微积分常用公式及运算法则下资料下载.pdf

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2向量与数的乘法（数乘）（）（）（）（）aaaaaabab=+=+=+?

3不等式|ababab+?

4单位向量|aaea=?

空间两点间的距离公式22212212121|（）（）（）PPxxyyzz=+向量的坐标表示1111222212212121（,）,（,）（,）MxyzMxyzMMxxyyzz=?

以点为起点为终点的坐标方向角与方向余弦222222:

cos,cos,cos|.:

coscoscos1（cos,cos,cos）yxzxyzaaaaaaaaaaae=+=?

方向余弦其中方向余弦满足向量的投影,Prj|cos（）babaab?

向量在上的投影记为向量的模222（,）|xyzxyzaaaaaaaa=+?

向量的模为向量的数量积（点积、内积）|cosabab=?

000aa=?

|Prj|Prj:

Prj|abaaababbaabbeba=?

即（,）（,）xyzxyzxxyyzzabaaabbbababab=+?

2|（）（）（）（）aaaabbaabcabacabab=+=+=?

222222cos（0）|（,）,（,）,cosxyzxyzxxyyzzxyzxyzabababaaaabbbbabababaaabbb=+=+?

向量与的夹角满足公式其中若则同济二版微积分（下）3（,）,（,）,0xyzxyzxxyyzzaaaabbbbabababab=+=?

若则的充要条件是向量的向量积（）,（）|sin（）（）,abababiabababiiabababab=?

设和是两个向量规定与的向量积是一个向量记作它的模与方向分别是:

其中同时垂直于和并且符合右手法则.0000（）（）（）（）abbaaaaaabcacbcabab=+=+=?

0abab=?

的充要条件是（）（）（）yzzyzxxzxyyxyzxyzxyzxyzxxyzxyzabababiababjababkaaaaaaijkbbbbbbijkaaabbb=+=+=?

两向量的向量积的几何意义（）:

|sin|（|sin）,|（）:

.iabababahhbababiiababab=?

的模由于所以表示以和为邻边的平行四边形的面积.的方向与一切既平行于又平行于的平面垂直向量的混合积（）yzxyzxxyzyzxyzxxyzxyzxyzabcaaaaaacccbbbbbbaaabbbccc=+=?

abcbcacab=?

0xyzxyzxyzabcaaabbbccc=?

三向量共面的充要条件是平面的方程1点法式方程0000000（,）（,）（）（）（）0MxyznABCAxxByyCzz=+=?

过点且以为法向量的平面的方程为2一般方程0（,）,（,）0,0,0,0,0,0,0,AxByCzDABCxyzABCnABCAxByCzDABzBCxCAy+=?

三元一次方程不同时为零的图形是平面其中的系数是平面的法向量的坐标即是平面的法向量.特殊的平面：

平行于轴的平面；

过原点的平面；

垂直于轴的平面；

垂直于轴的平面.平面的夹角1212121222222212111222|cos|nnAABBCCnnABCABC+=+?

同济二版微积分（下）4121212121112220AABBCCABCABC+=平面和相互垂直的充要条件是:

相互平行的充要条件是:

点到平面的距离0000000222（,）0|:

PxyzAxByCzDAxByCzDdABC+=+=+点到平面的距离为直线的方程1参数方程0000000（,）（,）.MxyzsmnpLxxtmyytnzztp=+=+=+?

过且以为方向向量的直线的方程为2对称式方程（点向式方程）0000000（,）（,）.MxyzsmnpLxxyyzzmnp=?

过且以为方向向量的直线的方程为3一般方程11111222221211112222111222:

0:

0（,）,:

0,0.LAxByCzDAxByCzDMxyzLxyzAxByCzDAxByCzDABCABC+=+=+=+=直线可以看作两个平面与的交线.空间一点在直线上当且仅当它的坐标同时满足与的方程的下面的直线方程其中不成立两直线的夹角12111122221212121222222212111222（,）,（,）,:

|cos|LLsmnpsmnpssmmnnppssmnpmnp=+=+?

直线与的方向向量分别是则夹角公式为121212121112220LLmmnnppmnpmnp+=直线和相互垂直的充要条件是:

直线与平面的夹角222222（,）,（,）,:

|sin|LsmnpnABCnsAmBnCpnsABCmnp=+=+?

