随机过程及其在金融领域中的应用资料下载.pdf
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则域（）（）ddBC称为d维维Borel域（代数）域（代数），其元素称为Borel集集。
3、概率空间、概率空间对于可测空间（,）F，在F上定义一个非负集函数（）P，以度量F中事件发生可能性大小，它满足非负性：
0（）1PA，对于任何事件AF；
规范性：
（）1P；
可列可加性：
若12,AAF，且两两不交,1,2,ijAAijij，则11（）（）iiiiPAPA称（）PA为事件A的概率，称（,）FP为概率空间概率空间。
94、随机变量、随机变量设（,）F是一可测空间，若函数:
f使得对任意x，有|（）fxF则称函数f是关于F（或上）的可测函数可测函数。
在概率空间（,）FP上定义的可测函数称为随机变量随机变量。
5、分布函数、分布函数设（）XX是定义在上的一个随机变量，令（）（）（:
（）XFxPXxPXx，x称XF为随机变量X的分布函数分布函数。
6、定义、定义2-2设（）X是概率空间（,）FP上的一个随机变量，对Borel集B，定义（）（）（:
（）XPBPXBPXB把（）XPB称为X的分布分布。
107、两个重要的离散型分布、两个重要的离散型分布
（1）二项分布设0,1,2,（0,1）np，若X的分布为（）
（1）,0,1,knknPXkppknk称随机变量X服从参数为（,）np的二项分布（,）Bnp。
（2）泊松分布设0，若X的分布为（）,0,1,2,!
kPXkekk称随机变量X服从参数为的泊松分布（）P。
8、三个重要的连续型分布、三个重要的连续型分布
（1）均匀分布如果连续型随机变量X的分布密度为1,（,）（）0,Xxabfxba其他则称X在区间（a,b）上服从均匀分布均匀分布，记为（,）XUab。
11
（2）指数分布如果连续型随机变量X的分布密度为,0（）0,0xXexfxx则称X服从参数为（0）的指数分布指数分布。
指数分布具有无记忆性，即若X服从指数分布，则对于任意,0st，有（|）（）PXstXtPXs。
反过来，如果一个非负连续型随机变量X的分布函数（）XFx具有无记忆性，则它一定是指数分布。
（3）正态分布如果连续型随机变量X的分布密度为221（）（）exp,22Xxfxx式中，2,0，则称X服从参数为2（,）的正态分布正态分布或高斯高斯分布分布，记为2（,）XN。
122.2随机变量的数字特征随机变量的数字特征1、离散型随机变量数字特征、离散型随机变量数字特征设离散型随机变量X的分布率为（）,1,2,kkpPXxk，则1（）XkkkEXxp称为随机变量X数学期望数学期望或均值均值。
令221（）（）XkXkkVarXxp称2X为随机变量X的方差方差。
令1（）,llkkkEXxpl称（）lEX为随机变量X的l阶矩阶矩。
令1（）（）kkkEgXgxp称（）EgX为函数（）gX的数学期望数学期望。
132、连续型随机变量数字特征、连续型随机变量数字特征设连续型随机变量X的分布密度为（）Xfx，则（）（）XXEXxfxdx称为随机变量X数学期望数学期望或均值均值。
令22（）（）（）XXXVarXxfxdx称2X为随机变量X的方差方差。
令（）（）,llXEXxfxdxl称（）lEX为随机变量X的l阶矩阶矩。
令（）（）（）XEgXgxfxdx称（）EgX为函数（）gX的数学期望数学期望。
数学期望反映了随机变量取值的平均水平。
方差和标准方差X体现了随机变量与期望值得偏离程度。
3、Chebyshev不等式不等式设随机变量X的均值为，方差为2，则对于任意0，不等式22（|）PX14称为切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）不等式）不等式。
2.3随机向量及其联合分布随机向量及其联合分布1、n维随机变量及其数学特征维随机变量及其数学特征设1（,）nXX，如果其中每一个分量1,nXX是一维的、取值为实数的随机变量，则称1（,）nXX为n维随机向量维随机向量。
定义2-2设1（,）nXX为n维随机向量，则1,nXX的联合概率分布定义为1111（）（,）（:
