高考数学解析几何中常用到的平面几何关系.docx

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高考数学解析几何中常用到的平面几何关系

解析几何题中用到的几何关系

一、常用到的一些结论（初中）

1定理三角形两边的和大于第三边

2推论三角形两边的差小于第三边

3三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

4定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

5定理到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

6等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合

7在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

8直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

9定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

10逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

11勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

12定理四边形的内角和等于360°

13平行四边形性质定理平行四边形的对角线互相平分

14矩形性质定理矩形的对角线相等

15矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形

16菱形性质定理菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

17正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

18等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

19等腰梯形的两条对角线相等

20平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

21三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

22梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h

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（1）比例的基本性质如果a:

b=c:

d,那么ad=bc

　　　　如果ad=bc,那么a:

b=c:

d

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（2）合比性质如果a/b=c/d,那么（a±b）/b=（c±d）/d

25（3）等比性质如果a/b=c/d=…=m/n（b+d+…+n≠0）,那么（a+c+…+m）/（b+d+…+n）=a/b

26平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

27性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

28性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

29性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

30垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

31推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

　　　　②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

　　　　③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

32定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

33推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

34定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

34①直线L和⊙O相交d﹤r②直线L和⊙O相切d=r

　③直线L和⊙O相离d﹥r

35切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

36切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

37推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

38推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

39切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

40相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

41推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

42切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

43推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

44如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

45①两圆外离d﹥R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r﹤d﹤R+r（R﹥r）

　④两圆内切d=R-r（R﹥r）⑤两圆内含d﹤R-r（R﹥r）

46定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

47正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°/n

48弧长计算公式：

L=nπR/180=ａR

49扇形面积公式：

S扇形=nπR/360=LR/2

2、平行线分线段成比例定理：

（1）平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图：

a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C

D、E、F，则有

（2）推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

如图：

△ABC中，DE∥BC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：

＊3、直角三角形中的射影定理：

如图：

Rt△ABC中，∠ACB＝90o，

CD⊥AB于D，则有：

（1）

（2）

（3）

4、圆的有关性质：

（1）垂径定理：

如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：

①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：

具备①，③时，弦不能是直径；

（2）圆心角的度数等于它所对的弧的度数；

（3）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

（4）圆周角等于它所对的弧的度数的一半；

（5）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦；

（6）圆内接四边形的对角互补；

（7）直径所对的圆周角是直角．

5、三角形的重心垂心内心与外心：

重心：

三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

垂心：

三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。

垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．

三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．

常见结论：

（1）Rt△ABC的三条边分别为：

a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径

；

（2）△ABC的周长为

，面积为S，其内切圆的半径为r，则

＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：

相交弦定理：

圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图①，即：

PA·PB=PC·PD

割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。

如图②，即：

PA·PB=PC·PD

切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

如图③，即：

PC2=PA·PB

①②③

8、面积公式：

①S正△＝

×（边长）2．②S平行四边形＝底×高．

③S菱形＝底×高＝

×（对角线的积），

④S圆＝πR2．⑤l圆周长＝2πR．⑥弧长L＝

．⑦

9、射影定理：

参考选修教材《几何证明》

10、对称图形的应用，主要有：

（1）以坐标轴或动直线、定直线为对称轴的轴对称图形；

（2）以原点或动点、定点为中心的中心对称图形。

11、合分比定理

　　如果a/b=c/d（a>b，c>d）

　　那么（a+b）/（a-b）=（c+d）/（c-d）

合分比定理的证明

　　设a/b=c/d=t，那么a=bt,c=dt；　　a=bt；　　则a+b=bt+b

　　a+b=b（t+1）

　　（b+a）/b=t+1

　　同理（a-b）/b=t-1

　　代入，即（a+b）/（a-b）=（t+1）/（t-1）

　　同理（c+d）/（c-d）=（t+1）/（t-1）

　　因此（a+b）/（a-b）=（c+d）/（c-d）

　　合比定理：

如果a/b=c/d,那么（a+b）/b=（c+d）/d（b、d≠0）

　　分比定理：

如果a/b=c/d那么（a-b）/b=（c-d）/d（b、d≠0）

　　合分比定理：

如果a/b=c/d那么（a+b）/（a-b）=（c+d）/（c-d）（b、d、a-b、c-d≠0）

　　更比定理：

如果a/b=c/d那么a/c=b/d（a、b、c、d≠0）

　　【合比定理】

　　在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理。

　　【分比定理】

　　在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理。

　　【合分比定理】

　　一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比。

这叫做比例中的合分比定理。

　　【更比定理】

　　一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例.

　　一般用来证明三角条件等式等，一般考试也用来速算小题

　　推论:

　　若a1/b1=a2/b2=a3/b3=....=an/bn

　　则a1/b1=a2/b2=...=（a1+a2+a3+...+an）/（b1+b2+b3+...+bn）