小学高年级奥数竞赛培训试题 13.docx

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小学高年级奥数竞赛培训试题13

第十五届“中环杯”小学生思维能力训练活动

五年级选拔赛得分：

__________

填空题：

1、已知24681357

13572468

，其中m,n是两个互质的正整数，则10mn____

【考点】分数计算【答案】110

20169

分析：

原式，10mn10×9+20=110

162020

2、D老师家里有五个烟囱，这五个烟囱正好从矮到高排成一排，相邻两个烟囱之间的高度差为2厘米，其中最高的烟囱又正好等于最矮的两个烟囱的高度之和，则五个烟囱的高度之和是________厘米【考点】等差数列，方程【答案】50

分析：

设这五个烟囱分别为x-4，x-2，x，x+2，x+4，则x+4=x-2+x-4，x=10，和为5x=50

3、已知

2014abcd，其中a、b、c、d是四个正整数，请你写出满足条件的

2233

一个乘法算式：

___________

【考点】数的拆分，分解质因数

【答案】答案不唯一

分析：

2014=1×2014=2×1007=19×106=38×53

其中一解为2014=

52923323

4、一个长方体的长、宽分别为20厘米、15厘米，其体积的数值与表面积的数值相等，则它的高为______厘米（答案写为假分数）【考点】立体几何，方程

【答案】

分析：

设高为h，则20×15×h=（20×15+20h+15h）×2，则h=

5、一次中环杯比赛，满分为100分，参赛学生中，最高分为83分，最低分为30分（所有的分数都是整数），一共有8000个学生参加，那么至少有_____个学生的分数相同【考点】抽屉原理【答案】149

分析：

83-30+1=54，800054=1488，148+1=149个

6、对35个蛋黄月饼进行打包，一共有两种打包规格：

大包袋里每包有9个月饼，小包装里每包有4个月饼。

要求不能剩下月饼，那么一共打了______个包

【考点】不定方程

【答案】5

分析：

设大包有x袋，小包有y袋，（x,y均为整数）所以9x+4y=35，易得

所以一共打了2+3=5个包

7、小明和小红在600米的环形跑道上跑步，两人从同一起点同时出发，朝相反方向跑，第一次和第二次相遇时间间隔50秒，已知小红的速度比小明慢2米/秒，则小明的速度为______米/秒【考点】环形跑道，方程/和差公式

【答案】7分析：

法一：

设小红的速度为x米/秒，小明的速度为x+2米/秒，两次相遇之间合跑一个全程，则50（x+x+2）=600，x=5，则小明的速度为5+2=7米/秒法二：

两次相遇之间合跑一个全程，则两人速度和为600÷50=12，两人速度差为2米/秒，则小明（快）的速度为（12+2）÷2=7米/秒

8、我们知道，2013、2014、2015的因数个数相同，那么具有这样性质（因数的个数相同）的三个连续自然数n、n1、n+2中，n的最小值为_____【考点】分解质因数，约数个数

【答案】33

分析：

三个连续的数不可能都为质数，要使它们的因数个数一样，需要做到：

①其中没有质数（否则个数不可能相等）；

②三个数中不能有完全平方数（否则个数有奇有偶不可能相等）。

最值问题从极端情况出发，从小往大，把质数和完全平方数划去，如下所示：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37……经试验，33、34、35各有4个约数，n最小为33

9、图中的正三角形与正六边形的周长相等，已知正三角形的面积是10cm2，则正六边形的面积为_____cm2

【考点】图形切拼

【答案】15

分析：

设正六边形每个边长为a，则正三角形每个边长为2a，分割后每个小三角形的面积

相同，10÷4×6=15cm2

10、甲、乙、丙在猜一个两位数

甲说：

它的因数个数为偶数，而且它比50大乙说：

它是奇数，而且它比60大丙说：

它是偶数，而且它比70大

如果他们三个人每个人都只说对了一半，那么这个数是_______【考点】逻辑推理【答案】64分析：

由乙、丙所说一个为奇数一个为偶数，必为一真一假，若这个数大于70则必然大于60，所以后半句只能是这个数大于60小于70，所以这个数是偶数；由于这个数大于60，则甲所说的大于50是正确，所以这个数的因数个数为奇数个，必为在50~70之间的偶数完全平方数，只有64

