传染病传播及预防的数学模型.docx
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传染病传播及预防的数学模型
传染病传播及预防的数学模型
摘要：
随着社会和经济的开展，医学水平能力渐渐得到提高，现今社会的医学水平已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病爆发或流行，危害人们的健康和生命。
人们也认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
通过建立传染病的传播模型，可以了解传染病的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
传染病病毒是随时间演变的过程。
本文以微分方程的SIR模型为根底，分析传染病的扩散传播规律，建立动态模型。
应用传染病动力学模型来描述疾病开展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据,维护人类健康与社会经济开展。
通过人数的规划，建立了传染病的微分方程模型，并用matlab软件拟合出患者人数随着时间的变化的关系曲线，利用控制变量的方法，控制某些变量不变，改变其中某个变量，通过比拟找出导致传染病的传染的主要因素，以便做出相应的措施。
本模型的关键在于把确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人划分成可传染者和不可传染者两类人，辅加一些特殊的参数，如：
传染率，治愈率等等，构成微分方程组，找出单位时间内正常人人数的变化，确诊患者人数的变化，疑似患者人数的变化，死亡者或治愈者〔即退出系统者〕的人数的变化，从而建立了微分方程模型。
在模型建立的根底上，通过matlab软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图，分析图形，得出结果，从而找到解决问题的响应措施。
关键词：
动力学模型微分方程模型控制变量matlab软件
一、问题重述
某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为di~d2到，病患者的治
愈时间为d3天。
该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的
人均每天接触人数为r。
为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措施强度p（潜伏期
内的患者被隔离的百分数）。
通过合理的假设建立传染病传播的数学模型。
二、问题分析
据题目意思，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程，我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型，在此我们选用微分方程。
因题目中把人群分为五类：
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用SIR模型。
模
型中我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程，得出模型。
再
利用matlab画出图形，加以分析，到达得出应对措施的目的。
把考察范围内的人群分为以下种类：
1、健康人群，即易感染（Susceptible®人群。
记其数量为S（t）,表示t时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；
2、潜伏期人群，即被感染（Infection）该疾病的人群，记其数量为I（t）表示t时刻可能感染该疾病的但又不是疑似病患的人数；
3、疑似病患，记其数量为E（t）表示示t时刻感染该疾病的并是疑似病患的人数；
4、确诊病患，记其数量为Q（t）表示示t感染该疾病并确诊为患者的人数；
5、恢复人群（Recovered，记其数量为R（t），表示t时刻已从感染病者中移出的人数（这局部人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统）。
基于以上的假设，健康人群从潜伏期到移出传染系统的过程图如下：
三、模型假设
1•假设易感人数的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比；
2•假设从感染数中移除个体的速率与当时的感染人数成正比；
3•假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素对总人数的影响。
即：
总人口数不变，记为N。
4•假设潜伏期人群不会传染健康人，不具有传染性。
5•假设被隔离的患者无法跟别人接触，不会传染健康人。
6•假设治愈者已对该病毒有免疫力，不会再被该传染病传染，可以退出系统
7•假设初始时刻健康人群的总人数为So千万，潜伏期的总人数为1。
=1，疑
似病患的总人数为Eo=0,确诊病患的总人数为Qo=0,恢复人群的总人数为
R0=0。
四、符号说明
病毒潜伏期（天）d1~d2
病患者治愈时间（天）d3
病患人均每天接触人数r
隔离措施强度p
时刻t内健康人群S（t）
时刻t内潜伏期人群l（t）
时刻t内病症疑似人群E（t）
时刻t内已患病人群Q（t）
时刻t内治愈或死亡人群R（t）
传染病传染率•
五、建立模型
由模型的假设得到如下关系：
S（t）+l（t）+E（t）+Q（t）+R（t）=N
1）根据假设在时刻氏内健康人群变化有:
S（t：
t）—S（t）—Q（t）（1-p）S（t）：
t
11
2）在时刻氏内治愈或死亡人群的变化有：
R（t•At）-R（t）I（t）t（为单
d3d3
位时间内患者的恢复率）
3）在时刻't内病症疑似人群的变化有：
1
E（tp-E（t）二-■Q（t）（1-p）[E（t）（1-p）E（t）pLt
d3
4）在时刻氏内已患病人群的变化有（已患病人群等于潜伏期病人转为感染者减
21
去移除人数）：
Q（t=t）-Q（t）-l（t）-——Q（t）
dj+d2d3
5）在时刻氏内潜伏群期人群的变化有
12
I（tE）«Q（t）（1-p）[S（t）Egp）E⑴乜]-卡1（心
根据以上变化有
翠-g〔t〕〔i—p〕s〔t〕
卩訓〕
jdHQ（t）（1—p）[S⑴+E（t）（1—p）+E（t）p汁启1（t）
六、模型的求解与验证
模型一分析：
当d!
