工程矩阵理论(2010)(工科硕士).ppt

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1,工程,矩阵理论,东南大学数学系周建华,2,教材工程矩阵理论张明淳，东南大学出版社参考书1.高等代数，北京大学，高等教育出版社2.MatrixAnalysis,R.A.HornandC.R.Johnson,CambridgeUniversityPress,2004（中译本，杨奇译，机械工业出版社）,3,要求,重点是基本理论，基本方法；结合授课内容，熟悉课本；通过例题，理解概念；通过练习题，熟悉理论和方法。

4,本课程大致内容,第0章复习与引深第1章线性空间与线性变换第2章内积空间、等距变换第3章矩阵的相似标准形第4章Hermite二次型第5章范数及矩阵函数第6章矩阵的广义逆,5,矩阵理论,6,第0章复习与引深,矩阵运算线性方程组向量组的极大无关组和秩矩阵的秩,7,1.矩阵的乘法中应注意的问题,

（1）存在非零零因子例1,8,

（2）不可交换,9,（3）由此导致的一些问题,乘法消去律不成立一些代数恒等式对矩阵不再成立,10,例3,11,（4）分块矩阵,设,将这两个矩阵分块：

其中，,12,条件：

上式有意义,13,一些常见的分块形式,1.,14,15,16,17,18,2.线性方程组,1.,2.,3.,19,齐次线性方程组的基础解系,对于齐次线性方程组,1.有非零解当且仅当,20,例5,21,简化阶梯形矩阵,22,续例5,23,Gauss消元法,24,例6,25,例7,26,3.向量组的极大无关组和秩,27,例8,28,4.矩阵的秩,矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数=A的行（列）向量组的秩,有关矩阵的秩的不等式：

29,例9,30,例10,31,矩阵的等价标准形,32,33,例12：

34,线性空间和线性变换,第一章,35,第一节线性空间的定义,用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.,36,如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为向量。

37,例1,38,例1（续）,39,线性空间的性质,40,第二节基、维数和坐标,如：

在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。

41,一些重要结论,42,43,例2,44,定义（基，维数）,45,注：

46,例3,47,定理1,48,定义（坐标）：

49,例5,50,例6,51,注,线性空间的基是有序的。

基相当于几何空间中的坐标系。

52,定理2,53,例7,54,例8,55,形式记号,56,形式记号,57,形式记号的性质,58,例9,59,定义（过渡矩阵）,60,过渡矩阵的性质,61,例10,62,定理3（坐标变换公式）,63,例11,64,第三节子空间,交与和,65,定理1,66,两类重要的子空间,67,命题：

68,例12,69,例13,70,例14,71,例15,72,定理2,73,子空间的交与和,74,子空间的交与和,75,注：

交与并的区别,76,定理4（维数定理）,77,例16,78,例17,79,例18,80,直和,81,定理5,82,例19,83,例20,84,多个子空间的直和,85,定理6,86,87,第四节线性映射,88,89,定义：

90,例21,91,例22,92,例23,93,注,94,线性映射的性质：

95,96,例24,97,例25,98,线性变换的运算,它们都是线性变换。

99,线性变换的运算的性质：

100,线性映射（变换）的矩阵：

101,例26,102,例27,103,定理8,104,定理9,105,例28,106,定理10,其实，对线性映射的矩阵有类似的性质。

107,第五节线性映射的值域及核子空间,108,值域的计算,109,核子空间的计算,110,定理12（线性变换的维数定理）,111,注：

对无限维空间，推论不成立。

（反例）,112,例29,113,定义（不变子空间）：

114,为何要讨论不变子空间？

115,为何要讨论不变子空间？

116,例30,117,线性空间的同构,118,119,120,121,第二章,内积空间、等距变换,122,第一节基本概念,本章的目的：

将内积推广到抽象的线性空间约定：

数域F指实数域R或复数域C,123,例1,124,内积的性质,125,度量矩阵,126,向量的模（长度）,127,C-B不等式,128,三角不等式,129,正交性,130,标准正交基,131,标准正交基下的内积,132,Schmidt正交化方法,133,例2,134,例3,135,酉矩阵,136,定理1,137,Schmidt正交化方法的应用,138,注,139,矩阵的UT分解,140,例4,141,定理2,142,第二节正交补空间,143,正交补空间,144,正交补空间的计算,145,正交补空间的计算,146,例5,147,一个几何问题,空间中点到直线的距离：

148,空间中向量到子空间的距离：

149,150,例6,151,例7,152,最小二乘解,153,第三节等距变换,154,例8,155,定理7,156,关于直线的反射,157,欧氏空间中的反射,158,镜像变换,159,160,第三章,矩阵的相似标准形,161,矩阵与线性变换,本章的目的：