（）,（）XnnnnFxPXxXxPXxXx其中x1（,）dnxx。
（）XFx又简称为的分布函数分布函数。
设（Xfx1）（,）Xnfxx为n上非负可积函数，使得对任意1（,）nnxx，有1111（,）（,）nxxXnXnnFxxfyydydy则称1（,）nXX为连续型随机变量，1（,）Xnfyy为的联合概率联合概率密度密度。
15设Xf为随机变量的概率密度，那么其中任意分量组
（1）,（,）,（,）,（,）iijijkijmnXXXXXXXXX个都存在概率密度，把它们称为的边缘密度。
边缘密度。
随机变量,XY的协方差协方差定义为（,）（）（）（）（）（）CovXYEXEXYEYEXYEXEY随机变量,XY的相关系数相关系数XY定义为（,）（）（）XYCovXYVarXVarY随机变量的数学期望数学期望定义为1（）（）,（）nEEXEX随机变量,XY的协方差矩阵协方差矩阵定义为（,）,1,）ijXCovXXijn其中，2（,）iijXCovXX162、随机事件独立和相关的定义、随机事件独立和相关的定义定义2-4随机变量,XY称为是相互独立的相互独立的，如果有121212（,）（）（）,PXBYBPXBPXBBB即事件1XB与2YB是互相独立的。
定义2-5如果随机变量1,nXX，对于任意11,kiink为整数，1kn,满足11111（,）（）（）,kkkkiiiiiiiinPXBXBPXBPXBBB则称随机变量1,nXX是相互独立的，即事件11,XB,nnXB是相互独立的。
3、相互独立的随机变量的性质、相互独立的随机变量的性质定理定理2-3如果如果1,nXX相互独立且它们的数学期望存在，则对于任何实函数相互独立且它们的数学期望存在，则对于任何实函数1（）,（）ngxgx，有，有1111（）,（）（）（）nnnnEgXgXEgXEgX定理2-417设1（,）nXX为n维随机向量，设1（,）Xnfxx为其概率密度函数。
现有n元函数1（,）（1,）iinygxxin，且存在唯一反函数1（,）（1,）iinxhyyin。
如果,iigh有连续偏导数，则由分量1（,）（1,）iinYgXXin所给定的n维随机向量1（,）nYY的概率密度函数为1111（,）|,g,g（,）0,XnnnYnfxxJyyfyy若是的值域否则其中，1（,）（1,）iinxhyyin。
而且J为坐标变换的雅可比矩阵1111212Jnnnnnxxxyyyxxxyyy|J为坐标变换的雅可比行列式。
2.4条件数学期望条件数学期望1、离散型随机变量的条件数学期望、离散型随机变量的条件数学期望设,XY为离散型随机变量，对一切使（）0PYy成立的y，给定Yy时，随机变量X的条件分布函数条件分布函数定义为（,）（|）（|）,（）PXxYyFxyPXxYyxPYy18设随机变量X可能的取值为12,xx，离散型条件数学期望离散型条件数学期望定义为1|（|）（|）kkkEXYyxdFxyxPXxYy2、连续型随机变量的条件数学期望、连续型随机变量的条件数学期望设,XY为连续型随机变量，对一切使（）0Yfy成立的y，给定Yy时，随机变量X的条件概率密度定义为（,）（,）（|）（）XYYfxyfxyfy给定Yy时，随机变量X的条件分布函数定义为（|）（|）（|）,xFxyPXxYyfxydxx连续型条件数学期望定义为|（|）（|）EXYyxdFxyxfxydx2.5矩母函数和特征函数矩母函数和特征函数1、矩母函数、矩母函数定义2-619设X是（,）FP上实随机变量，X的矩母函数（概率母函数）矩母函数（概率母函数）（）Xt定义为：
对于任意t，（）（）（）txtxXXtEeedFx2、特征函数、特征函数定义2-7设X是（,）FP上实随机变量，X的特征函数特征函数（）Xt定义为：
对于任意u，（）（）（）iuXiuXXXtEeedFx式中，i是虚数单位，1i3、特征函数性质、特征函数性质
（1）（）（0）1XXu，对任意u；
（2）在上一致连续，即当0h时，有|（）（）|1|（）0,ixhXXXuhuedFxu（3）（）（）（）XXXuuu，对任意uR；
（4）（）（）ibuaXbXuaue，对任意,uab；