=1,d2=14,d3=30,r=20,p=60%，患者2天后入院治疗，疑似患者2天后被隔离。
有初始状态的患者人数为：
Q=Q〔0〕*〔N一°〔0〕一£〔0〕*「〕*2，那么患
N
者人数随时间变化如图一：
由上图可以得到：
在当d,=1,d2=14,d3=30,r=20,p=60%，患者2天后
入院治疗，疑似患者2天后被隔离的条件下。
当「时，患者的人数是急剧上升的，在到达最大值，此时患者人数为在采取医疗措施，比方患者入院治疗，隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现下降的趋势，在250天后患者人数为
模型二分析：
当d1=1,d2=14,d3=30,r=20,^60%，患者天后入院治疗，疑似患者
天后被隔离。
有初始状态的患者人数为：
Q二Q（0）*（N—Q⑼_E（0），
N
那么患者人数随时间变化如下列图二:
由上图可得：
在当d“=1,d2"4,d3=30,r=20,p=60%，患者天后入院
治疗，疑似患者天后被隔离的条件下。
当「时，患者的人数是急剧上升的，在到达最大值，此时患者人数为在采取医疗措施，比方患者入院治疗，隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现下降的趋势，在250天后患者人数为8。
模型三分析：
当d1=1,d2=14,d3=30,r=20,p=40%，患者2天后入院治疗，疑似患者2
天后被隔离。
有初始状态的患者人数为：
_Q〔0〕*〔『Q〔N〕—E〔0〕*r〕*2，那么患者人数随时间变化如下列图三：
由上图可得：
在当di=1,d2=14,d3=30,r=20,p=40%，患者2天后入院治
疗，疑似患者2天后被隔离的条件下。
当1时，患者的人数是急剧上升的，在到达最大值，此时患者人数为在采取医疗措施，比方患者入院治疗，隔离疑似患者等后患者人数随着时间的增长呈现下降的趋势，在250天后患者人数。
表1各个参数对应的数值
问题
最大值时间
患病人数最大值
隔离措施
强度P
患者入院刖
天数n
人均每天接触
人数r
250天后患
病人数
第二问
2
20
第三问
20
第四问
2
20
从上表可以看出，1.当隔离强度一样的时，患者入院的开始时间将在一定时
间内影响到患病人数。
明显可以看出，患者2天后入院与天后入院相比，患者的治疗时间延长了，而且患病的人数也增多。
因此相关部门应及时将病人隔离并治疗。
2.当患者入院开始时间一样时，隔离措施强度将影响到患病人数到达最大时的时间长短。
可以看出，隔离措施强度降低后，患者人数相对偏高。
因此相关部门应该加强隔离措施强度，提高警惕。
从上述两个参数取值变化分析可知，
“得病后入院时间〞与“隔离措施强度〞对于传染病疫情态势开展，具有很大的
敏感性与相关性，其中得病后的患者几时去医院治疗，对于疫情的控制具有更重要的意义。
所以，“早发现、早隔离、早治疗〞，能够帮助我们有效地、较快地控制传染病的扩散与传播。
当患者入院开始时间一样，隔离强度不一样时，患者人数随时间的变化如
六．模型分析与评估本模型中采用微分方程的模型，对传染病传播做出合理假设，并对其得过拟合，得出传染病的开展趋势，可以有效预报传染病高潮到来的时刻，对群众接受传染病的预防知识起到很好的警示作用。
但模型中的参数都具有随机性，所以得出的结果还是会有误差的存在，不能准确预报每次传染病高潮的到来的准确时间，只能限定在一定时间内。
本模型建立的传染病模型因能有效地预报传染病高潮到来的时刻，所以在现实生活中可以得到进一步的应用，特别是对现今社会中的传染病的爆发跟流行有很好的控制作用。
七、模型应用
根据以上建立的模型可以得到：
病毒传播控制的建议和措施：
根据以上建模的结果分析，我们明确了要制止传染病的蔓延主要手段有：
提高医院的医疗水平和卫生水平，加强医疗工作人员的效率，这样可以提高隔离强度，减少入院时间。
对此，政府需要积极采取措施来控制传染病的传播，及早发现被传染的人员，将其隔离，切断传染病传播的途径。
可以采取的措施有：
1.控制传染源防止传染源到处活动排出病原体传播他人，应该将他们隔离看护，直到完全康复。
2.切断传播途径
加强公共场所的管理（如公共厕所，商场，娱乐场所等）；建筑物通风条件的改善;
3.保护易感人群加强易感人群的个人卫生意识，号召他们接种疫苗，防止传染病的感染，提高自身的免疫力。
八、参考文献
【1】数学建模简明教程戴朝寿孙世良编著
【2】数学建模方法及其应用解放军信息工程大学韩中庚
九、附录
模型一：
图一：
MATLAB勺.m文件
functionx=illness（t,x）
%S=x
（1）I=x
（2）Q=x（3）R=x（4）E=x（5）;
a1=0.1429;
p=0.6;
d3=30;
d2=14;
d1=1;x=[-a1*x（3）*（1-p）*x
（1）,a1*x（3）*（1-p）*（x
（1）+x（5）*（1-p）+x（5）*p*1/d3）-2/（d1+d2）*x
（2）,2/（d1+d2）*x
（2）-1/d3*x（3）,1/d3*x（3）,-a1*x（3）*（1-p）*（x（5）*（1-p）+x（5）*p*1/d3）]'