对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。

对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。

162,第一节特征值与特征向量,163,矩阵的相似对角化,164,线性变换的特征值、特征向量,165,线性变换的可对角化问题,166,例1,167,线性变换的特征值、特征向量的计算,168,例2,169,定理1,170,特征多项式的计算,171,主子式与子式,172,主子式与子式,173,特征多项式的计算,174,矩阵的迹,175,例3,176,化零多项式,177,第二节Hamilton-Cayley定理,178,例4,179,例5,180,最小多项式,181,定理5,182,例6,183,例7,184,例8,185,第三节可对角化的条件,目的：

对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵；,对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。

186,已知的判别方法,187,线性变换的可对角化问题,188,特征子空间,189,可对角化的条件,190,例9,191,定理12,192,定理13,193,例10,194,定理14,195,例11,196,例12,197,第四节Jordan标准形,问题：

如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的矩阵与之相似。

等价的问题：

若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。

198,Jordan形矩阵,199,例13,200,Jordan标准形的存在性、唯一性,201,唯一性的证明思路,202,定理15,203,例14,204,例15,205,例16,206,分块矩阵的最小多项式,207,Jordan标准形与最小多项式,208,例17,209,例18,210,例19,211,例20,212,例21,213,存在性的证明思路,214,存在性的证明思路,215,存在性的证明思路,216,存在性的证明思路,217,存在性的证明思路,218,存在性的证明思路,219,存在性的证明思路,220,存在性的证明思路,221,存在性的证明思路,222,第五节特征值的分布,223,定理20,224,例22,225,K-区,226,例23,227,定理21,228,例24,229,谱半径的估计,230,例25,231,例26,232,应用,233,对角占优矩阵,234,对角占优矩阵,235,第四章,Hermite二次型,236,第一节H阵、正规阵,Hermite二次型与Hermite矩阵标准形惯性定理（唯一性）正定性,237,Hermite矩阵、Hermite二次型,238,Hermite矩阵、Hermite二次型,239,实对称矩阵的性质,240,H阵的性质,241,正规阵,242,上三角的正规阵,定理4：

243,定理5,244,推论,245,例1,246,例2,247,第二节Hermite二次型,248,249,标准形,250,标准形,配方法（初等变换法）酉变换法：

251,惯性定理,252,惯性定理,253,惯性定理,254,规范形,255,共轭合同的充分必要条件,256,例3,257,正定性,258,如何建立判别方法,259,定理7,260,例4,261,例5,262,例6,263,其它有定性,264,如何建立判别方法,265,定理8,266,例7,267,定理9（奇值分解）,268,奇值分解定理的证明,269,奇值分解定理的证明,270,奇值分解定理的证明,271,奇值分解定理的证明,272,第三节Rayleigh商,273,定理10,274,例8,275,定理11,276,定理12（Courant极大极小原理）,277,第五章,范数和矩阵函数,278,本章的目的,矩阵函数范数矩阵函数的应用,279,第一节范数的概念和例子,280,内积与范数,281,Cn中范数的例子,282,更多的例子,283,更多的例子,284,范数与极限,285,范数的可比较性,286,第二节矩阵范数,287,288,范数的相容性,289,定理2,290,算子范数,291,算子范数,292,定理3,293,定理4,294,例1,295,例2,296,例3,297,第三节收敛定理,298,矩阵序列的收敛性,299,幂序列,300,谱半径与范数,301,矩阵幂级数,302,矩阵幂级数,303,第四节矩阵函数,304,几个重要的矩阵函数,305,利用定义计算,306,例5,307,Jordan形矩阵的函数,308,Jordan形矩阵的函数,309,Jordan块的函数,310,Jordan块的函数,311,Jordan块的函数,312,例6,313,利用Jordan标准形计算,314,例7,315,定理11,316,例8,317,待定系数法,318,待定系数法,319,例9,320,例10,321,矩阵函数的性质,322,例11,323,例12,324,注,325,第四节线性微分方程组,326,性质,327,常系数线性微分方程,328,常系数线性微分方程组,329,330,定理14,331,矩阵的广义逆,第六章,332,本章目的,将“逆矩阵”推广到一般情形广义逆矩阵的计算广义逆矩阵的性质应用：

不相容线性方程组的求解,333,第一节广义逆矩阵的概念,1903年，Fredholm，积分算子的广义逆1920年，Moore，矩阵的广义逆1955年，Penrose，证明了唯一性所以，在下面的矩阵的广义逆的定义中的四个方程也称为Moore-Penrose方程，简称M-P方程。

334,广义逆矩阵的定义,335,例1,336,定理1,337,例2,338,例3,339,例4,340,例5,341,例6,342,例6,343,例7,344,第二节广义逆矩阵的性质,345,定理2,346,定理1（续）,347,例8,348,例9,349,定理3,350,第三节广义逆矩阵的应用,351,最小二乘解,352,定理4,353,定理5,