（5）若,XY互相独立，则（）（）（）XYXYuuu，对任意u204、常见分布的特征函数、常见分布的特征函数两点分布（）1iuXuppe二项分布（）1niuXuppe泊松分布
（1）（）iueXue均匀分布（sinsin）（）（coscos）（）（）Xiuaubuuaubbaubau指数分布22222（）Xuuiuu标准正态分布22（）uXue5、特征函数相关定理、特征函数相关定理定理定理2-5211,nXX是是n个互相独立的实值随机变量，其特征函数个互相独立的实值随机变量，其特征函数分别为分别为1（）,（）nXXuu。
设。
设（）Xu为为1nXX的特征函数，则有的特征函数，则有1（）（）（）nXXuuu定理定理2-6（Kac定理）定理）概率空间概率空间（,）FP上上n个实值随机变量个实值随机变量1,nXX互相独立的充分必互相独立的充分必要条件是：
要条件是：
1（,）nXX的特征函数的特征函数1（,）nuu与与
（1）kXkn的特征函数的特征函数（）kXku满足满足111（）exp（）（）（）kkknnniuXkkXkkkkuEiuXEeu22第三章第三章随机过程随机过程3.1随机过程的基本概念随机过程的基本概念1、随机过程、随机过程定义3-1设,FP是给定的概率空间，T为一指标集，对于任意tT，都存在定义在,FP上，取值于E的随机变量,Xt与它相对应，则称依赖于t的一族随机变量,:
XttT为随机过程随机过程，简记tX，tX或Xt。
随机过程,:
XttT是时间参数t和样本点的二元函数，对于给定的时间是00,tTXt是概率空间,FP上的随机变量；
对于给定样本点00,Xt是定义在T上的实函数，此时称它为随机过程对应于0的一个样本函数样本函数，也成为样本轨道样本轨道或实实现现。
E称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用tXx表示tX处于状态x。
2、随机过程分类：
、随机过程分类：
随机过程tX按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：
连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。
3、有穷维分布函数、有穷维分布函数定义3-223设随机过程tX，在任意n个时刻1,ntt的取值1,nttXX构成n维随机向量1,nttXX，其n维联合分布函数为：
11,11,nnttnttnFxxPXxXx其n维联合密度函数记为1,1,nttnfxx。
我们称1,11,:
1,nttnnFxxnttT为随机过程tX的有穷有穷维分布函数。
维分布函数。
3.2随机过程的数字特征随机过程的数字特征1、数学期望、数学期望对于任何一个时间tT，随机过程tX的数学期望数学期望定义为（）（）tXttEXxdFx（）tEX是时间t的函数。
2、方差与矩、方差与矩随机过程tX的二阶中心矩22（）（）,tXtttVarXEXEXtT称为随机过程tX的方差方差。
24随机过程tX的二阶原点矩定义为22（）（）ttEXxdFx注：
2tX是时间t的函数，它描述了随机过程tX的诸样本对于其数学期望tX的偏移程度。
3、协方差函数和自相关函数、协方差函数和自相关函数随机过程tX对于任意12,ttT，其协方差函数定义为协方差函数定义为12112212（,）（,）（）（）XttttttcttCovXXEXEXXEX当12ttt时，协方差函数就是方差。
随机过程tX的自相关函数自相关函数（相关函数）定义为121212（,）（）,ttRttEXXttT当12ttt时，自相关函数就是二阶原点矩。
4、实二阶矩过程、实二阶矩过程定义3-3设,tXtT为实随机过程，若对于任意的tT，其均方函数2（）tEX，则称,tXtT为实二阶矩过程。
25注：
由柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式：
12122（）（）（）ttttEXXEXEX，可知，二阶矩过程1212（,）（）ttRttEXX自相关函数一定存在。
5、例、例3-1判断随机过程cos,tXXttT在下列两种情况下是否为二阶矩过程。
（1）2（,）XN为常数；
（2）X具有概率密度21（）.
