弹性力学9-位移分量的求出简支梁均布荷载资料下载.pdf

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于。

于是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保持为平面持为平面材料力学里的平截面假定。

材料力学里的平截面假定。

由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求得由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求得垂直线垂直线段的转角段的转角为为u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。

由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求得由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求得梁的各梁的各纵向纤维的曲率纵向纤维的曲率是是就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。

就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。

wxEIMyu0uyxyEIMuwEIMx22102222wxxEIMyEIMv第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.3位移分量的求出分两种约束情况讨论：

分两种约束情况讨论：

简支梁和悬臂梁简支梁和悬臂梁。

下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移常数下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移常数u0，0和和ww。

2、位移边界条件的利用、位移边界条件的利用第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.3位移分量的求出2、位移边界条件的利用、位移边界条件的利用

（1）简支梁）简支梁0）（,0）（,0）（00000ylxyxyxu将位移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得将位移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得22）（2,）2（yEIMxxlEIMvylxEIMu022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu0202vlEIMlw00u00vEIMl2w0（）2yMvlxxEI材料力学中相同材料力学中相同第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.3位移分量的求出2、位移边界条件的利用、位移边界条件的利用

（2）悬臂梁）悬臂梁022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu边界条件边界条件由上式可知，此边界条件无法由上式可知，此边界条件无法满足，边界条件改写为：

满足，边界条件改写为：

（中点不动）（中点不动）（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）0022xlxluhhyv000,0xlxlyyuv2000,0,02MlMlulvEIEIww00xlyvx200,0,2MlMluEIEIw带入位移式可得：

带入位移式可得：

22（）（）22MulxyEIMMvlxyEIEI20（）2yMvlxEI材料力学中相同材料力学中相同第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.3位移分量的求出平面应变问题平面应变问题以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分量和位移分量解。

对于量和位移分量解。

对于平面应变情况下的梁平面应变情况下的梁（梁梁宽度远宽度远大于深度和长度）大于深度和长度），须在以上的应变分量和位移分量，须在以上的应变分量和位移分量的公式中，将的公式中，将E和和作如下替换，即可求解作如下替换，即可求解。

112EE第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.3位移分量的求出位移求解的过程：

位移求解的过程：

（aa）将应力分量代入物理方程）将应力分量代入物理方程）（1xyyE）（1yxxEGxyxy（bb）再将应变分量代入几何方程）再将应变分量代入几何方程xvyuxyxuxyvy（cc）几何方程积分计算位移表达式）几何方程积分计算位移表达式（dd）利用位移边界条件，确定常数。

）利用位移边界条件，确定常数。

3.4简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论本节内容内容要点：

用用半逆解法半逆解法求解梁的平面问题；

体会理解半逆解法的求解梁的平面问题；

体会理解半逆解法的解题过程。

解题过程。

第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载

（1）

（1）对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学如材料力学得到的初等结论，假设得到的初等结论，假设部分或全部应力分量部分或全部应力分量的函数形式的函数形式；

yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx）,（,）,（,）,（22222

（2）

（2）按式按式（2（2-24）24），由应力推出应力函数，由应力推出应力函数的一般形式（的一般形式（含待定函数项）；

含待定函数项）；

（3）（3）将应力函数将应力函数代入代入相容方程进行校核，进而求相容方程进行校核，进而求得应力函数得应力函数的具体表达形式的具体表达形式024422444yyxx半逆解法步骤回顾：

半逆解法步骤回顾：

第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载半逆解法步骤回顾：

（5）（5）根据边界条件确定未知函数中的待定系数；

考察根据边界条件确定未知函数中的待定系数；

考察应力分量是否满足全部应力边界条件。

如果都能满足，则应力分量是否满足全部应力边界条件。

如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。

上述过程并进行求解。

（4）（4）将应力函数将应力函数代入代入式式（2（2-24）24），由应力函数求得应力分，由应力函数求得应力分量量yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx）,（,）,（,）,（22222解题的关键在于解题的关键在于凑出凑出或者或者假设出假设出正确的应力函数。

