武汉理工研究生矩阵论试题及答案资料下载.pdf

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前面没有标记有（a）或（b）的试题，全部全部的学生均答。

）一、填空题一、填空题（15分）分）1.（a）在3中有下列两个基：

1=（111），2=（110），3=（100）1=（100），2=（010），3=（001）则从基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵是=（001011110）2（a）已知矩阵=（123223323），在3中定义线性变换（）=，3，则（）=23.已知矩阵A的初等因子为

（1）,

（1）2,（+2）2,（+2）4，则A的最小多项式（）=_

（1）2（+2）4_4.已知矩阵=（210120301），则范数=205.已知矩阵=（151271025），则+2+=1013（6578）二、二、（a）在多项式空间3（）=次数小于小于3的的多项式，若（）=0+1+223（），定义（）=（0+1）+（1+2）+（0+21+2）2;

1.证明是3（）上的线性变换，2.求在基1,2下的矩阵，3.求的核子空间ker（）的一个基。

（15分）证明：

证明：

1.（）=0+1+223（）=0+1+223（）+（）=（+（+）+（+）=（+）+（+）+（+（+）+）=（）+（）（）=（0+1）+（1+2）+（0+21+2）2）=（）2.T（12）=（12）（110011121）3.0+1=01+2=00+21+2=0通解c（111），的核子空间ker（）的一个基1+2三、三、（a）在3中，对于任意,3，=（1,2,3），=（1,2,3），定义（,）=11+222+333，证明，1（,）为3的一个内积；

2.求一个与基（100）,（110）,（111）等价的标准正交基；

3.设=（110），试求的一个基。

1.（,）（+,）=（,）+（,）（,）=（,）（,）=12+222+3320，仅当=0时，（,）=02.（100）,12（010）,13（001）3.（210）,（001）四、四、已知矩阵=（211212112）1.求的Jordan标准型及可逆矩阵，使得1=；

2.求的最小多项式，并求524+3342+3+。

（18分）解，1.f（）=|=|2112+12112|=

（1）3=0,特征值1,2,3=1（）=0之基础解系为1=（110）,2=（101）,P1=（1111）,P=（12,3）1=（110）2=（121）求得3=（100）P=（111120010）1=（1111）2.（）=

（1）2524+3342+3+1=（3+2）

（1）2+1524+3342+3+=+=（311202113）五、五、设是上的矩阵范数，是一个可逆矩阵，对任意，定义=1，求证是上的一种矩阵范数。

（10分）证明：

（1）当A=0时，=0，当A0时，10，故=10；

（2）C,有=1（）=1=|1=|（3）+=1（+）=1+11+1=+（4）=1=1111=六、六、（a）线性方程组=其中，202123101246A，1103b试用广义逆矩阵的方法求=的最小二乘解以及极小范数最小二乘解。

（12分）解：

，202101123011101000246000A20121024B，101011C+=（）1（）1=101521=8244302112最小二乘解+b+（+）=110（123）+（13（211121112）=110（123）+13（111111111）（123）范数最小最小二乘解+b=110（123）七、七、已知矩阵A=（126103114）1.求及2.求下列初值问题的解=（0）=0的解，其中0=（112）。

（15分）解：

1.令（）=|=|+12613114|=

（1）3=0,得1,2,3=1（）=

（1）2设=（）（）+（），其中（）=0+1得

（1）=0+1=

（1）=1=即0=，1=（）=（1226131+3）令=1,=（26034）2.满足初值的解为0=（1226131+3）（112）=（1+81+42+4）