11.如图，正方形ABCD和正方形EFGH，他们的四对边互相平行。

联结CG并延长交BD于点I。

已知BD=10，S△BFC=3，S△CHD=5，则BI的长度为？

ADAD

EHHIIE

BCBC

【考点】几何

【答案】

4分析：

等积变形+燕尾模型

联结BG，DG，FG∥BC，S△BCG=S△BCF=3,

同理，S△CDG=S△CDH=5,

BI:

DI=S△BCG:

S△CDG=3:

5，

BI=10÷（3+5）×3=

12.将572个桃子分给若干个孩子，这些孩子得到的桃子数量是一些连续的正整数，则获得

桃子数量最多的那个孩子最多可以得到几个桃子？

【考点】数论，分解质因数，最值

【答案】75

分析：

设第一人拿到x+1个桃子，最后一人拿到x+k，则有k个人。

572=（x1+x+k）k2=（2x+k+1）k2

1144=（2xk1）k，k是1144的因数，1144=111323

要求获得桃子数量最多的孩子最多分几个，即求最大值，则人要少，k要小，从小往大枚举

k为2,4不合题意

k=8,2x+9=143，x=67，x+k=75，获得桃子数量最多的孩子最多分75个。

13、定义n!

12n，比如5!

12345，若n!

n1!

（其中n为正整数，且

21n100）是完全平方数，比如n7时，

71!

87!

47!

2就是一个完全平方数，则所2222

222

有满足条件的n的和为________

【考点】定义新运算，完全平方数【答案】273

分析：

n！

（n+1）！

（！

），让

=k，n=2k1

①k=1,n=1

②k=2,n=7

③k=3,n=17

④k=4,n=31

⑤k=5,n=49

⑥k=6,n=71

为完全平方数即可，

⑦k=7,n=97

所有满足条件的n的和为1+7+17+31+49+71+97=273

14.小明将若干棋子放入如图3*3方格的小正方形内，每个小正方形内可以不放棋子，也可以放等于或多余1枚棋子，现在计算每一行，每一列的棋子总数，得到6个数，这6个数互不相同，那么最少需要放多少枚棋子？

【考点】最值，枚举

【答案】8

分析：

尝试最小的和0+1+2+3+4+5=15，由于三行之和=三列之和=总和，15不是偶数，所以16÷2=8，8=0+2+6=1+3+4，经试验，可如图放置，则最少需要放8枚棋子

0000

1326

0022

134

15.将A、B、C、D、E这五位老师与25个相同的座位拍成一排，之后25个学生会坐在座位上与老师拍照。

要求：

A、B、C、D、E必须按字母顺序从左到右出现在这排中，而且每个相邻座位老师之间至少有两个座位。

则一共有_____种不同的安排方法（注意：

安排还是指老师与未作之间的安排，不考虑后续的学生）。

【考点】排列组合

【答案】26334

分析：

25+5=30，这道题目相当于从1~30这30个数中选5个数，每两个数之间的差大于

2221201918

等于3，5个数4个间隔，所以30-2×4=22，即C5==26334种

54321

16.如图，在一个梯形ABCD中，AD平行BC，BC：

AD=5:

7.点F在线段AD上，点E在线段CD上，满足AF：

FD=4:

3，CE：

ED=2:

3.如果四边形ABEF的面积为123，则ABCD的面积为？

【考点】几何

【答案】180分析：

（为简化计算，可令其为直角梯形，当然，不是直角梯形的时候，可通过E点作垂线，这时DEF和BCE的高仍为3:

2，设为3y和2y，其余步骤不变）设AD=7x，BC=5x，DC=5y。

则DF=3x，DE=3y,EC=2y。

S梯形=（AD+BC）×CD÷2=30xy，

941

而SSSS30xyxy5xy=xy=123，所以xy=6，所求面积为180

ABEFABCDDEFBEC

17.如图算式中，最后的乘积为_________。

【考点】数字谜【答案】100855

18.一个五位数ABCDE是2014的倍数，并且CDE恰好有16个因数，则ABCDE的最小值

是？

【考点】分解质因数，约数个数

【答案】24168

分析：

最值问题从极端情况出发，既是五位数又是2014的倍数，最小为10070；约数个数逆应用，16=16=8×2=4×4=4×2×2=2×2×2×2，分解质因数后指数可能是（15），（7,1）