正确的应力函数。

应力函数基本形式满足40式（2-24）是导出应力表达式满足边界条件式（2-15）是得到正确解答否否假定相关应力分量式（2-24）积分第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载问题：

问题：

矩形截面简支梁，长度为矩形截面简支梁，长度为2l，深度为深度为h，宽度远，宽度远小于深度和长度（小于深度和长度（典型的平面应力问题典型的平面应力问题），受均布荷载），受均布荷载q，由两端的反力，由两端的反力ql维持平衡。

（设梁宽为单位宽度维持平衡。

（设梁宽为单位宽度11）第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载

（1）

（1）假定应力分量的函数形式假定应力分量的函数形式x主要由主要由弯矩弯矩引起；

引起；

xy主要由主要由剪力剪力引起。

引起。

y由由竖向荷载竖向荷载q引起（挤压应力）；

引起（挤压应力）；

又又q=常数，不随常数，不随x变化，变化，y不随不随x变化。

变化。

xyllqlqlqyfy因此假设因此假设y只是只是y的函数：

的函数：

“

（1）

（1）对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力如材料力学得到的初等结论，假设学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量部分或全部应力分量的函数形式的函数形式”第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载

（2）

（2）由应力推出应力函数的一般形式由应力推出应力函数的一般形式）（）,（22yfxyxy对对x积分可得积分可得）（）（）

（2）,（212yfyxfyfxyx其中有三个关于其中有三个关于y的待定函数：

的待定函数：

f（y），f（y1），f（y2）。

将假设的将假设的y向应力分量代入式向应力分量代入式（2（2-24）24），在无体力情，在无体力情况下，有况下，有第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载（3）（3）由相容方程求应力函数由相容方程求应力函数0）

（2）（）（）（2122424414244yyfyyfxyyfxyyf上述是关于上述是关于x的一元二次方程，相容方程要求全梁每一点的一元二次方程，相容方程要求全梁每一点处的处的x值都必须满足上述方程，上述方程有值都必须满足上述方程，上述方程有无数多根无数多根。

对对所有所有x均应满足，故其系数和自由项都必须为均应满足，故其系数和自由项都必须为000）

（2）（,0）（,0）（2242441444yyfyyfyyfyyf将上步所得将上步所得应力函数的一般形式应力函数的一般形式代入无体力情况下的相代入无体力情况下的相容方程，整理后有容方程，整理后有第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载（3）（3）由相容方程求应力函数由相容方程求应力函数0）

（2）（,0）（,0）（2242441444yyfyyfyyfyyf由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式：

由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式：

2345223123610）（）（）（KyHyyByAyfGyFyEyyfDCyByAyyf根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，上上述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略。

234523232610）（）

（2）,（KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyxyx忽略常数项忽略常数项忽略常数项及一次项忽略常数项及一次项）（）（）

（2）,（212yfyxfyfxyx第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载（4）（4）由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量校核应力分量校核应力分量：

代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。

其中的是满足平衡微分方程和相容方程的。

其中的9个待定常个待定常数数由边界条件来确定。

由边界条件来确定。

）23（）23（2622）26（）26（22223232GFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAyxxyyx将应力函数将应力函数代入式代入式（2（2-24）24），可得应力分量，可得应力分量P42式式（f）、（g）、（h）：

第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载（4）（4）由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量在这个问题中，在这个问题中，yz面是梁的几何尺寸和面是梁的几何尺寸和荷载的对称面，应力分量也应关于荷载的对称面，应力分量也应关于yz面面对称，对称，x和和y应为应为x的偶函数，的偶函数，xy是是x的奇函数的奇函数，（应力函数，（应力函数应为应为x的偶函数），由应力函数的偶函数），由应力函数的表达式的表达式（e）可得：

