数学建模赛货物运输问题.docx

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货物配送问题

【摘要】

本文是针对解决某港口对某地区8个公司所需原材料A、B、C的运输调度问题提出的方案。

我们首先考虑在满足各个公司的需求的情况下，所需要的运输的最小运输次数，然后根据卸载顺序的约束以及载重费用尽量小的原则，提出了较为合理的优化模型，求出较为优化的调配方案。

针对问题一，我们在两个大的方面进行分析与优化。

第一方面是对车次安

排的优化分析，得出①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货为最佳方案。

第二方面我们根据车载重相对最大化思想使方案分为两个步骤，第一步先是使

每个车次满载并运往同一个公司，第二步采用分批次运输的方案，即在第一批次运输中，我们使A材料有优先运输权；在第二批次运输中，我们使B材料有优先运输权；在第三批次中运输剩下所需的货物。

最后得出耗时最少、费用最少的方案。

耗时为40.5007小时，费用为4685.6元。

针对问题二，加上两个定理及其推论数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。

我们采取与问题一相同的算法，得出耗时最少，费用最少的方案。

耗时为26.063小时，费用为4374.4元。

针对问题三的第一小问，我们知道货车有4吨、6吨和8吨三种型号。

我们经过简单的论证，排除了4吨货车的使用。

题目没有规定车子不能变向，所以认为车辆可以掉头。

然后我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。

最后在满足公司需求量的条件下，采用不同吨位满载运输方案，此方案分为三个步骤：

第一，使8吨车次满载并运往同一公司；第二，6吨位车次满载并运往同一公司；第三，剩下的货物若在1~6吨内，则用6吨货

车运输，若在7~8吨内用8吨货车运输。

最后得出耗时最少、费用最省的方案。

耗时为19.6844小时，费用为4403.2。

一、问题重述

某地区有8个公司（如图一编号①至⑧），某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口（编号⑨）分别运往各个公司。

路线是唯一的双向道路（如图１）。

货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元

/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次（车辆每出动一次为一车次）。

每辆车

平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时（不考虑塞车现象），每日工作不超过8小时。

运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。

一个单位的原材料

A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时

必须小件在上，大件在下。

卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量（见表１）。

问题：

1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发（不定方向）后运输途中不允许掉头，应如何调度（每辆车的运载方案，运输成本）使得运费最小。

2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？

应如何调度？

3、

（1）如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？

（2）当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法（可结合实际情况深入分析）。

图１唯一的运输路线图和里程数

公司

材料

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

表１各公司所需要的货物量

二、模型假设

1）港口的容量足够大，多辆运输车同时到达港口时不会发生阻塞现象；

2）多辆运输车可以在港口同时装车，不必等待；

3）双向道路上没有塞车现象；

4）8个公司之间没有优先级别，货运公司只要满足他们的需求量就可以；货车完成他们日常的送货任务之后，回到港口。

5）假设运输车不会因天气状况，而影响其行驶速度，和装载、卸载时间。

6）运输路不会影响运输车行驶速度。

7）运输车正常出车。

三、问题分析

运输过程的最大特点是三种原料重量不同，分为大小件，当大小件同车，卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，要区别对待运输途中是否可以调头的费用。

在问题一中，运输途中不能调头，整个送货路线是一个环形闭合回路，如果沿着某一方向同时给多家公司送货时，运输车必须为距离港口近的公司卸下小件，为距离港口远的公司运送大件；而在问题二中，运输途中可以调头，可以首先为远处公司运送小件，在返回途中为距离较近的公司卸下大件。

从表面上看，这样运输能够节省车次，降低出车费用。

但我们通过分析，在本题中，载重调头运输并不能降低费用。

运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

建立模型时，要注意以下几方面的问题：

目标层：

如果将调度车数、车次以及每车次的载重和卸货点都设为变量，模型中变量过多，不易求解。

由于各辆运输车之间相互独立，可以将目标转化为两个阶段的求解过程，第一阶段是规划车次阶段，求解车次总数和每车次的装卸方案；第二阶段是车辆调度阶段，安排尽量少的车辆数，每车次尽量满载，使总的运费最小。

