲解的当中还可以扩充当a为何值时，分式

的值为正？

值为负这样对于学生知识一整个理解是非常的必要的学生就知道分式的值会有三大种不同的情况：

值为0值为正值

动态教案模板

学科数学授课年级八年级学校教师姓名

章课题

第十八章勾股定理

总课时

第课时

节课题

18．1勾股定理

（2）

课型

新授课

授课时间

3月20日

教学三维目标

知识与技能：

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

过程与方法：

经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。

情感、态度价值观：

培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。

教学用具

教学重点

勾股定理的简单计算。

教学难点

勾股定理的灵活运用

教学过程

师生双边活动

动态调整升级

一．复习引入。

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

二．讲授新课：

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

分析：

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

AB=3cm，则此题可解。

三、练习

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

参考答案

1．17；

；6，8；6，8，10；4或

；

，

；

2．8；3．48。

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生明

分析：

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

AB=3cm，则此题可解。

板书设计

18．1勾股定理

（二）

例3

例4

作业布置

教材第70页3，4题

教学反思及学情反馈

这一课学生能用类比的方法很快从分数的基本性质得到分式的基本性质。

但在实际运用中还有些同学对用字母表示的式子不习惯。

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学科数学授课年级八年级学校教师姓名

章课题

第十八章勾股定理

总课时

第课时

节课题

18．1勾股定理（三）

课型

新授课

授课时间

3月21日

教学三维目标

知识与技能：

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

过程与方法：

经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法

情感、态度价值观：

培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。

教学用具

教学重点

勾股定理的应用。

教学难点

实际问题向数学问题的转化。

教学过程

师生双边活动

动态调整升级

一、引入新课

例：

（1）求出下列直角三角形中未知的边．

二、讲授新课：

例：

①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．问题

（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？

为什么？

图1

例：

（3）教材第76页练习1．

例：

（4）如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①球梯子的底端B距墙角O多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们

猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

图2

例：

（1）教材第76页练习第2题．

（2）变式：

以教材第76页练习第2题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB．

（3）如图3，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式．

三、课堂练习：

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4

米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。

2题图3题图4题图

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

四、小结：

通过探究性的实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活．

例1（教材P66页探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

分析：

⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？

⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

例2（教材P67页探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：

保证一边不变，其它两边的变化。

板书设计

18．1勾股定理（三）

例

作业布置

教材第70页6、7题。

教学反思及学情反馈

这一课学生对通分和约分的基本步骤掌握的比较好，但约分的时候也有忘了遇到多项式要进行因式分解的，通分的时候找最简公分母找不准的。

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学科数学授课年级八年级学校教师姓名

章课题

第十八章勾股定理

总课时

第课时

节课题

18．2勾股定理的逆定理

（一）

课型

新授课

授课时间

3月22日

教学三维目标

知识与技能：

探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股逆定理解决实际问题．

过程与方法：

经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性，掌握情理数学意识．

情感、态度价值观：

培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值

教学用具

教学重点

理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用．

教学难点

理解勾股定理的逆定理的推导

教学过程

师生双边活动

动态调整升级

一、引入新课

创设情境：

⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？

和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

二、讲授新课：

例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

解略。

例2（P74探究）证明：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

证明略。

例3（补充）已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）

求证：

∠C=90°。

分析：

⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：

①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。

根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

⑶由于a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2=n4＋2n2＋1，从而a2+b2=c2，故命题获证。

课堂练习

1．判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。

⑵命题：

“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。

”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：

如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷△ABC的三边之比是1：

1：

，则△ABC是直角三角形。

2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）

A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。

D．如果∠A：

∠B：

∠C=5：

2：

3，则△ABC是直角三角形。

3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）

A．a=8，b=15，c=17

B．a=9，b=12，c=15

C．a=

，b=

，c=

D．a：

b：

c=2：

3：

4．已知：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？

并指出那一个角是直角？

⑴a=

，b=

，c=

；⑵a=5，b=7，c=9；

⑶a=2，b=

，c=

；⑷a=5，b=

，c=1。

练习，

1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a3＞0，那么a2＞0；

⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；

⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；

⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2．填空题。

⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。

⑵“两直线平行，内错角相等。

”的逆定理是。

思路点拨：

要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．

小结：

1．勾股定理的逆定性：

如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：

a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（问：

勾股定理是什么呢？

）

2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

3．应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

分析：

⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

分析：

⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

板书设计

18．2勾股定理的逆定理

（一）

例

作业布置

教材第76页1、2题。

教学反思及学情反馈

选取学生熟悉的分数的乘除运算问题，用类比的思想方法学习归纳出分式乘除法的运算法则，学生感到轻松容易的掌握了分式乘除法的运算，激发了学生的学习兴趣。

但有些学生遇到分子、分母是多项式时没有去因式分解。

动态教案模板

学科数学授课年级八年级学校教师姓名

章课题

第十八章勾股定理

总课时

第课时

节课题

18．2勾股定理的逆定理

（二）

课型

新授课

授课时间

3月23日

教学三维目标

知识与技能：

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

过程与方法：

在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。

情感、态度价值观：

培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值

教学用具

教学重点

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

教学难点

灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

教学过程

师生双边活动

动态调整升级

一、引入新课

创设情境：

在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

二、讲授新课：

例1（P75例2）

分析：

⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；

⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小结：

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：

⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。

解略。

课堂练习

1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？

为什么？

3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：

甲巡逻艇的航向？

例1（P75例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

板书设计

18．2勾股定理的逆定理

（二）

例

作业布置

教材第76页4，5题。

教学反思及学情反馈

这一课学生在解决乘方的问题上还比较顺手，就是在符号问题上有些要弄错。

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