（1）fxxx解：
（1）因为22222222（）（cos）（）cos（）costtEXEXtEXtt所以,tXtT是二阶矩过程。
（2）因为2222cos（）
（1）txtEXdxxx所以,tXtT不时二阶矩过程。
263.3离散时间和离散型随机过程离散时间和离散型随机过程当时间参数tT取离散值1,ntt时，这种随机过程称为离散随机过程。
这时，tX是一串随机变量1,nttXX所构成的序列，即随机序列。
由于随机序列的指标表示时间，所以常称随机序列为时间序列。
1、例、例3-2设一维随机游动过程nY，其中01210,nniiYYXXX.iid（即独立同分布随机序列，且
（1）,
（1）1iiPXpPXp。
求（）,（）nnEYVarY。
解：
根据期望、方差的定义和性质，有11（）（）（）nnniiiiEYEXEX11（）（）（）nnniiiiVarYVarXVarX而且（）1
（1）
（1）21iEXppp2（）11
（1）1iEXpp222（）（）（）1（21）iiiVarXEXEXp则2（）（21）,（）1（21）nnEYnpVarYnp272、例、例3-3考虑随机点在时间区间0,t内发生的次数，若随机点在0,t内发生的次数是偶数（视0为偶数），则令1tX；
若为奇数，且令1tX；
且0tX。
又设在00,ttt内有k个随机点发生的概率与0t无关，且00（）ttttXXXPt（即参数为t的Poisson分布）（）（）（）!
ktkttptPXkek其中0,1,2,.k由此计算可得02424（0）（）（）（）（）（）12!
4!
2ttttPptptpttteeee在，t内有偶数次随机点发生13535（0）（）（）（）（）（）3!
5!
2ttttPptptpttteteee在，t内有奇数次随机点发生于是有
（1）,
（1）22tttttttteeeePXePXe故得t2X（）ttEXe通过类似的计算，可以得到对于120tt2821122（）1
（1）2ttttePXX21122（）1
（1）2ttttePXX所以相关函数为21122（）12（,）（）ttttRttEXXe同理可以计算当210tt时的情况。
综合上面的结论有2121212（,）,0ttRttetot因此,0tXt的方差为22412（）（,）1tttXtXVarXRtte3.4正态随机过程正态随机过程1、正态随机过程、正态随机过程如果随机过程tX的任意n维概率分布都是正态分布，则称它为正正态随机过程态随机过程或高斯随机过程高斯随机过程，简称正态过程或高斯过程。
正态随机过程tX的n维概率密度为11/,1/21/211（,）exp（）（）
（2）（det）2nttnnfxxxx29其中，是n维向量，是nn阶的矩阵，-1是的逆矩阵，它的第i行j列的元素为（,）（）（）iijjttttijijijXijttttXXXXccttEXEXXEX其中，ttijXX为相关系数。
由上式可见，正态随机过程的n维概率分布仅取决于它的一、二阶矩函数，即只取决于它的数学期望、方差和相关系数。
2、正态随机过程性质、正态随机过程性质如果对正态过程tX在n个不同时刻1,ntt采样，所得到的一组随机变量1,nttXX两两互不相关，即（,）（）（）0,iijjijXijttttccttEXEXXEXij则这些随机变量也是相互独立的。
在0（）ijcij的条件下，n维正态概率密度等于n个一维正态概率密度的连乘积。
所以对于一个正态过程来说，不相关与独立是等价的。
303.5Poisson过程过程1、独立增量过程、独立增量过程定义3-4设tX是一随机过程，若对任意正整数n及1,nttT12tt1nntt，随机变量的增量21321,nnttttttXXXXXX是相互独立的，则称tX是独立增量过程独立增量过程。
设tX是独立增量过程，若对任意的,ttT，增量ttXX的概率分布只依赖于而与t无关，则称随机过程tX为齐次的齐次的或时齐的时齐的。
若只要时间间隔相同，那么增量服从的分布也相同，也称此过程具有平稳性平稳性。
具有独立增量和平稳增量的过程tX称为独立平稳增量过程。
常见的独立平稳增量过程有Poisson过程和Wiener（维纳）过程。
2、计数过程、计数过程定义3-5如果用tN表示0,t内随机事件发生的总数，则随机过程tN称为一个计数过程计数过程。
因此，计数过程满足
（1）0tN；
（2）tN是非负整数值；
（3）对于任意两个时刻120tt，有12ttNN；
31（4）对于任意两个时刻120tt，2121ttttNNN等于时间区间12,tt中发生的事件个数。
如果计数过程tN在不相交时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。
3、Poisson过程的两个定义过程的两个定义定义3-6设随机过程tN是一个计数过程，如果满足
（1）00N；
（2）tN是独立增量过程；
（3）对于任意0st，增量,sttsNNN具有参数（）ts（0）的Poisson分布，即（）（）,0,1,2,!
ktststsPNNkekk则称tN为具有参数的齐次齐次Poisson过程过程。
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