江苏专用高考数学一轮复习第八章立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质教师用书.docx
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江苏专用高考数学一轮复习第八章立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质教师用书
第41课直线、平面垂直的判定及其性质
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
直线与平面垂直的判定及性质
√
两平面垂直的判定及性质
√
1．直线与平面垂直
图形
条件
结论
判
定
a⊥b，b⊂α（b为α内的任意一条直线）
a⊥α
a⊥m，a⊥n，m，n⊂α，m∩n＝O
a⊥α
a∥b，a⊥α
b⊥α
性
质
a⊥α，b⊂α
a⊥b
a⊥α，b⊥α
a∥b
2.平面与平面垂直
（1）平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．
（2）判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
性质
定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
⇒l⊥α
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（ ）
（2）垂直于同一个平面的两平面平行．（ ）
（3）若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．（ ）
（4）若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．（ ）
[答案]
（1）×
（2）× （3）× （4）×
2．（2017·南京模拟）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
（1）若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；
（2）若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
（3）若l∥α，m⊂α，则l∥m；
（4）若l∥α，m∥α，则l∥m，
则其中正确的命题是____________．（填序号）
（1）
（2） [∵l⊥α，m⊂a，∴l⊥m，故
（1）正确；
若l⊥α，l∥m，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m⊥α，故
（2）正确；
若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行也可能垂直，故（3）错误；
若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故（4）错误．]
3．如图411，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
图411
4 [∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
则△PAB，△PAC为直角三角形．
由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.
∴△ABC，△PBC也是直角三角形．]
4．（教材改编）在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，
（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____________心．
（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的____________心．
（1）外心
（2）垂心 [∵PO⊥平面ABC，且PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．
（2）∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，
∴PA⊥BC，
又PO⊥BC
∴BC⊥平面PAO
∴AO⊥BC，
同理BO⊥AC，CO⊥AB，
∴O是△ABC的垂心．]
5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．
a [如图所示，取BD的中点O，连结A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．
即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝
a，
∴A′C＝
＝a，即折叠后AC的长（A′C）为a.]
线面垂直的判定与性质
如图412所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝
DB，点C为圆O上一点，且BC＝
AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.
图412
求证：
PA⊥CD.【导学号：
62172224】
[证明] 因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由
AC＝BC，得∠ABC＝30°.
设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2
，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，
所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.
因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.
[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
（1）判定定理；
（2）垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；
（3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；
（4）面面垂直的性质．
2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
[变式训练1] 如图413，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.
图413
（1）求证：
CD⊥平面ABD；
（2）若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．
[解]
（1）证明：
因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
所以AB⊥CD.
又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，
所以CD⊥平面ABD.
（2）由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.
又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝
×12＝
.
因为M是AD的中点，所以S△ABM＝
S△ABD＝
.
根据
（1）知，CD⊥平面ABD，
则三棱锥CABM的高h＝CD＝1，
故三棱锥VAMBC＝VCABM＝
S△ABM·h＝
.
面面垂直的判定与性质
如图414，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
图414
（1）求证：
BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：
平面BCD⊥平面EGH.
[证明]
（1）如图所示，连结DG，CD，设CD∩GF＝M，
连结MH.
在三棱台DEFABC中，
AB＝2DE，G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形．
则M为CD的中点，
又H为BC的中点，
所以HM∥BD，
由于HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，
故BD∥平面FGH.
（2）连结HE.
因为G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB.
由AB⊥BC，得GH⊥BC.
又H为BC的中点，
所以EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形EFCH是平行四边形，
所以CF∥HE.
由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H.
所以BC⊥平面EGH.
又BC⊂平面BCD，
所以平面BCD⊥平面EGH.
[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：
（1）用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；
（2）用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．
2．垂直问题的转化关系：
线线垂直
线面垂直
面面判定性质垂直
[变式训练2] 如图415，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
图415
（1）求证：
PB∥平面MNC；
（2）若AC＝BC，求证：
PA⊥平面MNC.【导学号：
62172225】
[证明]
（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，
又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，
所以PB∥平面MNC.
（2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.
因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABC，
CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.
所以CM⊥平面PAB.
因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.
又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.
平行与垂直的综合问题
角度1 多面体中平行与垂直关系的证明
（2016·江苏高考）如图416，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
图416
求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明]
（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
[规律方法] 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．
角度2 平行垂直中探索开放问题
如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②所示．
① ②
图417
（1）求证：
A1F⊥BE；
（2）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？
并说明理由．
[证明]
（1）由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.
所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，
因为DC∩DA1＝D，
所以DE⊥平面A1DC.
由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，
所以A1F⊥平面BCDE，
又BE⊂平面BCDE，
所以A1F⊥BE.
（2）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连结PQ，则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，则DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEQP.
由
（1）知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.