（3,1,1）（1,1,1,1）这几组。

1007070=257，舍1208484=2237，舍

98=272，舍14098

112=247，舍16112

126=2327，舍18126

140=2257，舍20140

22154154=2711，舍

24168168=2337，符合。

ABCDE最小为24168

19.10个学生排成一行，老师想要为每个学生配一顶帽子，帽子有两种颜色：

红色和白色，每种颜色的帽子数量都超过10顶。

要求：

任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2。

那么老师有_____种分配帽子的方法。

【考点】题意理解、有序枚举

【答案】94

分析：

本题难度很大，主要在“任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差

最多为2”这句话。

以下尝试几种方法来解答。

（统一用√表示带红色帽子，×表示白色帽子）

法一：

有序枚举，结合图形标数法

戴白帽子

戴红帽子

向右一格表示戴红帽子，向上一格代表戴白帽子，一共走10格完成

注意：

①同方向最多连续两步；②取的点之间，任意两个点在横方向和竖方向的格子数差最多为2，如图a点和b点不能同时有。

（行列1×4，2×5，3×6都不行，易多数）

这样数下来，就是下面47种：

（为了使表格在一页中显示，见下页）

12345678910

√√×√×√×√×√

√√×√×√×√××

√√×√×√××√√

√√×√×√××√×

√√×√××√×√√

√√×√××√×√×√√×√××√√×√√√×√××√√××√√××√×√×√√√√××√×√×√×√√××√×√√×√√√××√×√√××√√××√√××√√√√××√√××√×√√××√√×√×√√√××√√×√××√×√√××√×√√√×√√××√×√×√×√√××√√×√√×√√××√√××√×√√×√×√×√√×√√×√×√××√×√√×√××√√√×√√×√××√×√×√×√√×√×√√×√×√√×√××√×√×√√××√√√×√×√√××√×√×√×√××√√×√×√×√××√×√√×√×√×√××√√×√×√×√×√√√×√×√×√×√×√×√×√×√√×√√×√×√×√√××√×√××√×√√×√×√××√×√×√√×√××√√××√√×√××√√×√×√××√√××√√×√×√√√××√×√√×√√√×√××√√×√√√×√×√×√×√√×√√×√×√×√√×√√××√√×√√×√×√√×√×√√×√×√×√

这是√开头的，共47中，×开头也有47种，共47×2=94种。

法二：

分类讨论+枚举

根据“任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2”，那么全部10名学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多也为2，因此有6红4白，5红5白，4红6白三种。

