八年级数学竞赛培训分解方法的延拓Word格式.docx

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﹣1

2

12．（4分）a4+4分解因式的结果是（　　）

（a2+2a﹣2）（a2﹣2a+2）

（a2+2a﹣2）（a2﹣2a﹣2）

（a2+2a+2）（a2﹣2a﹣2）

（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）

13．（4分）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（　　）

7

8

15

2l

14．（4分）设m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，则（m，n）=（　　）

（2，2）或（﹣2，﹣2）

（2，2）或（2，﹣2）

（2，﹣2）或（﹣2，2）

（﹣2，﹣2）或（﹣2，2）

15．（4分）将x5+x4+1因式分解得（　　）

（x2+x+1）（x3+x+1）

（x2﹣x+1）（x3+x+1）

（x2﹣x+1）（x3﹣x+1）

（x2+x+1）（x3﹣x+1）

16．（4分）若a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（　　）

若a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a=b=c

若a2+b2+c2=3abc，则a=b=c

若a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2），则a=b=c=d

若a4+b4+c4+d4=4abcd，则a=b=c=d

三、解答题（共9小题，满分86分）

17．（10分）把下列各式分解因式：

（1）a4+64b4；

（2）x4+x2y2+y4；

（3）x2+（1+x）2+（x+x2）2；

（4）（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）；

（5）x3﹣9x+8；

（6）x3+2x2﹣5x﹣6

18．（10分）把下列各式分解因式：

（1）x4﹣7x2+1；

（2）x4+x2+2ax+1﹣a2

（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2

（4）x4+2x3+3x2+2x+1．

19．（10分）把下列各式分解因式：

（1）4x3﹣31x+15；

（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；

（3）x5+x+1；

（4）x3+5x2+3x﹣9；

（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．

20．（8分）已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，求a+b的值．

21．（8分）k为何值时，多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2能分解成两个一次因式的积？

22．（10分）如果多项式x2﹣（a+5）x+5a﹣1能分解成两个一次因式（x+b）（x+c）的乘积，b、c为整数，则a的值是多少？

23．（10分）已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay2﹣5x﹣45y﹣24可分解为两个一次因式的乘积，求a的值．

24．（10分）证明恒等式：

a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2

25．（10分）一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数．如64=82，64就是一个完全平方数；

若a=29922+29922×

29932+29932．求证：

a是一个完全平方数．

参考答案与试题解析

1．（4分）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3=　（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）　．

分析：

首先把﹣3变为1﹣4，多项式变为（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4），然后利用公式法分解因式，接着利用提取公因式法分解因式即可求解．

解答：

解：

原式=（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4）

=（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2=（2x﹣1+y﹣2）（2x﹣1﹣y+2）

=（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）．

故答案为：

（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）．

点评：

此题主要考查了利用分组分解法分解因式，其中直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．

2．（4分）已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a=　16　．

设2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1=（x2+x﹣6）•A，当多项式等于0时，得到两个x的根，代入式子2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1，可求出a的值．

令2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1=（x2+x﹣6）•A=（x+3）（x﹣2）•A．

取x=﹣3，x=2分别代入上式，

当x=﹣3时，2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1，

=2×

81﹣27﹣9a﹣3b+a+b﹣1，

=134﹣8a﹣2b，

=0．

当x=2时，2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1，

16+8﹣4a+2b+a+b﹣1，

=39﹣3a+3b，

根据

，可得a=16，b=3．

本题考查了因式分解的应用和等式的应用，根据x的根，从而得出a，b的值．

3．（4分）一个二次三项式的完全平方式是x4﹣6x3+7x2+ax+b，那么这个二次三项式是　x2﹣3x﹣1　．

先令x4﹣6x3+7x2+ax+b=（x2+mx+n）2，把（x2+mx+n）2展开后根据次数相等的项系数相等解出m，n的值即可．

令x4﹣6x3+7x2+ax+b=（x2+mx+n）2

=x4+2mx3+（m2+2n）x2+2mnx+n2，

∴2m=﹣6，解得m=﹣3，m2+2n=7，解得：

n=﹣1，

故所求二次三项式是x2﹣3x﹣1，

x2﹣3x﹣1．

本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是根据次数相等的项系数相等解出m，n的值．

4．（4分）已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，则（x﹣y﹣z）2002=　0　．

考点：

因式分解的应用．2331987

可以把14拆成1+4+9，然后运用完全平方公式，把左边写成非负数的平方和，再根据“几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”进行计算．