约束层：

（1）运输车可以从顺时针或者逆时针方向送货，要考虑不同方向时的载重用；

（2）大小件的卸车顺序要求不同原料搭配运输时，沿途必须有序卸货；

（3）每车次的送货量不能超过运输车的最大载重量；

（4）满足各公司当日需求。

四、符号说明和名词约定

符号

含义

单位

备注

S1（n）

从港口到各个公司的货运最短里程集

公里

n=1、2、

…、8；

S2（n）

卸载后返回港口的最短空载里程集

公里

n=1、2、

…、8；

Q（i）（n）

n公司对货物i的实时需求量集

单位

/天

n=1、2、

…、8;

i=A、B、

C；

W（j）（n）

第j批运至第n公司货物的重量集

吨

n=1、2、

…、8；j=1、2；

Times（

j）（n）

第j批运至第n公司次数集

次

n=1、2、

…、8；j=1、

Yj（n）

第j批运至第n公司的费用集

元

n=1、2、

…、8；j=1、2；

Y（d）

第d问中组合运输的费用集

元

d=1、2、

3；

Charge

（d）

第d问中所有的运输费用集

元

d=1、2、

3；

TT（d）

第d问中组合运输的耗时集

小时

d=1、2、

3；

Time（d）

第d问中所有的运输耗时集

小时

d=1、2、

3；

五、建立模型

一、问题一

i.车次规划模型的分析

车次规划阶段只涉及到载重费用、空载费用和港口出车费用。

运输途中不能掉头，所以每车次都是沿闭合回路绕圈行驶。

1）运输途中不能掉头，所以为某些公司送货时，运输车从港口出发，按顺时针方

向沿闭合回路绕行，为其它公司送货时，按逆时针方向沿闭合回路绕行。

公司和港口之间存在顺时针距离和逆时针距离，如下表：

公司编号

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

顺时针距离

逆时针距离

由表可知，运输过程中不可以掉头，为使得货运费用最低，我们按照问题分析中给

出的最佳运输路径进行货物的分配运输。

即若港口按顺时针和逆时针两个不同方向出发，根据货运里程短，④点为顺时针货运方向最远点，也是空载回港口的最近点，根据货运里程短，⑤点为逆时针货运方向最远点，也是空载回港口的最近点。

结论：

在符合载重相对最大化情况下，①~④公司顺时针送货为最佳方案，⑤~⑧公司逆时针送货最佳方案。

如下图所示：

9公里

③5公里

④

8公里

⑤

8公里

②

7公里

⑥

4公里

⑦

①

港口

8公里

⑨

⑧

5公里

6公里

2）根据3种原料的重量和运输车的最大运载量可以看出，A和C可以搭配运输，B和

C可以搭配运输，而A与B不能同车运输。

不论是以顺时针方向送货还是以逆时针方向送货，当大小件搭配运输时，必须首先卸下小件，在后续公司卸下大件。

我们把这种特点总结如下：

1、若在第j个公司卸下的是大件A，说明本车次的货物已经卸完，不能够再为后续公司运送小件C（A与B不能同车运输，更不可能有B）；

2、若在第j个公司卸下的是B，说明本车次的货物已经卸完，不能够再为后续公司运送小件C。

ii.模型建立

基于以上约束条件建立如下模型：

第一步：

根据车载重相对最大化的基本思想。

可以分为两小步：

分为两种满载方案：

第1种为每个车次装载1单位A和2单位C；第2种是每个车次装载2个单位B。

并使每一车次在同一公司卸货。

满载运载方案如下表1：

表1

车辆

车次

数

公司

货物

时间（小时

）运费（元）

各车工作时间（小时

A,2C

1.4167

107.2

7.0835

A,2C

1.4167

107.2

A,2C

1.4167

180

A,2C

1.4167

273.6

A,2C

1.4167

273.6

A,2C

1.4167

325.6

7.0835

A,2C

1.4167

263.2

A,2C

1.4167

138.4

A,2C

1.4167

138.4

1.4167

180

1.4167

180

7.0835

1.4167

263.2

1.4167

180

1.4167

180

1.4167

138.4

1.4167

）

对于剩下各公司所需要货物单位数量如下表：

材料

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

第二步：

我们采用批次运输方案：

第一批次运输，我们使A材料有优先运输权，在保证满足各公司对A需求量条件下，1C与1A搭配满足载重相对最大化方法运输；第二批次运输，我们使B材料有优先运输权，在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于或等于2个单位；第三批次运输剩下所需的货物。