直线与平面法线的方向向量分别是则夹角公式为;

0.LABCmnpAmBnCp=+=直线和平面相互垂直的充要条件是:

旋转曲面（）（）22222222（,）0,0;

（,）0,0.CfyzzyxyCzfxyzfyzyzxzCyfyxz=+=+=若在曲线的方程中保持不变而将改写成就得到曲线绕轴旋转而成的曲面的方程若在中保持不变而将改写成就得到曲线绕轴旋转而成的曲面的方程二次曲面图形及方程1椭球面同济二版微积分（下）52222221sincossinsincos0,0,2xyzabcxaybzc+=其中2抛物面

（1）椭圆抛物面22222cossin0,2,0,）xyzabxavuybvuzvuv+=+其中

（2）双曲抛物面222222（）（）4,xyzabxauvybuvzuvxauybvzuvuv=+=R或3双曲面

（1）单叶双曲面2222221coshcoscoshsinsinh,0,2xyzabcxauvybuvzcuuv+=R

（2）双叶双曲面2222222211cos1sin（,11,）,0,2xyzabcxauvybuvzcuuv+=+4椭圆锥面222222cossin0,2,xyzabcxavuybvuzcvuv+=R第六章多元函数微分学偏导数的几何意义（）（）000000000000（,）（,）,（,）,;

（,）（,）,（,）,xyfxyzfxyMxyfxyyyxfxyzfxyMxyfxyyyy=偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对轴的斜率偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对轴的斜率.全微分（,）（,）,（,）,:

（,）（,）,xyzfxyDxyfxydzfxydxfxydyzzdzdxdyxy=+=+若函数在区域内每一点处都可微则在每点处连续且可偏导其全微分为或复合函数的求导法则1复合函数的中间变量均为一元函数同济二版微积分（下）6（）,（）,（,）（,）,（）,（）,:

utvttzfuvuvzftttdzzduzdvdtudtvdt=+如果函数都在点可导函数在对应点具有连续偏导数则复合函数在点可导且有2复合函数的中间变量均为多元函数（,）,（,）（,）,（,）（,）,（,）,（,）（,）,:

uxyvxyxyzfuvuvzfxyxyxyzzuzvxuxvxzzuzvyuyvy=+=+如果函数都在点可微函数在对应点具有连续偏导数则复合函数在点可微且有3复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数（,）,（,）,（）（,）,（）,（,）,:

zfxyxstytzfsttzxyzzfxsxszfxfdytxtydt=+设复合成二元函数并且函数在对应点具有连续偏导数复合函数可微且有对隐函数求导10000000000（,）（,）,（,）0,（,）0,（,）（,）0（）,（）,.yxyFxyxyFxyFxyxyFxyyfxFdyyyxdxF=设在附近具有连续的一阶偏导则在的附近,方程一定可确定一隐函数且满足2

（1）000000000

（1）000000（,）,（,）（,）0,（,）0,（,）0,（,）（,）,（,）,.zyxzzFxyzCxyzFxyzFxyzFxyzxyzCzzxyzzxyFFzzxFyF=设三元函数在区域内是类函数点且满足则方程在点的某领域内唯一确定了一个类的二元函数它满足条件且有3（,）0（,）（,）0（,）00,xuvxuvFxyuvuuxyGxyuvvvxyuvFFFxxxuvGGGxxuvxx=+=+=方程组对求导解出方向导数000000000000（,）0000（,）00（,）（,）,（cos,cos）,（,）（,）,（,）cos（,）cos.,（,）|（,）|cos（,）lxyxylxyzfxyxyefxyxylffxyfxylffxyefxylfxye=+=?

设函数在点可微则对于任意单位向量函数在点沿方向的方向导数存在且有或利用梯度得其中是与的夹角.梯度00000000（,）grad（,）（,）（,）xyfxyfxyfxyifxyj=+?

曲线的切平面与法向量1同济二版微积分（下）7（）000000000000000000000000（,）0,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）xyzxyzFxyzMxyzFxyzMFxyzFxyzFxyzMnFxyzFxyzFxyz=?

设曲面的方程为点如果函数在点处可微且不全为零则曲面在处存在切平面并有法向量2（）00000000000000（,）,（,）,（,）.（,）（,）,（,）,（,）,1xyzzxyMxyzzzxyzxyxyMnzxyzxy=?

曲面的方程为点其中如果函数在点处可微则曲面在点处存在切平面并有法向量3000000

（1）000:

（,）（,）（,）（,）（,）,（,）,（,）,（,）,（,）（,）（,）（,）,（,）（,）（,）,:

uuuvvxxuvyyuvzzuvMxyzuvxuvyuvzuvCuvyzzxxyuvuvuvMijknxyzxyz=?

设曲面的方程为下列参数方程上一点对应于如果都是类函数并且在处不同时为零则曲面在点处存在切平面并且有法向量0000（,）（,）（,）（,）（,）,（,）（,）（,）vuvuvyzzxxyuvuvuv=空间曲线的切线与法平面1（）00000000000000（）（）（）（,）,.（）,（）,（）,:

（）,（）,（）xxtyytzztMxyzMtxtytztMMxtytzt=?