又DP∩DE＝D，
所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径：
（1）先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
2．平行（垂直）中点的位置探索性问题：
一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．
[思想与方法]
1．证明线面垂直的方法：
（1）线面垂直的定义：
a与α内任一直线都垂直⇒a⊥α；
（2）判定定理1：
⇒l⊥α；
（3）判定定理2：
a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
（4）面面垂直的性质：
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
2．证明面面垂直的方法．
（1）利用定义：
两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理：
a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
3．转化思想：
垂直关系的转化
线线垂直
面面判定性质垂直
[易错与防范]
1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．
2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
课时分层训练（四十一）
A组 基础达标
（建议用时：
30分钟）
一、填空题
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是____________．（填序号）【导学号：
62172226】
①α⊥β且m⊂α；
②α⊥β且m∥α；
③m∥n且n⊥β；
④m⊥n且α∥β.
③ [由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知③正确．]
2．（2017·徐州模拟）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是____________．（填序号）
①若l∥α，l∥β，则α∥β；
②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；
③若α⊥β，l⊥α，则l∥β；
④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.
② [①中，α∥β或α与β相交，不正确．②中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，
由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，②正确．
③中，l∥β或l⊂β，③不正确．
④中，l与β的位置关系不确定．]
3．如图418，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是____________．（填序号）
图418
①BC∥平面PDF；
②DF⊥平面PAE；
③平面PDF⊥平面PAE；
④平面PDE⊥平面ABC.
④ [因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，
BC⊄平面PDF，
所以BC∥平面PDF，故①正确．
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，
所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此②③均正确．]
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是____________．（填序号）
①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；
④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.
③ [①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；
②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；
③中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；
④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]
5．如图419，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是________．（填序号）
图419
①平面ABC⊥平面ABD；
②平面ABD⊥平面BCD；
③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
③ [因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]
6．如图4110所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）【导学号：
62172227】
图4110
DM⊥PC（或BM⊥PC等） [由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，有PC⊥平面MBD.
又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]
7．（2016·全国卷Ⅱ）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）
②③④ [对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．
对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]
8．如图4111，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
图4111
[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C.
所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．
设三棱柱的所有棱长为a，
在Rt△AED中，
AE＝
a，DE＝
.
所以tan∠ADE＝
＝
，则∠ADE＝
.
故AD与平面BB1C1C所成的角为
.]
9.如图4112，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为____________．
图4112
[设B1F＝x，
因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝
，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，
则DE＝
h.
由面积相等得2×
＝h
，
所以h＝
，DE＝
.
在Rt△DB1E中，
B1E＝
＝
.
由面积相等得
×
＝
x，
得x＝
.]
10.（2017·南京模拟）如图4113，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
图4113
其中正确结论的序号是____________.【导学号：
62172228】
①②③ [由题意知PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，
∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，
故①②③正确．]
11．（2017·盐城模拟）如图4114，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.
设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，求证：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1⊥AB1.
图4114
[证明]
（1）由题意知，E为B1C的中点，
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
（2）因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.
因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.
因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.
因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.
因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.
12．（2016·苏州期末）如图4115，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.
（1）求证：
A1，C1，F，E四点共面；
（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：
OD⊥平面A1C1FE.
【导学号：
62172229】
图4115
[证明]
（1）连结AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
所以EF∥AC.
由直棱柱知AA1綊CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.
所以EF∥A1C1，
故A1，C1，F，E四点共面．
（2）连结BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以DD1⊥A1C1.
因为底面A1B1C1D1是棱形，所以A1C1⊥B1D1.
又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D.
因为OD⊂平面BB1D1D，所以OD⊥A1C1.
又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，
所以OD⊥平面A1C1FE.
B组 能力提升
（建议用时：
15分钟）
1．如图4116，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是____________．（填序号）
图4116
①O是△AEF的垂心； ③O是△AEF的内心；
③O是△AEF的外心；④O是△AEF的重心．
① [由题意可知PA，PE，PF两两垂直，
所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，
而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，
所以EF⊥平面PAO，
所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，
所以O为△AEF的垂心．]
2．如图4117，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
图4117
a或2a [∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.
为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF（或CF⊥B1F）．
设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，
∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]
3．（2016·四川高考）如图4118，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝
AD.
图4118
（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（2）证明：
平面PAB⊥平面PBD.
[解]
（1）取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点．
理由如下：
连结CM，
因为AD∥BC，BC＝
AD，
所以BC∥AM，且BC＝AM.
所以四边形AMCB是平行四边形，
所以CM∥AB.
又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，
所以CM∥平面PAB.
（说明：
取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）
（2）证明：
由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，
因为AD∥BC，BC＝
AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.
因为AD∥BC，BC＝
AD，M为AD的中点，连结BM，
所以BC∥MD，且BC＝MD，
所以四边形BCDM是平行四边形，
所以BM＝CD＝
AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
4．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为
的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图①）．
① ②
图411
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