J
MATLAB源代码：
s0=[900*（0.9997*20）A2,500,900,0,2000]
[t,x]=ode23s（@illness,[0,250],s0）;
[y_max,i_max]=max（x（:
3））t_text=['t=',num2str（t（i_max））];
y_text=['y=',num2str（y_max）];max_text=char（'maximum',t_text,y_text）;%生成标志最大值点的字符串y=num2str（x（end,3））
plot（t,x（:
3））;
holdon
plot（t（i_max）,y_max,'r','MarkerSize',20）;text（t（i_max）+0.3,y_max+0.05,max_text）;
xlabel（'t'）,ylabel（'y'）,holdoff
模型二：
图二：
functionx=ill3（t,x）
%S=x
（1）I=x
（2）Q=x（3）R=x（4）E=x（5）;
a1=0.1429;
p=0.6;
d3=30;
d2=14;
d1=1;
x=[-a1*x（3）*（1-p）*x
（1）,a1*x（3）*（1-p）*（x
（1）+x（5）*（1-p）+x（5）*p*1/d3）-2/（d1+d2）*x
（2）,2/（d1+d2）*x
（2）-1/d3*x（3）,1/d3*x（3）,-a1*x（3）*（1-p）*（x（5）*（1-p）+x（5）*p*1/d3）]'
J
MATLAB源程序：
s0=[900*（0.9997*20）X.5,500,900,0,2000]
[t3,x3]=ode23s（@ill3,[0,250],s0）;
[y_max3,i_max3]=max（x3（:
3））t_text3=['t=',num2str（t3（i_max3））];
y_text3=['y=',num2str（y_max3）];t_end3=['t=',num2str（t3（end））];
y_end3=['y=',num2str（x3（end,3））];
max_text3=char（'maximum',t_text3,y_text3）;%生成标志最大值点的字符串y3=num2str（x3（end,3））
plot（t3,x3（:
3））;
holdon
plot（t3（i_max3）,y_max3,'r','MarkerSize',20）;text（t3（i_max3）+0.3,y_max3+0.05,max_text3）;
xlabel（'t'）,ylabel（'y'）,holdoff
模型三：
图三：
MATLAB^.m文件
functionx=ill4（t,x）%S=x
（1）I=x
（2）Q=x（3）R=x（4）E=x（5）;
a1=0.1429;
p=0.4;
d3=30;
d2=14;
d1=1;
x=[-a1*x（3）*（1-p）*x
（1）,a1*x（3）*（1-p）*（x
（1）+x（5）*（1-p）+x（5）*p*1/d3）-2/（d1+d2）*x
（2）,2/（d1+d2）*x
（2）-1/d3*x（3）,1/d3*x（3）,-a1*x（3）*（1-p）*（x（5）*（1-p）+x（5）*p*1/d3）]'
J
MATLAB源程序：
s0=[900*（0.9997*20）A2,500,900,0,2000]
[t4,x4]=ode23s（@ill4,[0,250],s0）;
[y_max4,i_max4]=max（x4（:
3））t_text4=['t=',num2str（t4（i_max4））];
y_text4=['y=',num2str（y_max4）];
max_text4=char（'maximum',t_text4,y_text4）;%生成标志最大值点的字符串
y4=num2str（x4（end,3））
plot（t4,x4（:
3））;
holdon
plot（t4（i_max4）,y_max4,'r','MarkerSize',20）;
text（t4（i_max4）+0.3,y_max4+0.05,max_text4）;
xlabel（'t'）,ylabel（'y'）,holdoff
图四：
s0=[900*（0.9997*20）A2,500,900,0,2000]
[t,x]=ode23s（@illness,[0,250],s0）;
[t4,x4]=ode23s（@ill4,[0,250],s0）;
plot（t,x（:
3）,'k+',t4,x4（:
3）,'g+'）;
图五：
s0=[900*（0.9997*20）A2,500,900,0,2000]
[t,x]=ode23s（@illness,[0,250],s0）;
s3=[900*（0.9997*20）X.5,500,900,0,2000]
[t3,x3]=ode23s（@illness,[0,250],s3）;
plot（t,x（:
3）,'k+',t3,x3（:
3）,'g+'）;
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