∵x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，

∴x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9=0，

（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2=0，

∴x﹣1=0，y+2=0，z﹣3=0，

解得x=1，y=﹣2，z=3，

∴（x﹣y﹣z）2002=0．

此题要能够运用完全平方公式把等式的左边变形为几个非负数的和，再根据非负数的性质进行求解．

5．（4分）已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，则n的一个值是　1003或3988　．

完全平方数．2331987

本题分两种情况讨论n的取值．把47+4n+41998化简为完全平方式的形式，根据化简后的式子得出n．

（1）47+4n+41998

=（27）2+2•27•22n﹣8+（21998）2

∵47+4n+41998是一个完全平方数．

∴22n﹣8=21998

即2n﹣8=1998．

∴当n=1003时，47+4n+41998是完全平方数；

（2）47+4n+41998=47+41998+4n，

=（27）2+2•27•23988+（2n）2，

∴23988=2n，

∴n=3988．

综上得n=1003或n=3988．

本题考查了完全平方数的概念，如果一个数是一个完全平方数，那么一定可以表示为一个数的平方．

x2+2px+1=[x2+2px+（　p2　）]+（　1﹣p2　）=（x+　p　）2+（　1﹣p2　）

a2﹣b2+4a+2b+3的结果是　（a+b+1）（a﹣b+3）　．

配方法的应用．2331987

（1）由于二次项系数为1，那么组成完全平方式的第三项应是第二项系数的一半，最后的结果应和原来的代数式相等；

（2）题中有4a，2b，应为完全平方式的第二项，整理为两个完全平方式的差的形式，进而用平方差公式展开即可．

（1）x2+2px+1=[x2+2px+（p2）]+（1﹣p2）=（x+p）2+（1﹣p2）；

故答案为p2；

1﹣p2；

p；

（2）a2﹣b2+4a+2b+3，

=（a2+4a+4）﹣（b2﹣2b+1），=（a+2）2﹣（b﹣1）2，=（a+2+b﹣1）（a+2﹣b+1），

=（a+b+1）（a﹣b+3）．

（a+b+1）（a﹣b+3）．

本题考查了配方法的应用，把所给代数式整理为有完全平方式子的形式是解决问题的突破点；

用到的知识点为a2±

2ab+b2=（a±

b）2．

7．（4分）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，则k=　﹣5　．

因式分解-提公因式法．2331987

专题：

方程思想；

转化思想．

本题可令x3+3x2﹣3x+k=（x+1）A的形式，当x=﹣1时，可以转化为关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值．

令x3+3x2﹣3x+k=（x+1）A，

当x=﹣1时，﹣1+3+3+k=0，

解得k=﹣5．故答案为：

﹣5．

本题考查了因式分解﹣提公因式法，令x+1=0，则x=﹣1，代入因式分解的式子转化为关于k的一元一次方程是解题的关键．

8．（4分）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，则a=　±

10　．

先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．

原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，

∵原式为完全平方式，

∴a（x+y）=±

2×

5•（x+y），解得a=±

10．故答案为：

±

10．

本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．

9．已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，那么

的值是　﹣

　．

由题意多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，将整式（x+2y+m）（2x﹣y+n）相乘，然后根据系数相等求出m和n，从而求解．

∵多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，

∴（x+2y+m）（2x﹣y+n）=2x2+3xy﹣2y2+（2m+n）x+（2n﹣m）y=2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6=2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6，

∴2m+n=﹣1，2n﹣m=8，mn=﹣6，

解得m=﹣2，n=3，

∴

=

=﹣

，故答案为：

﹣

．

此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题．

非负数的性质：

偶次方．2331987

配方法．

先把原式化为完全平方式的形式，再根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后代入代数式计算即可．

原式可化为a2+4a+4+b2﹣2b+1=0，即（a+2）2+（b﹣1）2=0，

解得，a=﹣2，b=1．

故

．故选B．

本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：

（1）绝对值；

（2）偶次方；

（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

由题意x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式，可得ax3+bx2+1=（x2﹣x﹣1）（x+c）将右边展开，然后根据系数相等，求出b值．

∵x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式，

∴ax3+bx2+1=（x2﹣x﹣1）（x+c）=x3+（c﹣1）x2﹣（c+1）x﹣c

∴a=1，c﹣1=b，c+1=0，﹣c=1，

∴b=﹣2，故选A．

此题主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤：

①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；

②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；

如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法；

如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法；

③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．

因式分解-十字相乘法等．2331987

先将a4+4变为a4+4+4a2﹣4a2，再将a4+4+4a2看为一个整体，用完全平方公式分解，原式=（a2+2）2﹣4a2，再利用平方差公式分解．

a4+4=a4+4+4a2﹣4a2=（a2+2）2﹣4a2=（a2﹣2a+2）（a2+2a+2）故选D

为能够运用平方差公式、完全平方公式，因而可以通过减去一项或再加上相同的项来解决．

由题意原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．

设x3+ax2+bx+8=（x+1）（x+2）（x+c）=x3+（3+c）x2+（2+3c）x+2c，

∴c=4，从而a=7，b=14，

∴a+b=21，故选D．

此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义；

要注意因式分解的一般步骤：

如果多项式有两项应思考用平方

差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法；

完全平方公式；

根据m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，把其变形为完全平方的形式，根据两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0，即可得出答案．