其中6红4白和4红6白对称，种数一样。

（一）6红4白

（1）6红分三堆，红红，红红，红红

4-2=2，红红与红红之间必为两白，1种：

√√，××，√√，××，√√；小计，6红分三堆共1种；

（2）6红分四堆，红红，红红，红，红

①红红，红红，红，红

红红与红红之间必为两白，1种：

√√，××，√√，×，√，×，√；②红，红，红红，红红

同①，对称性，1种；

③红红，红，红红，红

5-2=3，这两个间隔里必然一个是1白，一个是两白，2种：

√√，××，√，×，√√，×，√；√√，×，√，××，√√，×，√；

④红，红红，红，红红

同③，2种

⑤红红，红，红，红红

6-2=4，两端必然不可能放白，3种：

√√，××，√，×，√，×，√√；√√，×，√，××，√，×，√√；√√，×，√，×，√，××，√√；

⑥红，红红，红红，红

红红与红红之间必为两白，1种：

√，×，√√，××，√√，×，√；小计，6红分四堆共1+1+2+2+3+1=10种；

（3）6红分五堆，红红，红，红，红，红

①红红在第一或第五位置，四个间隔各插1白，共2种：

√√，×，√，×，√，×，√，×，√；

②红红在第二、三、四位置，四个间隔各插1白，共3种：

√，×，√√，×，√，×，√，×，√；√，×，√，×，√√，×，√，×，√；√，×，√，×，√，×，√√，×，√；

小计，6红分五堆共2+3=5种；所以，6红4白共1+10+5=16种；

（二）4红6白

同6红4白，共16种；

（三）5红5白

（1）5红分三堆，红红，红红，红

①红红，红红，红

第一个间隔红红与红红之间必为两白，第二个间隔可能1白，可能两白，5种：

×，√√，××，√√，××，√；√√，××，√√，××，√，×；√√，××，√√，×，√，××××，√√，××，√√，×，√，×，√√，××，√√，×，√，×

②红，红红，红红

同①，对称性，5种；

③红红，红，红红

5-2=3,1+2=3，划线处两间隔必为一处1白，一处两白，6种：

××，√√，××，√，×，√√；

√√，××，√，×，√√，××；×，√√，××，√，×，√√，×；××，√√，×，√，××，√√；√√，×，√，××，√√，××；×，√√，×，√，××，√√，×；

小计，5红分三堆共5+5+6=16种；

（2）5红分四堆，红红，红，红，红①红红，红，红，红

1+2=3,2+2=4，划线处三个间隔为3到4白，9种：

×，√√，××，√，×，√，×，√；√√，××，√，×，√，×，√，×；×，√√，×，√，××，√，×，√；√√，×，√，××，√，×，√，×；×，√√，×，√，×，√，××，√；√√，×，√，×，√，××，√，×；××，√√，×，√，×，√，×，√；√√，×，√，×，√，×，√，××；×，√√，×，√，×，√，×，√，×；

②红，红，红，红红

同①，对称性，9种；③红，红红，红，红

1+2=3，红两边间隔处最多一处为两白，根据三处间隔两白数量可为2，1，0枚举，11种：

√，××，√√，××，√，×，√，；√，××，√√，×，√，××，√，；

×，√，××，√√，×，√，×，√；√，××，√√，×，√，×，√，×；×，√，×，√√，××，√，×，√；√，×，√√，××，√，×，√，×；×，√，×，√√，×，√，××，√；√，×，√√，×，√，××，√，×；

××，√，×，√√，×，√，×，√；

√，×，√√，×，√，×，√，××；

×，√，×，√√，×，√，×，√，×；④红，红，红红，红

同③，11种；

小计，5红分四堆共9+9+11+11=40种

（3）5红分五堆，红，红，红，红，红，四个间隔各用1白，还剩1白有6处可放，6种：

×，√，×，√，×，√，×，√，×，√；√，××，√，×，√，×，√，×，√；√，×，√，××，√，×，√，×，√；√，×，√，×，√，××，√，×，√；√，×，√，×，√，×，√，××，√；√，×，√，×，√，×，√，×，√，×；

小计，5红分五堆共6种；所以，5红5白共16+40+6=62种；

综上，共16+16+62=94种

20、将下图1中的方格用图2中的图形进行填充（每类图形可使用多次，且要避开黑色方格），两个同类图形不能相邻（有公共边的图形称为相邻图形，仅有公共顶点的图形不是相邻图形）。

每一类图形可以旋转、翻折后再放入方格内。

每一类图形用一个字母表示，方格内小正方形中的字母表示这个小正方形被哪类图形填充了，下左图中用箭头标注了三行，假设标注的第一行格子中共用到了A个图形，标注的第二行格子中共用到了B个图形，标

注的第三行格子中共用到了C个图形，则ABC_____

比如：

我们进行如图3所示的填充后（请无视最后两行，只是作为举例，用来解释A、B、C的含义），标注的第一行格子用到了2个图形（一个横过来的I图形，一个旋转、翻折后的L图形），所以A2；标注的第二行格子到了4个图形（一个翻折的Z图形，一个旋转的T图形，一个T图形，一个O图形），所以B4；标注的第三行格子到了4个图形，所以C4。

于是，答案就写为244

OZA

BTB

CTC

【考点】智巧趣题

【答案】333

A=3OZ

B=3T

C=3T

所以ABC333。

（\（^o^）/~特别感谢苏昊老师、俞家老师、朱博老师、焦俊老师、吴中亚老师、邵国栋老师、刘泽南老师、张岱鹏老师、范基程老师、景亚军老师）

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