具体运输方式：

首先优先考虑A货物的处理方法，可知1公司还需1个车次的1A和一个车次的1A1C，4公司还需要2个车次的1A，8公司还需要4个车次的1A和1个车次的1A1C；接着处理B货物，1公司和2公司共需要1个车次的2B,8公

司和4公司共需要1个车次的2B;最后处理C货物，5、6、7公司共需要1个车次的6C。

由此可知共出车28次。

如下表2：

表2

车辆

车次

数

公司

货物

时间（小时

）运费（元）

各车工作时间（小时

1.4167

7.0835

A,C

1.4167

6.1334

A,C

1.4167

92.8

1.4167

78.4

1，2

1.5833

142.2

1.4167

221.2

6.0333

1.4167

221.2

7,6，5

1.75

198.4

8，4

1.5833

206

）

2）根据1）和2）的结论及方法，不记派车成本和出车成本的28车次方案所需运费及时间如下表3：

表3

车辆

车次

数

公司

货物

时间（小

时）

运费（元

）各车工作时间

（小时）

A,2C

1.4167

107.2

7.0835

A,2C

1.4167

107.2

A,2C

1.4167

180

A,2C

1.4167

273.6

A,2C

1.4167

273.6

A,2C

1.4167

325.6

7.0835

A,2C

1.4167

263.2

A,2C

1.4167

138.4

A,2C

1.4167

138.4

1.4167

180

1.4167

180

7.0835

1.4167

263.2

1.4167

180

1.4167

180

1.4167

138.4

1.4167

7.0835

A,C

1.4167

5.8334

A,C

1.4167

92.8

1.4167

78.4

1，2

1.5833

142.2

1.4167

221.2

6.1667

1.4167

221.2

7，6

，5

1.75

198.4

8，4

1.5833

206

总

4464

40.5007

模型中变量

对应的数值

含义

S1（n）

{8152429231511

从港口到各个公司的货运最短里程集

n=1、2、…、8；

S2（n）

{52453631374549

集

卸载后返回港口的最短空载里程

n=1、2、…、8

55}

；

Q（i）（n）

{41231025；

n公司对货物i的实时需求量集

n=1、2、…、8

15012423；

；

52424351}

i=A、B、C；

Wj（n）

{216121460 1221；

第j批运至第n公司货物的重量集

n=1、2、…8；

j=1、2；

012 0 06126 6}

Times（j）（n）

{41231025；

第j批运至第n公司次数集

n=1、2、…、8

02001211}

；

j=1、2；

（d）

ttd=1

{5.0832}

第d问中组合运输的耗时集

）

yd=1

{565.2}

第d问中组合运输的费用集

iii.目标分析

运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

8 2

charge（d）=Y（d）+åå1.8*S1（n）*W（j）（n）+0.4*S2（n）*times（j）（n）+10*times（j）（n）;

n=1j=1

8 2

time（d）=TT（d）+ååtimes（j）（n）*（1+5/12）;