设空间曲线的方程为点对应参数如果存在且不全为零则曲线在点处有切线且在点的一个切向量为20000000000（,）0（,）0（,）,（,）,（,）（,）（,）（,）（,）,（,）（,）（,）,:

（,）（,）（,）,（,）（,）（,FxyzGxyzMxyzFxyzGxyzMxyzFGFGFGMyzzxxyMFGFGFGyzzxx=?

设空间曲线有一般方程点且函数在点处有连续的偏导数.如果二节行列式在处不全为零则曲线在点处有切向量000000（,）（,）xyzxyzxyzxyzyijkFFFGGG=?

多元函数的极大值与极小值1验证二元函数的驻点是否为函数极值：

00

（2）00000000002000000200（,）（,）,（,）（,）,（,）0,:

（,）,（,）,（,）,

（1）0,（,）,0（,）,0,（,）.

（2）0（,）xxxyyyzfxyxyDCxyfxyfxyAfxyBfxyCfxyACBfxyAfxyAfxyACBfxy=?

设函数在包含点的区域内是类函数是的驻点即记那么当时是极值且当时,是极小值当时是极大值当时,不是极200.（3）0,（,）.ACBfxy=值当时是否为极值还需另作讨论同济二版微积分（下）82拉格朗日乘子法0000（,）（,）,（,）（,）（,）,0,0,0（,）（,）0（,）（,）0（,）0,（,）（,）（,）0.xyxxyyfxyxyLxyfxyxyxxyyLLLfxyxyfxyxyxyxyfxyxy=+=+=+=设函数与具有连续的偏导数作拉格朗日函数如果是方程组即的解那么是目标函数在约束条件下的可疑极值点第七章重积分重积分的性质1线性性质（,）,（,）,（,）（,）,（,）（,）（,）（,）DDDfxygxyDfxygxyDfxygxydxdyfxydxdygxydxdy+=+如果函数都在上可积则对任意的常数函数也在上可积且2区域可加性121212（,）,（,）,（,）（,）（,）DDDfxyDDDDfxyDDfxydxdyfxydxdyfxydxdy=+如果函数在上可积用曲线将分割成两个闭区域与则在与也都可积且3单调性（,）,（,）0,（,）0.（,）,（,）,（,）（,）,（,）（,）.DDDfxyDDfxyfxydxdyfxygxyDDfxygxyfxydxdygxydxdy如果函数在上可积并且在上则如果函数都在上可积且在上则4绝对值可积（,）,|（,）|,（,）|（,）|.DDfxyDfxyDfxydxdyfxydxdy如果函数在上可积则函数也在上可积且5中值定理（,）,（,）,（,）（,）（）,（）.DfxyDDfxydxdyfDDD=如果函数在上连续则在上至少存在一点使得其中表示的面积6（,）1,.DfxydD当时表示区域的面积7估值定理（,）,（,）（,）DfxyDMmfxymfxydxdyM如果函数在上连续且为的最大最小值,则二重积分的计算1直角坐标2112（）（）（,）|（）（）,（,）（,）.bxaxDxDxyxyxaxbfxyddxfxydy=对型区域则2112（）（）（,）|（）（）,（,）（,）.dycyDyDxyyxycydfxyddyfxydx=对型区域则2极坐标21（）（）（,）（cos,sin）（cos,sin）DDafxydxdyfdddfd=三重积分的计算1直角坐标

（1）坐标面投影法同济二版微积分（下）92112（,）（,）,（,）|（,）（,）,（,）.,（,）,（,）（,）.xyxyxyzxyzxyDxOyDxyzzxyzzxyxyDxyfxyzfxyzdVdxdyfxyzdz=如果将积分区域向面投影得投影区域且能够表示为那么设型空间区域由上式给出且函数在上连续则