由m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，

∴（mn+4）2+（m+n）2=0，

∴mn+4=0，且m+n=0，

解得：

m=2，n=﹣2或m=﹣2，n=2．故选C．

本题考查了完全平方公式及非负数的性质，难度适中，关键是掌握两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0．

先添加一项x3，然后提取公因式得到x3（x2+x+1）﹣（x3﹣1），然后再进行因式分解，分解后发现有公因式，提取，得到最后的结果．

原式=x3（x2+x+1）﹣（x3﹣1）

=x3（x2+x+1）﹣（x﹣1）（x2+x+1）

=（x2+x+1）（x3﹣x+1）故选D．

本题考查了因式分解的十字相乘法，有时候我们应学会添加合适的项，使运算更方便．

由a2+b2+c2=ab+bc+ac，得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，

由a2+b2+c2=0，得（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）=0，

由a2+b2+c2+d2=4abcd，得（a2﹣b2）2+（c2﹣d2）2+2（ab﹣cd）2=0．

由a2+b2+c2=ab+bc+ac，得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，则a=b=c，故A正确；

由a2+b2+c2=3abc，得a=b=c，故B正确；

由a2+b2+c2+d2=4abcd，得（a2﹣b2）2+（c2﹣d2）2+2（ab﹣cd）2=0，则a=b=c=d，故D正确；

故选C．

本题考查了命题与证明，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

（2）x4+x2y2+y4；

（4）（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）；

（6）x3+2x2﹣5x﹣6

提公因式法与公式法的综合运用；

因式分解-分组分解法；

（1）先对所给多项式进行变形，a4+64b4=a4+64b4+16a2b2﹣16a2b2，前三项是完全平方式，然后先套用公式a2±

b）2进行变形，再套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），进一步分解因式．

（2）先对所给多项式进行变形，x4+x2y2+y4=x4+2x2y2+y4﹣x2y2，然后先套用公式a2±

（3）先对所给多项式进行变形，x2+（1+x）2+（x+x2）2=1+2（x+x2）+（x+x2）2，将x+x2看作一个整体，套用公式a2±

b）2进行进一步因式分解即可．

（4）设b﹣c=x，a﹣b=y，则c﹣a=﹣（x+y），则原式变为：

（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）=[﹣（x+y）]2﹣4xy，再进一步变形分解因式即可．

（5）应用拆项法，将原式变形为：

x3﹣9x+8=x3﹣x﹣8x+8，然后分组分解．

（6）先将原式变形，x3+2x2﹣5x﹣6=x3+x2+x2+x﹣6x﹣6，然后分组分解．

（1）a4+64b4

=a4+64b4+16a2b2﹣16a2b2=（a2+8b2）2﹣（4ab）2=（a2+8b2﹣4ab）（a2+8b2+4ab）；

=x4+2x2y2+y4﹣x2y2=（x2+y2）2﹣（xy）2

=（x2+y2﹣xy）（x2+y2+xy）；

（3）x2+（1+x）2+（x+x2）2=1+2（x+x2）+（x+x2）2=（1+x+x2）2；

（4）设b﹣c=x，a﹣b=y，则c﹣a=﹣（x+y），

则（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）

=[﹣（x+y）]2﹣4xy，=（x﹣y）2，

所以（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）=（b﹣c﹣a+b）2=（2b﹣a﹣c）2；

=x3﹣x﹣8x+8=（x3﹣x）﹣（8x﹣8）

=x（x2﹣1）﹣8（x﹣1）=x（x+1）（x﹣1）﹣8（x﹣1）

=（x﹣1）（x2+x﹣8）；

（6）x3+2x2﹣5x﹣6=x3+x2+x2+x﹣6x﹣6，

=（x3+x2）+（x2+x）﹣（6x+6）

=x2（x+1）+x（x+1）﹣6（x+1）=（x+1）（x2﹣x﹣6）

=（x+1）（x+3）（x﹣2）．

本题综合考查了因式分解的方法，解题的关键是适当添项、拆项，然后运用公式进行进一步分解因式，注意分解要彻底．

（2）x