其中d=1；

n=1

j=1

最后经过模型的计算得到最少费用为：

4840.6元，最少耗时为：

40.4999小时。

二、问题二

i.车次规划模型的分析

两个定理的证明

定理一、车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头

途中允许调头，运输车可以先为较远的公司送去小件原料，然后调头，为比较近的公司送去大件。

从表面上看，这样运输能够节省车次，降低出车费用。

但我们通过分析，在本题中，载重调头运输并不能降低费用。

证明过程如下：

在上图中，记O点为港口，N、M为两公司。

M到港口的距离是S1，NM两个公司之间的距离为S2。

假设将两种货物a和b（重量分别为x吨、y吨），分别运往N和

M两公司，现有两种运输方案：

1.若先运货a、b到N，将a卸到N，调头返回，将货物b运往M，那么a必为C原料

（x＝1），b为A或B（3£y£4），记运费用为f1

2.若先单独运送货物a到N，返回港口后，再次出车，将货物b运往M，即出车两次，记运费用为f2。

Ø两种方案需要的车辆相同时，

为比较两种运输方式费用的大小，两种运输的种类质量均相同，记：

若f>0恒成立，则载重调头送货不节省费用，通过数据处理提取函数：

=f1-f2

f=3.6×y×s2-10-0.4（s1+s2）

因为 4³y³3

并且N、M两公司在本题中的最小距离s2=4

代入到f中，化简得到

fmin

令 fmin

=31.6-0.4s1

=31.6-0.4s1<0

得到 s1>75

而港口到所有公司最短路的最大值为29公里，所以

fmin>0恒成立。

说明前一种花费较高。

Ø方案二比方案一需要的车辆多时

第二种方案是出车两次，运输时间较长，在8小时的工作时间内，可能会比调头载重运输时多安排车辆，派车费用增加。

我们考虑一种最差情况，因多运一次而增派一辆车，此时有

fmin=11.6-0.4s1<0

得到 s1³29

因为港口到所有公司的最短路径所以

s1£29

fmin³0

综上，载重调头运输花费较高。

证明了以运费用最小为目标时，车辆当且仅当运完最后一件货物时才调头。

定理一的推论：

运载里程与空载里程相同（表四中的第28车次例外），且每次

出车均不绕圈工作。

定理二、车辆载重行程是各公司到港口的最短路，且载重费用固定不变

在定理一的基础上，车辆当且仅当运完最后一件货才调头，且每次出车均不绕圈工作，那么每一单位的原料都可以由最短路径运至需货公司。

我们变换视角，从宏观的角度看去，对8个公司所需货物的数量分别乘以公司和港口的最短距离和载重单价（1.8元/吨公里）就是将货物运至公司的载重费用，载重费用因子：

货物的

数量、公司和港口的最短距离、载重单价都是定值，因此，载重费用是固定不变的。

车次规划阶段只涉及到载重费用、空载费用和港口出车费用。

运输途中可以掉头，即货车可以送完货沿原路返回港口。

ii.模型建立

根据问题一约束条件：

在符合载重相对最大化情况下，①~④公司顺时针送货为最佳方案，⑤~⑧公司逆时针送货最佳方案。

此结论也可以适用货车可以掉头的情况。

加上上面两个定理，数学模型与问题一几乎相同，只是空载路径不同。

故同样分为两步骤：

第一步分为两种满载方案：

第1种为每个车次装载1单位A和2单位C；第2种是每个车次装载2个单位B。

并使每一车次在同一公司卸货。

第二步我们采用批次运输方案：

第一批次运输，我们使A材料有优先运输权，在保

证满足各公司对A需求量条件下，C与A搭配满足载重相对最大化方法运输；第二批次运输，我们使B材料有优先运输权，在此次运输我们满足各公司尚缺B材料的量小于2个单位；第三批次运输剩下的货物。

最终车次运载方案如下表4：

表4

车辆

车次

公司

货物

时间（小时）

运费

各车工作时间（小时）

A,2C

0.6834

89.6

7.2837

A,2C

0.6834

89.6

A,2C

0.9167

168

A,2C

1.2167

268.8

A,2C

1.2167

268.8

A,2C

1.3834

324.8

A,2C

1.1834

257.6

A,2C

0.7834

123.2

7.7838

A,2C

0.7834

123.2

0.9167

168

0.9167

168

1.1834

257.6

0.9167

168

0.9167

168

0.7834

123.2

0.5834

A,C

0.5834

4.2838

0.5834

A,C

0.6834

75.2

0.6834

60.8

1，2

1.0833

130.2

6.9501

1.3834

220.4

1.3834

220.4

7，6，

1.5167

192.8

8，4

1.5833

206

总

4127.2

26.3014

iii.目标分析

运费最小是货运公司调度运输车的目标，运费包括派车固定成本、从港口出车成本、载重费用和空载费用。

由表4得知，第二问的总费用charge

（2）=4127.2+20*4+10*28=4487.2元

总时间Time

（2）=26.3014元

三、问题三

1）第一小问：

结论：

这次运货不需要使用4吨货车。

只使用6吨、8吨货车搭配运输即可。

i.模型建立

我们经过上述论证，排除了4吨货车的使用。

题目没有规定车子不能变向，所以认为车辆可以掉头。

我们仍旧采取①~④公司顺时针送货，⑤~⑧公司逆时针送货的方案。

根据上述条件我们建模如下：

第一步，使8吨车次满载并运往同一公司；

第二步，使6吨位车次满载并运往同一公司；运载方案如下表5：

表5

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