可得：

如果不考虑对称性条件，在考虑了所有的边界的边界条件后，如果不考虑对称性条件，在考虑了所有的边界的边界条件后，也可以得到相同的结果，但计算量会增加许多也可以得到相同的结果，但计算量会增加许多。

对于任何问题，凡是具有对于任何问题，凡是具有对称性（或反对称性）对称性（或反对称性）的，宜先考的，宜先考虑虑对称性条件对称性条件，可以简化问题的求解，减少计算量。

，可以简化问题的求解，减少计算量。

E=F=G=0xyllqlqlq第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载（5）（5）考虑边界条件考虑边界条件-分为主要及次要边界分为主要及次要边界将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，可计算将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，可计算出出44个待定常数个待定常数:

0）（,）（,0）（222hyxyhyyhyyq223023qDhqCBhqA（aa）首先考察上下两边的）首先考察上下两边的主要边界条件主要边界条件：

32322208428423（）043（）04hhhABCDhhhABCDqhxAhBChxAhBCxyllqlqlq应力表达式如应力表达式如式式P43P43（i）式式（k），），未知系未知系数数H、K待定待定:

第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载（5）（5）考虑边界条件考虑边界条件xyllqlqlq由于在左右边界上均没有水平面力，这就要求由于在左右边界上均没有水平面力，这就要求当由当由x=l时，对于任何时，对于任何y值值-h/2+h/2，均有，均有x=0。

由。

由（i）式知，这是不可能的，除非式中的式知，这是不可能的，除非式中的q=H=K=0。

为此，应用。

为此，应用圣维南原理圣维南原理，只能要求此，只能要求此部分边界上合成的部分边界上合成的主矢量主矢量和和主矩主矩。

由对称性，只用。

由对称性，只用考虑一边，考虑一边，对于右边界对于右边界，有，有:

hqhqlHK10,032（bb）其次考察左右两边的次要边界条件）其次考察左右两边的次要边界条件0）（,0）（2222hhlxxhhlxxydydy将将（i）式代入，可得式代入，可得第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载（5）（5）考虑边界条件考虑边界条件xyllqlqlq（bb）其次考察左右两边的次要边界条件）其次考察左右两边的次要边界条件22（）hhxyxldyql将所得解答带入梁右端将所得解答带入梁右端y向应力的圣维南边界条件向应力的圣维南边界条件，可知解答满足该条件。

，可知解答满足该条件。

第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载综上所述，将各已解出的待定常数代入，可得应力分量的最终解综上所述，将各已解出的待定常数代入，可得应力分量的最终解答为答为P44（o）式式：

）4（6）21）（1

（2）534（）（6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载与材料力学结果进行比较与材料力学结果进行比较IQShyhyqhyhyqyIMxyyx222）21）（1

（2）534（材料力学中几个参数：

材料力学中几个参数：

截面惯矩：

静矩：

弯矩：

将其代入将其代入式式（o），有，有3112Ih2282hyS222qMlx）4（6）21）（1

（2）534（）（6223222223yhxhqhyhyqhyhyqyxlhqxyyx剪力：

剪力：

Qqxxyllqlqlq第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载与材料力学结果进行比较与材料力学结果进行比较比较，得：

比较，得：

（1）x第一项与材力结果相同，为主要项。

第一项与材力结果相同，为主要项。

第二项为弹第二项为弹性力学修正项。

对于性力学修正项。

对于浅梁浅梁，h/l1，该项误差很小，可略；

，该项误差很小，可略；

对于对于深梁深梁，h/l较大时，修正项不能忽略。

较大时，修正项不能忽略。

（2）y为梁各层纤维间的挤压应力，最大值发生在梁顶为梁各层纤维间的挤压应力，最大值发生在梁顶y=-h/2处，材料力学中不考虑该应力。

处，材料力学中不考虑该应力。

（3）xy与材料力学中相同。

与材料力学中相同。

2224352112xyxyMyyyqIhhqyyhhQSI第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载与材料力学结果进行比较与材料力学结果进行比较