（2）坐标轴投影法,（,）|（,）,（0,0,）.,（,）,（,）（,）.zzzqpDzpqxyzxyDpzqDzxOyzfxyzfxyzdVdzfxyzdxdy=将空间区域向轴作投影得一投影区间且能表示为其中是过点且平行于面的平面截所得的平面区域设型空间区域由上式给出且函数在连续那么2柱面坐标（,）（cos,sin,）0cos02sin.fxyzdxdydzfzdddzxyzzz=+=+=其中,且有3球面坐标2（,）（sincos,sinsin,cos）sin0sincos0,sinsin02cosfxyzdxdydzfrrrrdrddrxryrzr=+=其中且有同济二版微积分（下）10第八章曲线积分与曲面积分第一类曲线积分的计算法122L（）,（）（）（,）（,）（）,（）（）（）（）LxxttyytfxyLfxydsfxtytxtytdt=+设平面光滑曲线弧由参数方程给出，函数在上连续，则其中222L（）,（）,（）（）（,）,（）1（）d（）L（）,（）（,）（）,（）1d（）baLdcLyyxaxbxxaxbyyxfxydsfxyxyxxabxxycydfxydsfxyyxyycd=+=+若曲线弧由参数方程其中给出，可以看作是特殊的参数方程则其中类似的，若曲线弧由方程给出，则有其中3222（）（）,（）（）（,）（,）（）,（）,（）（）（）（）d（）xxtyyttzztfxyzfxyzdsfxtytztxtytztt=+设空间光滑曲线弧由参数方程给出，函数在上连续，则其中第一类曲面积分的计算法22（,）,（,）（,）（,）d,（,）1（,）（,）dxyxyxyxyDzzxyxyDDxOyfxyzfxyzSfxyzxyzxyzxy=+设光滑曲面由方程给出，为在面上的投影区域，函数在上连续，则曲面面积22（,）,（,）,1.xyxyxyxyDzzxyxyDDxOySzzdxdy=+设光滑曲面由方程给出为在面上的投影则曲面的面积向量值函数在定向曲线上的积分（第二类曲线积分）定向曲线的切向量（）（）（）,:

（）（）,（）,（）,.xxtyyttabzztxtytztabab=?

由参数方程给出的定向光滑曲线在其上任意点处的切向量为其中的正负号当时取正当时取负第二类曲线积分的计算法1（）,（）,:

（,）,（,）,（,）d（,）d（）,（）（）（）,（）（）d,.LbaLxxtyyttabPxyQxyLPxyxQxyyPxtytxtQxtytyttaLbL=+=+如果平面上定向光滑曲线弧的方程为在上连续则其中右端定积分的下限对应的起点上限对应的终点2同济二版微积分（下）11（）,:

（,）,（,）,（,）d（,）d,（）,（）（）d,.LbaLyyxxabPxyQxyLPxyxQxyyPxyxQxyxyxxaLbL=+=+如果平面上定向光滑曲线弧的方程为函数在上连续则其中右端定积分的下限对应的起点上限对应的终点3（）,（）,（）,:

（,）,（,）,（,）,（,）d（,）d（,）d（）,（）,（）（）（）,（）,（）（）（）,（）,（）（）dbaxxtyytzzttabPxyzQxyzRxyzPxyzxQxyzyRxyzzPxtytztxtQxtytztytRxtytztztta=+=+如果定向光滑曲线的方程为函数在上连续则其中右端定积分的下限对应的起点,.b上限对应的终点格林公式1格林定理,（,）,（,）d（,）d（,）dDDDxOyDPxyQxyDQPPxyxQxyyxy+=+?

设是面上的有界闭区域其边界曲线由有限条光滑的曲线所组成如果函数在上具有一阶连续偏导数，那么2平面定向曲线积分与路径无关的条件（）（,）（,）,（,）（）（,）d（,）d0（）（,）d（,）d（）（,）d（,）d（,）（,）CLGFxyPxyQxyGiGCPxyxQxyyiiPxyxQxyyGiiiPxyxQxyyGuxyduPxy=+=+=?

设是平面上的单连通区域，在内有连续的偏导数，那么以下四个条件相互等价：

对内的任意一条分段光滑的闭曲线，；

曲线积分在内与路径无关；

表达式在内是某个二元函数的全微分，既存在，使得d（,）d;

（）xQxyyQPivGxy+=在内每点都成立.最便于运用的条件是（iv），即

（1）,（）,ddLGLGPQCGQPPxQyxy+设是平面单连通区域,是内任意光滑或分段光滑的曲线弧则与路径无关第二类曲面积分的计算法（,）,（,）（）,（,）,（,）,（,）,.xyxyxyDzzxyxyDDxOyRxyzRxyzdxdyRxyzxyd=1.如果函数的方程是在面上的投影区域在上连续那么积分号前的符号当取上侧时为正取下为负（,）,（,）（）,（,）,（,）（,）,yzyzyzDxxyzyzDDyOzPxyzPxyzdydzPxyzyzd=2.如果函数的方程是在面上的投影区域在上连续那么积分号前的符号当取前侧时为正取后侧为负同济二版微积分（下）12（,）,（,）（）,（,）,（,）,（,）,.zxzxzxDyyzxzxDDzOxQxyzQxyzdzdxQxyzxzd=3.如果函数的方程是在面上的投影区域在上连续那么积分号前的符号当取右侧时为正取左为负合一投影法高斯公式,（,）,（,）,（,）,.,divdPxyzQxyzRxyzPQRdVxyzPdydzQdzdxRdxdyFV+=+?

设是一空间有界闭区域其边界