（1）x第一项与材力结果相同，为主要项。

对于浅梁，性力学修正项。

对于浅梁，h/l1，该项误差很小，可略；

对于深梁，对于深梁，h/l较大时，修正项不能忽略。

2224352112xyxyMyyyqIhhqyyhhQSIxyxy）（）（xyxy）（）（（11）弹性力学解法中，严格地考虑并满足区域内的平衡微弹性力学解法中，严格地考虑并满足区域内的平衡微分方程、几何方程、物理方程及边界上的全部边界条件（小分方程、几何方程、物理方程及边界上的全部边界条件（小边界上应用圣维南近似），因此解答是较精确的。

边界上应用圣维南近似），因此解答是较精确的。

（22）材料力学解法中，许多方面作了近似处理，只能得出材料力学解法中，许多方面作了近似处理，只能得出近似的解答。

例如平面截面假设导出位移、应变和应力沿横近似的解答。

例如平面截面假设导出位移、应变和应力沿横向均为直线分布；

在平衡条件中，忽略了挤压应力向均为直线分布；

在平衡条件中，忽略了挤压应力y的作用，的作用，并且考虑的是有限部分物体的平衡并且考虑的是有限部分物体的平衡（h*dx*b），而不是微分单，而不是微分单元体的平衡；

在主要边界上，没有严格考虑应力边界条件。

元体的平衡；

（33）两者的区别中主要反映在最小的量级上，故材料力学两者的区别中主要反映在最小的量级上，故材料力学的解答尽管近似，但对杆件是足够精确的（此时的解答尽管近似，但对杆件是足够精确的（此时lh），否），否则不能用材料力学的解法来求解则不能用材料力学的解法来求解（非杆状构件不能用材力非杆状构件不能用材力）。

比较弹性力学与材料力学在解法上的区别比较弹性力学与材料力学在解法上的区别第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载

（1）

（1）对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学如材料力学得到的初等结论，假设得到的初等结论，假设部分或全部应力分量部分或全部应力分量的函数的函数（分布分布）形形式式；

（3）（3）将应力函数将应力函数代入代入相容方程进行校核，进而求相容方程进行校核，进而求得应力函数得应力函数的具体表达形式的具体表达形式024422444yyxx半逆解法步骤：

半逆解法步骤：

第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载半逆解法步骤：

应力函数基本形式满足40式（2-24）是导出应力表达式满足边界条件式（2-15）是得到正确解答否否假定相关应力分量式（2-24）积分第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论应力函数确定的“应力函数确定的“材料力学方法材料力学方法”要点：

要点：

利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。

个应力分量的函数形式。

适用性：

直梁、长板条适用性：

直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。

力、杆端集中力偶等。

应力函数常可表示为，单变量函数的乘积形式（分离变量）：

）（）（）,（ygxfyx材力中，应力分量与梁内力的关系为：

材力中，应力分量与梁内力的关系为：

）（）（2yfxQxy）（）（1yfxMxM（x）弯矩方程；

弯矩方程；

Q（x）剪力方程。

剪力方程。

3.4简支梁受均布荷载解题技巧设法由外力分布形式设置设法由外力分布形式设置某个应力函数为坐标的某种函数某个应力函数为坐标的某种函数，进而明确上式中的一个单变量函数进而明确上式中的一个单变量函数，另一个单变量函数的，另一个单变量函数的形式则由双调和方程确定。

待定系数由边界条件确定。

形式则由双调和方程确定。

第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论3.4简支梁受均布荷载解题技巧当有横向分布力当有横向分布力q（x）作用时，纵向纤维间存在挤压应力作用时，纵向纤维间存在挤压应力y，同时，横向分布力同时，横向分布力q（x）的挤压作用时，对轴向应力的挤压作用时，对轴向应力x也产也产生影响。